Дискриминант и теорема Виета

Пройдите тест, чтобы проверить, насколько хорошо вы умеете находить корни квадратных уравнений с помощью формулы корней и теоремы Виета. Вы потренируетесь вычислять дискриминант, определять сумму и произведение корней, а также находить корни уравнения подбором.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Что показывает значение дискриминанта?[[choice-1]][[image-219]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Можно ли упростить уравнение","Является ли уравнение приведенным","Количество решений уравнения","Знак корня уравнения"],"explanations":["","","$D<0$ — нет корней, $D=0$ — один корень, $D>0$ — два корня.",""],"answer":[2]},"image-219":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/aktyor_2-01.svg","width":"300"}},"id":"0"},{"content":"Выберите правильное утверждение.[[choice-10]][[image-288]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Знак дискриминанта равен знаку перед вторым коэффициентом при $x$.","Знак дискриминанта показывает количество корней уравнения.","Знак дискриминанта всегда положительный.","Знак дискриминанта отрицательный для неприведенных квадратных уравнений."],"explanations":["","$D<0$ — нет корней, $D=0$ — один корень, $D>0$ — два корня.","",""],"answer":[1]},"image-288":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/plyazh-internet-afrika-noutbuk-01.svg","width":"300"}},"id":"0"},{"content":"Найдите количество корней уравнения $$2x^2-4x+2=0.$$[[choice-21]][[image-361]]","widgets":{"choice-21":{"type":"choice","options":["Один корень","Два корня","Корней нет"],"explanations":["$D=0$","",""],"answer":[0]},"image-361":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obrazavr-rebenok-igraet-na-skripke-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=4^2-4\\cdot2\\cdot2=16-16=0$.","$D=0$, уравнение имеет один корень."],"id":"1"},{"content":"Найдите количество корней уравнения $$3x^2+4x+5=0.$$[[choice-49]][[image-419]]","widgets":{"choice-49":{"type":"choice","options":["Один корень","Два корня","Корней нет"],"explanations":["","","$D<0$"],"answer":[2]},"image-419":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/kniga_obrazavr-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=4^2-4\\cdot3\\cdot5=16-60=-44$.","$D<0$, уравнение не имеет корней."],"id":"1"},{"content":"Решите квадратное уравнение $$5x^2+9x-14=0.$$[[choice-126]]","widgets":{"choice-126":{"type":"choice","options":["$x_1=1,\\;x_2=-2,8$","$x_1=-1,\\;x_2=2,8$","$x=-2,8$","$x_1=1,\\;x_2=28$"],"explanations":["","","$D>0$, уравнение имеет два корня.",""],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=9^2-4\\cdot5\\cdot(-14)=81+280=361$.","$D>0$, уравнение имеет два корня.","$x_1=\\frac{-b+\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{-9+\\sqrt{361}}{2\\cdot5}=\\frac{-9+19}{10}=1$.","$x_2=\\frac{-b-\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{-9-\\sqrt{361}}{2\\cdot5}=\\frac{-9-19}{10}=-2,8$."],"id":"2"},{"content":"Найдите корни уравнения $$2x^2+7x-15=0.$$[[choice-199]]","widgets":{"choice-199":{"type":"choice","options":["Корней нет","$x=5$","$x_1=1,5,\\;x_2=-5$","$x_1=1,5,\\;x_2=5$"],"explanations":["$D=b^2-4ac=7^2-4\\cdot2\\cdot(-15)=49+120=169$. $D>0$, уравнение имеет два корня.","$D=b^2-4ac=7^2-4\\cdot2\\cdot(-15)=49+120=169$. $D>0$, уравнение имеет два корня.","",""],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=7^2-4\\cdot2\\cdot(-15)=49+120=169$.","$D>0$, уравнение имеет два корня.","$x_1=\\frac{-b+\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{-7+\\sqrt{169}}{2\\cdot2}=\\frac{-7+13}{4}=1,5$.","$x_2=\\frac{-b-\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{-7-\\sqrt{169}}{2\\cdot2}=\\frac{-7-13}{4}=-5$."],"id":"2"},{"content":"Для каких квадратных уравнений применяют теорему Виета?