Разложение квадратного трехчлена на множители
Нестандартные методы решения квадратных уравнений
Мы уже умеем находить корни квадратного уравнения при помощью дискриминанта и знаем, как работает теорема Виета. Эти методы — универсальны и надежны, они подходят для решения любых квадратных уравнений.
Но если уравнение имеет рациональные корни, его можно решить быстрее с помощью специальных приемов, которые упрощают вычисления, сокращают количество шагов и позволяют сразу находить ответы без лишней арифметики.
В этом уроке мы покажем три способа, которые позволяют находить корни квадратного уравнения без вычисления дискриминанта. Такие приёмы работают, когда уравнение имеет рациональные корни — и часто позволяют решить задание устно, «в одну строку».
Нестандартные методы: преимущества
В старших классах, особенно при решении логарифмических, показательных и тригонометрических выражений, квадратные уравнения встречаются на каждом шагу — как часть более сложных преобразований.
Поэтому важно уже сейчас заложить прочный фундамент — освоить приемы, которые помогают находить корни квадратного уравнения быстрее и проще. Это вложение в будущее, которое окупится с лихвой.
Эти приемы пригодятся не только сейчас, но и в дальнейшем — когда задания станут объемнее, их будет больше, а времени на решение — меньше.
Сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна нулю
Если сумма коэффициентов квадратного трехчлена $a$, $b$ и $c$ равна нулю, то $x_1 = 1$, а $x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Доказательство
Скрыть
Рассмотрим квадратное уравнение общего вида:
$$ax^2 + bx + c = 0, a \ne 1.$$
Предположим, что $1$ является корнем квадратного уравнения, для этого подставим в него $x = 1$:
$$a(1)^2 + b(1) + c = 0.$$
Получается при $x = 1$: $a + b + c =0$.
Из теоремы Виета известно, что при $a \ne 1$:
$$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}.$$
Подставим в это выражение $x_1 = 1$, получим:
$$1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a},$$
$$x_2 = \dfrac{c}{a}.$$
Следовательно, если $a + b + c = 0$, то $x_1 = 1$, а $x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Что и требовалось доказать.
Пример
Вычислите корни квадратного уравнения:
$$5x^2 -6x + 1 = 0.$$
Показать решение
Скрыть
Если присмотреться к коэффициентам данного уравнения, видно: $a + b + c = 0$.
Проверим:
$$5 +(-6) + 1 = 0.$$
Это действительно так, значит:
$$x_1 = 1,$$
$$x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{5} = 0,2.$$
Ответ: $0,2$ и $1$.
Сумма коэффициентов a и c равна b
Если сумма коэффициентов квадратного трехчлена $a$ и $c$ равна $b$, то $x_1 = -1$, а $x_2 = -\dfrac{c}{a}$.
Доказательство
Скрыть
Рассмотрим квадратное уравнение общего вида:
$$ax^2 + bx + c = 0, a \ne 1.$$
Предположим, что $(-1)$ является корнем квадратного уравнения, для этого подставим в него $x = -1$:
$$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0.$$
Упростим выражение:
$$a -b + c = 0.$$
Перенесем $b$ вправо:
$$a + c = b.$$
Получается при $x = -1$: $a + c = b$.
По теореме Виета при $a \ne 1$:
$$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}.$$
Подставим в это выражение $x_1 = -1$, получим:
$$-1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a},$$
$$x_2 = -\dfrac{c}{a}.$$
Следовательно, если $a + c = b$, то $x_1 = -1$, а $x_2 = -\dfrac{c}{a}$.
Что и требовалось доказать.
Пример
Найдите корни квадратного уравнения:
$$3x^2 + 8x + 5 = 0.$$
Показать решение
Скрыть
Если не начинать вычислять дискриминант, а подметить что $3 + 5 = 8$, значит можно применить свойство коэффициентов и сразу дать ответ:
$$x_1 = -1, x_2 = -\dfrac{5}{3} = -1 \dfrac{2}{3}.$$
Ответ: $-1 \dfrac{2}{3}; -1$.
Метод фиктивного уравнения
Бывает так что ни одно из показанных свойств не работает. Тогда нам на помощь придет универсальный метод «Фиктивного уравнения», который подойдет для нахождения корней любого квадратного уравнения, также без использования дискриминанта, при условии, что его корнями будут являться рациональные числа.
К рациональным числам относятся
- Целые числа.
- Обыкновенные дроби.
- Конечные десятичные дроби.
- Бесконечные периодические дроби.
Пример
Решите уравнение:
$$14x^2 -5x -1 = 0.$$
Показать решение
Скрыть
Чтобы быстро решить данное уравнение нужно перемножить коэффициенты $a$ и $c$. Таким образом, мы и получим то самое «фиктивное уравнение», которое становится приведенным и быстро решается по теореме Виета:
$$14x^2 -5x -1= 0,$$
$$a\cdot c = -14.$$
Фиктивное уравнение:
$$t^2 -5t -14 = 0.$$
По теореме Виета корни фиктивного уравнения:
$$t_1 = 7, t_2 = -2.$$
Чтобы найти корни исходного, нужно корни фиктивного разделить обратно на $14$:
$$x_1 = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2} = 0,5, x_2 = -\dfrac{2}{14} = -\dfrac{1}{7}.$$
Ответ: $-\dfrac{1}{7}; 0,5$.
Как видно, при помощи этого метода, квадратное уравнение решается в три приема:
- Умножить коэффициент $c$ на $a$.
- Найти корни фиктивного уравнения по теореме Виета.
- Разделить эти корни обратно на $a$.
Приведем доказательство существования данного метода
Скрыть
Пусть дано уравнение
$$a x^2 + b x + c = 0.$$
Сделаем замену $x = \dfrac{t}{a}$ и подставим ее в исходное:
$$a \cdot \dfrac{t^2}{a^2} + b \cdot \dfrac{t}{a} + c = 0.$$
Преобразуем:
$$\dfrac{t^2}{a} + \dfrac{b t}{a} + c = 0.$$
Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{t^2 + b t + a c}{a} = 0.$$
Домножим уравнение на $a$:
$$t^2 + bt + ac = 0.$$
Значит, если $t_1$ и $t_2$ — корни квадратного уравнения $t^2 + bt + ac = 0$,
то $x_1 = \dfrac{t_1}{a}$, $x_2 = \dfrac{t_2}{a}$ — корни исходного уравнения.
Что и требовалось доказать.
Пользоваться этим методом легко, если вы хорошо освоили теорему Виета и умеете быстро находить решения для приведённого уравнения. В таком случае нужные значения подбираются в уме, что значительно экономит время и упрощает весь процесс решения.
Вывод
Освоенные приемы делают работу с квадратными уравнениями заметно проще. Чтобы они стали привычными и удобными в использовании, важна тренировка — с опытом вы начнёте видеть подходящий метод сразу.
Часто задаваемые вопросы
Нет, не обязательно. Но они помогают быстрее находить корни в некоторых уравнениях и развивают математическое чутье.
Нужно внимательно посмотреть на коэффициенты. Если их сумма или особое сочетание дает простой результат, это может быть сигналом к применению одного из приёмов. Со временем такие случаи распознаются автоматически.
Нет. Все разобранные приёмы работают только при рациональных корнях. Если ни один из приведенных приемов не сработал, нужно вычислить корни при помощи дискриминанта. Они будут иррациональными, то есть, содержать квадратные корни.
Попробуйте прикинуть суммы коэффициентов. Если первые два приема не сработают, примените метод «Фиктивного уравнения» — он работает всегда при условии,что корни — рациональные числа. В противном случае корни уравнения вычисляются через дискриминант.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти