Разложение квадратного трехчлена на множители

Дано:

$ax^2 + bx + c$, где $a \ne 0.$

Найдём корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ по формуле:

$x_1 = \frac{-b -\sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$

Рассмотрим выражение:

$a(x -x_1)(x -x_2).$

Раскроем скобки и сгруппируем:

$$a(x -x_1)(x -x_2) = a(x^2 -x \cdot x_2 -x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2) =$$

$$= a(x^2 -(x_1 + x_2)x + x_1 x_2).$$

Из теоремы Виета известно:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$

Подставим:

$a(x^2 -\left(-\frac{b}{a}\right)x + \frac{c}{a}) = a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}).$

Теперь умножим на $a$ каждое слагаемое:

$a x^2 + b x + c.$

Таким образом, доказано, что если известны корни квадратного уравнения, то квадратный трёхчлен можно представить в виде:

$$ax^2 + bx + c = a(x -x_1)(x -x_2).$$

Теорема доказана.

Поскольку в нашем примере $a = 1,$ при разложении на множители перед скобками никакое число не ставится.

Следуя вышеописанной инструкции, разложим данный квадратный трехчлен на множители:

Приравняем к нулю:

$$2x^2 + x -3 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 1^2 -4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25.$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-1 -\sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 -5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2},$$

$$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$

Разложим на множители, используя формулу:

$$a(x -x_1)(x -x_2).$$

В нашем случае коэффициент $a = 2$, поэтому:

$$2x^2 + x -3 = 2(x + \frac{3}{2})(x -1).$$

Обратите внимание, при разложении в скобках знак «$-$» изменился на «$+$». Так происходит, когда при решении получаются отрицательные корни.

Иногда требуется внести коэффициент $a$ в одну из скобок для дальнейших преобразований или просто для того, чтобы получилась более «красивая» запись:

$$2(x + \frac{3}{2})(x -1) = (2x + 3)(x -1).$$

Чтобы сократить данную дробь, нужно каждый трехчлен, стоящий в числителе и знаменателе, разложить на множители. Для этого выпишем отдельно числитель, приравняем его к нулю, вычислим корни и разложим на множители:

$$3x^2 -4x -4 = 0,$$

$$D = (-4)^2 -4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64,$$

$x_1 = \dfrac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \dfrac{4 + 8}{6} = \dfrac{12}{6} = 2$,

$x_2 = \dfrac{-(-4) -\sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \dfrac{4 -8}{6} = -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}$,

$$3x^2 -4x -4 = 3(x -2)(x + \dfrac{2}{3}).$$

Поступим также с трехчленом знаменателя:

$$x^2 + x -6 = 0,$$

$$D = 1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25,$$

$x_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 + 5}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$,

$x_2 = \dfrac{-1 -\sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 -5}{2} = -\dfrac{6}{2} = -3$,

$$x^2 + x -6 = (x -2)(x + 3).$$

Подставим разложение в исходную дробь:

$$\frac{3x^2 -4x -4}{x^2 + x -6} = \frac{3 \cdot \left(x + \frac{2}{3}\right) \cdot (x -2)}{(x + 3) \cdot (x -2)}.$$

Как видно, в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель — $(x -2)$, поэтому, мы можем его сократить. Получим выражение:

$$\frac{3 \cdot \left(x + \frac{2}{3}\right)}{x + 3}.$$

Умножив на $3$ каждое слагаемое, стоящее в скобках, получим:

$$\frac{3x + 2}{x + 3}.$$

Из представленного примера видно, как из громоздкой дроби получилась более простая. Данный прием довольно часто используется на практике для решения дробно-рациональных уравнений, построения графиков и других более сложных задач.

Приравняем трехчлен к нулю:

$$x^2 + 6x + 9 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 6^2 -4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 -36 = 0.$$

Дискриминант равен нулю, значит, уравнение имеет два одинаковых корня:

$$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a},$$

$$x_1 = x_2 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3.$$

И тогда разложение на множители будет выглядеть так:

$$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)^2.$$

А это и есть ни что иное, как формула сокращенного умножения — квадрат суммы.

Если в самом начале внимательно присмотреться к коэффициентам данного трехчлена, видно, что его можно сразу свернуть по формуле сокращенного умножения.

Приравняем трехчлен к нулю:

$$x^4 — 5x^2 + 4 = 0.$$

Получилось биквадратное уравнение, поэтому введем новую переменную, приняв $x^2$ за $t$:

Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$, тогда уравнение будет иметь вид:

$$t^2 -5t + 4 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 -4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 -16 = 9.$$

Найдём корни:

$$t_1 = \frac{5 -\sqrt{9}}{2} = \frac{5 -3}{2} = 1,$$

$$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4.$$

Сделаем обратную замену и вернемся к переменной $x$:

$t_1 = 1$, тогда $x^2 = 1$,

$$x_1 = \sqrt{1} = 1, x_2 = -\sqrt{1} = -1.$$

$t_2 = 4$, тогда $x^2 = 4$,

$$x_3 = \sqrt{4} = 2, x_4 = -\sqrt{4} = -2.$$

Итак, наше уравнение имеет четыре корня, поэтому разложение на множители будет выглядеть так:

$$x^4 — 5x^2 + 4 = (x -2)(x + 2)(x -1)(x + 1).$$

Приравняем данный трехчлен к нулю:

$$(\frac{x}{2} + 2x + 3)(\frac{x}{2} + 2x + 4) -6 = 0.$$

Сделаем замену переменной. Обратите внимание, что за $t$ мы примем выражение, которое одинаково выглядит в обеих скобках:

Пусть $t = \frac{x}{2} + 2x$, тогда уравнение будет иметь вид:

$$(t + 3)(t + 4) -6 = 0.$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$t^2 + 3t + 4t + 12 -6 = 0,$$

$$t^2 + 7t + 6 = 0.$$

Решим уравнение при помощи дискриминанта и найдем корни для $t$:

$$D = 7^2 -4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 -24 = 25,$$

$t_1 = \frac{-7 -\sqrt{25}}{2} = \frac{-7 -5}{2} = -6,$

$t_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-7 + 5}{2} = -1.$

Разложим квадратный трехчлен на множители относительно $t$:

$$t^2 + 7t + 6 = (t + 6)(t + 1).$$

Вернемся к обратной замене $t = \frac{x}{2} + 2x$ и подставим в исходный трехчлен:

$(\frac{x}{2} + 2x + 3)(\frac{x}{2} + 2x + 4) -6 = (\frac{x}{2} + 2x + 6)(\frac{x}{2} + 2x +1).$

Перемножим коэффициенты при $a$ и $c$:

$$a \cdot c = 8 \cdot 15 = 120.$$

Найдем числа, которые дают сумму $22$ и произведение $120$: это $10$ и $12$.

Разбиваем $22x$ на сумму (коэффициенты при $x$ будут найденными числами):

$$8x^2 + 10x + 12x + 15.$$

Сгруппируем парами. Здесь и далее нам поможет разложение на множители способом группировки:

$$(8x^2 + 10x) + (12x + 15).$$

Вынесем общий множитель из каждой пары:

$$2x(4x + 5) + 3(4x + 5).$$

Получаем разложение на множители:

$$(2x + 3)(4x + 5).$$