[[choice-290]][[image-520]]","widgets":{"choice-290":{"type":"choice","options":["Приведенных","Неприведенных","Неполных","Полных"],"explanations":["Теорему Виета применяют только для приведенных квадратных уравнений — тех, у которых коэффициент перед $x^2$ равен $1$.","","",""],"answer":[0]},"image-520":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/rybalka-01.svg","width":"300"}},"id":"3"},{"content":"Выберите правильное утверждение.[[choice-357]][[image-584]]","widgets":{"choice-357":{"type":"choice","options":["Теорему Виета применяют ко всем квадратным уравнениям.","Теорему Виета применяют к приведенным квадратным уравнениям.","Теорему Виета применяют для нахождения корней квадратного уравнения.","Теорему Виета применяют, если $D<0$."],"explanations":["","","Теорема Виета связывает корни приведенного квадратного уравнения и его коэффициенты.","Если $D<0$, у уравнения нет корней."],"answer":[1]},"image-584":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/reshavr.svg","width":"300"}},"id":"3"},{"content":"Решите уравнение $$z^2-3z-10=0,$$ не применяя формулы корней квадратного уравнения.[[choice-467]]","widgets":{"choice-467":{"type":"choice","options":["$z_1=-5,\\;z_2=2$","$z_1=-10,\\;z_2=1$","$z_1=-2,\\;z_2=5$","$z_1=10,\\;z_2=-1$"],"explanations":["Проверим решение по теореме Виета: $-5+2\\;\\cancel{=}\\;3,\\;-5\\cdot2=-10$","Проверим решение по теореме Виета: $-10+1\\;\\cancel{=}\\;3,\\;-10\\cdot1=-10$","Проверим решение по теореме Виета: $5-2=3,\\;5\\cdot(-2)=-10$","Проверим решение по теореме Виета: $10-1\\;\\cancel{=}\\;3,\\;10\\cdot(-1)=-10$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Найдем сумму корней по теореме Виета: $z_1+z_2=3$.","Найдем произведение корней по теореме Виета: $z_1\\cdot z_2=-10$.","Так как сумма корней положительная, а произведение — отрицательное, корни имеют разные знаки.","Если $z_1$ и $z_2$ целые числа, то они являются делителями числа $-10$.","Проверим пары чисел:<br />$1$ и $-10$: $1-10\\;\\cancel{=}\\;3$;<br />$-1$ и $10$: $-1+10\\;\\cancel{=}\\;3$;<br />$2$ и $-5$: $2-5\\;\\cancel{=}\\;3$;<br />$-2$ и $5$: $-2+5=3$.","Корни уравнения: $z_1=-2, z_2=5$."],"id":"4"},{"content":"Найдите подбором корни уравнения $$x^2-17x+42=0.$$[[choice-777]]","widgets":{"choice-777":{"type":"choice","options":["$x_1=-3,\\;x_2=-14$","$x_1=3,\\;x_2=14$","$x_1=1,\\;x_2=42$","$x_1=17,\\;x_2=1$"],"explanations":["Проверим решение по теореме Виета: $-3-14\\;\\cancel{=}\\;17,\\;-3\\cdot(-14)=42$.","Проверим решение по теореме Виета: $3+14=17,\\;3\\cdot14=42$.","Проверим решение по теореме Виета: $1+42\\;\\cancel{=}\\;17,\\;1\\cdot42=42$.","Проверим решение по теореме Виета: $17+1\\;\\cancel{=}\\;17,\\;17\\cdot1\\;\\cancel{=}\\;42$."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдем сумму корней по теореме Виета: $x_1+x_2=17$.","Найдем произведение корней по теореме Виета: $x_1\\cdot x_2=42$.","Так как сумма и произведение корней положительные, корни — положительные.","Если $x_1$ и $x_2$ целые числа, то они являются делителями числа $42$.","Проверим пары чисел:<br />$1$ и $42$: $1+42\\;\\cancel{=}\\;17$;<br />$2$ и $21$: $21+2\\;\\cancel{=}\\;17$;<br />$3$ и $14$: $3+14=17$.","Корни уравнения: $x_1=3$ и $x_2=14$."],"id":"4"},{"content":"Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $-1$ и $3$.[[choice-1074]][[image-358]]","widgets":{"choice-1074":{"type":"choice","options":["$x^2+2x-3=0$","$x^2-3x-2=0$","$x^2-3x+3=0$","$x^2-2x-3=0$"],"explanations":["Второй коэффициент найден неверно: $b=-(x_1+x_2)=-(-1+3)=-2$.","Перепутаны второй коэффициент при $x$ и свободный член: $b=-(x_1+x_2)$ и $c=x_1\\cdot x_2$.","Чтобы найти коэффициенты уравнения, необходимо применить обратную теорему Виета.",""],"answer":[3]},"image-358":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_syshhik-01-1.