Теорема Виета

Мы познакомились с квадратными уравнениями и научились находить их корни. Пришло время открыть одну из самых удивительных теорем, за которой стоит королевский советник, шпион и математик Франсуа Виет (1540–1603).

История и секрет теоремы Виета

Во время войны Франции с Испанией в 1590-е гг. Франсуа Виет, находясь на службе при французском дворе, разгадал сложный шифр, которым пользовался испанский король Филипп II и его союзники. Это помогло Франции одержать победу. Филипп II был настолько уверен в неуязвимости своего шифра, что, узнав о его взломе, обвинил французов в колдовстве и даже пожаловался папе римскому.

Способность Виета замечать закономерности помогала ему не только на службе, но и в математике. Он первым стал использовать буквы в уравнениях, и они стали удобнее. Так появились привычные нам уравнения. Эта же способность позволила ему раскрыть секрет, который связывает корни квадратного уравнения и его коэффициенты. Что заметил Виет? Чтобы это узнать, решите уравнение:

$$x^2-\textcolor{green}{7}x + \textcolor{coral}{10} = 0$$

Показать решение

Скрыть

Корни этого уравнения $2$ и $5$. Уже догадались, как эти числа связаны с коэффициентами $7$ и $10$?

Сумма корней равна $7$, а произведение — $10$. Сумма — это второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, а произведение — это свободный член.

{"questions":[{"content":"В чем заключалась «суперспособность» Франсуа Виета?[[choice-84]]","widgets":{"choice-84":{"type":"choice","options":["Быстро считать в уме.","Замечать закономерности.","Говорить на многих языках.","Запоминать длинные формулы наизусть."],"explanations":["","Именно эта способность позволила Виету связать корни уравнения с его коэффициентами.","",""],"answer":[1]}}}]}

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Чтобы доказать теорему, решим общее приведенное квадратное уравнение и сравним его корни с коэффициентами уравнения.

Доказательство

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой $\textcolor{green}{b}$, а свободный член — $\textcolor{coral}{c}$:

$$x^2 + \textcolor{green}{b}x + \textcolor{coral}{c} = 0$$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$$D=\textcolor{green}{b}^2-4\textcolor{coral}{c}$$

Пусть $D>0$, тогда уравнение имеет два корня:

$$x_1=\frac{-\textcolor{green}{b}-\sqrt{D}}{2}, \quad x_2=\frac{-\textcolor{green}{b}+\sqrt{D}}{2}$$

Найдем сумму корней:

$$x_1+x_2=\frac{-\textcolor{green}{b}-\sqrt{D}}{2}+\frac{-\textcolor{green}{b}+\sqrt{D}}{2}=$$ $$\frac{-\textcolor{green}{b}+\cancel{\sqrt{D}}-\textcolor{green}{b}-\cancel{\sqrt{D}}}{2}=\frac{-2\textcolor{green}{b}}{2}=\textcolor{green}{-b}$$

Найдем произведение корней:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{-\textcolor{green}{b}-\sqrt{D}}{2} \cdot \frac{\textcolor{green}{b}+\sqrt{D}}{2}=\frac{(-\textcolor{green}{b})^2-(\sqrt{D})^2}{4}=\frac{\textcolor{green}{b}^2-D}{4}$$

Подставим значение дискриминанта:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{\textcolor{green}{b}^2-(\textcolor{green}{b}^2-4\textcolor{coral}{c})}{4}=\frac{\cancel{\textcolor{green}{b}^2}-\cancel{\textcolor{green}{b}^2}+\cancel{4}\textcolor{coral}{c}}{\cancel{4}}=\textcolor{coral}{c}$$

Таким образом, $x_1+x_2=\textcolor{green}{-b}, \quad x_1\cdot x_2 =\textcolor{coral}{c}$

Теорема доказана.

Практика

В 1594 году бельгийский математик Адриан ван Ромен предложил всем ученым Европы решить уравнение 45-й степени. Голландский посол, пребывая во Франции, пренебрежительно заявил, что здесь, дескать, нет математиков, способных справиться с такой задачей. Тогда король Генрих IV пригласил Виета. Тот нашел один из корней уравнения почти сразу, а на следующий день представил еще двадцать два.

Этот случай показывает, насколько мастерски Виет решал сложные задачи. Пришло время проверить, как работают его методы на практике.

Пример

Найдите сумму и произведение корней уравнения $4y^2+12y+8=0$.

Показать решение

Скрыть

Как теорема Виета может помочь в решении уравнений? Она позволяет нам находить корни методом подбора, без лишних вычислений.

Пример

Найдите подбором корни уравнения $x^2-4x-5=0$.

Показать решение

Скрыть

Пример

Определите знаки корней квадратного уравнения $$x^2-25x+7=0\text{,}$$ не решая его.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Найдите подбором корни уравнения $y^2+11y-12=0\\text{.}$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x_1=-1,\\text{ }x_2=12$","$x_1=1,\\text{ }x_2=12$","$x_1=1,\\text{ }x_2=-12$","$x_1=-1,\\text{ }x_2=-12$"],"answer":[2]}},"hints":["Найдем сумму корней по теореме Виета: $x_1+x_2=-11$.","Найдем произведение корней по теореме Виета: $x_1\\cdot x_2=-12$.","Если $x_1$ и $x_2$ целые числа, то они являются делителями числа $-12$.","Возможны два варианта:<br />$x_1=-1\\text{, }x_2=12\\text{ или }x_1=1\\text{, }x_2=-12$.","Проверим их, подставив значения в уравнение: $x_1+x_2=-11$.","$-1+12\\;\\cancel{=}-11$ и $1-12=-11$. Правильный ответ: $x_1=1\\text{, }x_2=-12$."]}]}

Обратная теорема Виета

Математическая красота теоремы Виета в том, что, зная коэффициенты, можно найти корни уравнения, а зная корни — легко узнать коэффициенты. То есть теорема Виета работает и в обратную сторону.

Если два числа таковы, что их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения.

Числа обозначим как $m$ и $n$. Докажем, что в приведенном квадратном уравнении $x^2 + \textcolor{green}{b}x + \textcolor{coral}{c} = 0$ числа $m$ и $n$ являются его корнями.

Доказательство

По условию: $$m+n=\textcolor{green}{-b}\text{,} \quad m\cdot{n}=\textcolor{coral}{c}\text{.}$$

Значит, уравнение $x^2 + \textcolor{green}{b}x + \textcolor{coral}{c} = 0$ можно записать в виде:

$$x^2-(\textcolor{green}{m+n})x + (\textcolor{coral}{m\cdot{n}}) = 0$$

Подставим в это уравнение вместо переменной $x$ число $m$:

$$m^2-(m+n)m + (m\cdot{n}) = 0$$

$$\cancel{m^2}-\cancel{m^2}-\cancel{m\cdot{n}}+\cancel{m\cdot{n}} = 0$$

$$0=0$$

Значит, $m$ — корень уравнения.

Аналогично докажем, что $n$ — корень уравнения:

$$n^2-(m+n)n + (m\cdot{n}) = 0$$

$$\cancel{n^2}-\cancel{m\cdot{n}}-\cancel{n^2}+\cancel{m\cdot{n}}=0$$

$$0=0$$

А значит, $n$ — тоже корень уравнения.

Теорема доказана.

Практика

Применяя обратную теорему Виета, мы можем составить квадратное уравнение, зная его корни.

Пример

Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $2$ и $9$.

Показать решение

Скрыть

Интересный факт

Рассказывают, что Виет практиковал медитацию. Три дня он мог сидеть не двигаясь, без еды и сна, погруженный в свои размышления. Может быть, благодаря такому сосредоточению он и смог достичь таких высот в математике.

{"questions":[{"content":"Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $7$ и $-4$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^2-3x-28=0$","$x^2+3x-28=0$","$x^2-28x+3=0$","$x^2+4x-7=0$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $b=-(7+(-4))=-3$.","Произведение корней равно свободному члену: $c=7\\cdot-4=-28$.","Составим квадратное уравнение: $x^2-3x-28=0$."]}]}

Часто задаваемые вопросы