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Найдем коэффициенты уравнения с помощью обратной теоремы Виета.","Найдем второй коэффициент при $x$: $b=-(x_1+x_2)=-(-1+3)=-2$.","Найдем свободный член: $c=x_1\\cdot x_2=-1\\cdot3=-3$.","Составим квадратное уравнение: $x^2-2x-3=0$."],"id":"5"},{"content":"Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $0,4$ и $2\\frac{1}{2}$.[[choice-1269]][[image-257]]","widgets":{"choice-1269":{"type":"choice","options":["$x^2-2,9x+1=0$","$x^2+\\frac{9}{10}x+1=0$","$x^2-2,5x+1=0$","$x^2+2,5x+1=0$"],"explanations":["","Второй коэффициент найден неверно: $b=-(x_1+x_2)=-(\\frac{2}{5}+\\frac{5}{2})=-(\\frac{29}{10})=-2,9$.","Второй коэффициент найден неверно: $b=-(x_1+x_2)=-(\\frac{2}{5}+\\frac{5}{2})=-(\\frac{29}{10})=-2,9$.","Второй коэффициент найден неверно: $b=-(x_1+x_2)=-(\\frac{2}{5}+\\frac{5}{2})=-(\\frac{29}{10})=-2,9$."],"answer":[0]},"image-257":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/gazeta-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Переведем десятичную дробь $0,4$ в обычную: $0,4=\\frac{4}{10}=\\frac{2}{5}$.","Представим $2\\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $2\\frac{1}{2}=\\frac{5}{2}$.","Найдем коэффициенты уравнения с помощью обратной теоремы Виета.","Найдем второй коэффициент при $x$: $b=-(x_1+x_2)=-(\\frac{2}{5}+\\frac{5}{2})=-(\\frac{4}{10}+\\frac{25}{10})=-(\\frac{29}{10})$.","Найдем свободный член: $c=x_1\\cdot x_2=\\frac{2}{5}\\cdot\\frac{5}{2}=1$.","Переведем значение коэффициента $b$ в десятичную дробь: $b=-(\\frac{29}{10})=-2,9$.","Составим квадратное уравнение: $x^2-2,9x+1=0$."],"id":"5"},{"content":"Определите знаки корней квадратного уравнения $$5x^2+17x-93=0,$$ не решая его.[[choice-1547]]","widgets":{"choice-1547":{"type":"choice","options":["Оба корня положительные","Оба корня отрицательные","Корни разных знаков","Корней нет"],"explanations":["Чтобы сумма корней была отрицательной, значения $x_1$ и $x_2$ должны быть либо отрицательными, либо разных знаков.","","","$D>0$, уравнение имеет два корня."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=17^2-4\\cdot5\\cdot(-93)=289+1860=2149$. $D>0$, уравнение имеет два корня.","Приведем квадратное уравнение, разделив все его члены на коэффициент перед $x^2$: $x^2+\\frac{17}{5}x-\\frac{93}{5}=0$.","Найдем сумму и произведение корней по теореме Виета: $x_1+x_2=-\\frac{17}{5},\\;x_1\\cdot x_2=-\\frac{93}{5}$.","Чтобы произведение корней было отрицательным, $x_1$ и $x_2$ должны быть разных знаков.","Чтобы сумма корней была отрицательной, значения $x_1$ и $x_2$ должны быть либо отрицательными, либо разных знаков.","Следовательно, корни квадратного уравнения имеют разные знаки."],"id":"6"},{"content":"Определите знаки корней квадратного уравнения $$3y^2-23y+21=0,$$ не решая его.[[choice-1985]]","widgets":{"choice-1985":{"type":"choice","options":["Оба корня положительные","Оба корня отрицательные","Корни разных знаков","Корней нет"],"explanations":["","Чтобы сумма корней была положительной, значения $y_1$ и $y_2$ должны быть либо положительными, либо разных знаков.","Чтобы произведение корней было положительным, значения $y_1$ и $y_2$ должны быть либо отрицательными, либо положительными.","$D=b^2-4ac=23^2-4\\cdot3\\cdot21=529-252=277$. $D>0$, уравнение имеет два корня."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=23^2-4\\cdot3\\cdot21=529-252=277$. $D>0$, уравнение имеет два корня.","Приведем квадратное уравнение, разделив все его члены на коэффициент перед $y^2$: $y^2-\\frac{23}{3}y+\\frac{21}{3}=0$.","Найдем сумму и произведение корней по теореме Виета: $y_1+y_2=\\frac{23}{3},\\;y_1\\cdot y_2=\\frac{21}{3}$.","Чтобы произведение корней было положительным, значения $y_1$ и $y_2$ должны быть либо отрицательными, либо положительными.","Чтобы сумма корней была положительной, значения $y_1$ и $y_2$ должны быть либо положительными, либо разных знаков.","Следовательно, знаки корней квадратного уравнения — положительные."],"id":"6"},{"content":"Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней уравнения $$x^2-7x+11=0,$$ не находя корней уравнения.[[choice-2389]][[image-160]]","widgets":{"choice-2389":{"type":"choice","options":["$x_1+x_2=7,\\;x_1\\cdot x_2=11,\\;x_1^2+x_2^2=49$","$x_1+x_2=7,\\;x_1\\cdot x_2=11,\\;x_1^2+x_2^2=18$","$x_1+x_2=-7,\\;x_1\\cdot x_2=11,\\;x_1^2+x_2^2=27$","$x_1+x_2=7,\\;x_1\\cdot x_2=11,\\;x_1^2+x_2^2=27$"],"explanations":["Сумма квадратов корней посчитана неверно: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7^2-2\\cdot 11=49-22=27$.","Сумма квадратов корней посчитана неверно: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7^2-2\\cdot 11=49-22=27$.","Сумма корней определена неверно. По теореме Виета она равна второму коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком: $x_1+x_2=7$.","Сумма и произведение корней определены по теореме Виета. Сумма квадратов корней по формуле: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7^2-2\\cdot 11=49-22=27$."],"answer":[3]},"image-160":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/kosmos-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Найдем сумму корней по теореме Виета: $x_1+x_2=7$.","Найдем произведение корней по теореме Виета: $x_1\\cdot x_2=11$.","Чтобы найти $x_1^2+x_2^2$, применим формулу квадрата суммы: $(x_1+x_2)^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2$.","Перенесем $x_1^2+x_2^2$ в левую часть, остальные слагаемые — в правую: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.","Подставим значения суммы и произведения корней: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7^2-2\\cdot 11=49-22=27$."],"id":"7"},{"content":"Найдите сумму, произведение и квадрат разности корней уравнения $$x^2-8x+12=0,$$ не находя корней уравнения.[[choice-2694]][[image-67]]","widgets":{"choice-2694":{"type":"choice","options":["$x_1+x_2=-8,\\;x_1\\cdot x_2=12,\\;(x_1-x_2)^2=16$","$x_1+x_2=8,\\;x_1\\cdot x_2=12,\\;(x_1-x_2)^2=16$","$x_1+x_2=8,\\;x_1\\cdot x_2=12,\\;(x_1-x_2)^2=-16$","$x_1+x_2=8,\\;x_1\\cdot x_2=12,\\;(x_1-x_2)^2=64$"],"explanations":["Сумма корней определена неверно. По теореме Виета она равна второму коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком: $x_1+x_2=8$.","Сумма и произведение корней определены по теореме Виета. Квадрат разности корней по формуле: $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=8^2-4\\cdot 12=64-48=16$.","Квадрат разности корней не может быть отрицательным числом.","Квадрат разности корней посчитан неверно: $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=8^2-4\\cdot 12=64-48=16$."],"answer":[1]},"image-67":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/mudretsy-uchenye_tsveta-ok-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Найдем сумму корней по теореме Виета: $x_1+x_2=8$.","Найдем произведение корней по теореме Виета: $x_1\\cdot x_2=12$.","Чтобы найти $(x_1-x_2)^2$, применим формулу квадрата разности: $(x_1-x_2)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$. В этом выражении неизвестно значение $x_1^2+x_2^2$.","Чтобы найти $x_1^2+x_2^2$, применим формулу квадрата суммы: $(x_1+x_2)^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2$.","Перенесем $x_1^2+x_2^2$ в левую часть, остальные слагаемые — в правую: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.","Заменим $x_1^2+x_2^2$ в формуле $(x_1-x_2)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ выражением $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$: $(x_1-x_2)^2=(x_1^2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$.","Подставим значения суммы и произведения корней: $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=8^2-4\\cdot 12=64-48=16$."],"id":"7"}],"mix":1}</textarea></pre></div>