8 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Квадратный трехчлен и его корни

Корни квадратного трехчлена и разложение на множители

Содержание

В уроке «Выделение полного квадрата» вы записывали квадратный трехчлен как квадрат из плиток с поправкой: $x^2+bx+c=(x+p)^2+q$. В этом уроке эта запись поможет найти корни трехчлена — числа, при которых он равен нулю, — и разложить трехчлен на множители по формуле разности квадратов из 7 класса («Разность квадратов»). Разберем и случай, когда разложить трехчлен нельзя.

Начнем с вопроса. График трехчлена $x^2+2x-4$ пересекает ось $x$ в двух точках: одна лежит между $1$ и $2$, другая — между $-4$ и $-3$. Где именно? По клеткам этого не определить.

Корни трехчлена видны на графике как точки на оси

Возьмем трехчлен $x^2+2x-8$ и вычислим его значения при целых $x$ от $-5$ до $3$.

$x$	$x^2+2x-8$
$-5$	$7$
$-4$	$0$
$-3$	$-5$
$-2$	$-8$
$-1$	$-9$
$0$	$-8$
$1$	$-5$
$2$	$0$
$3$	$7$

Дважды получился нуль: при $x=-4$ и при $x=2$. Отметим точки с такими координатами на плоскости и соединим плавной линией. Получится парабола той же формы, что график $y=x^2$, только сдвинутая. Значение трехчлена — это высота точки графика над осью $x$ (или глубина под ней). Там, где трехчлен равен нулю, график пересекает ось $x$: в точках $-4$ и $2$.

Определение

Корень квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ — значение $x$, при котором трехчлен равен нулю. Корни трехчлена — это корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ и абсциссы точек, в которых график $y=ax^2+bx+c$ пересекает ось $x$.

Две параболы: у x²+2x−8 нули −4 и 2 читаются точно; у x²+2x−4 пересечения с осью лежат между −4 и −3 и между 1 и 2, точное значение по графику не прочитать — Парабола $y=x^2+2x-8$ пересекает ось $x$ в точках $-4$ и $2$ — это корни. У $y=x^2+2x-4$ точки пересечения по рисунку точно не прочитать

Корень всегда можно проверить подстановкой: $(-4)^2+2\cdot(-4)-8=16-8-8=0$. А у трехчлена $x^2+2x-4$ целые числа нуля не дают: при $x=1$ он равен $-1$, при $x=2$ равен $4$. Значение меняет знак между $1$ и $2$, значит, корень лежит между ними и он не целый. Нужен способ находить корни без графика и без перебора.

{"questions":[{"content":"Какое из чисел является корнем трехчлена $x^2-2x-15$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$15$","$5$","$-5$","$2$"],"explanations":["При $x=15$: $225-30-15=180\\ne0$; $15$ — это модуль $c$","","При $x=-5$: $25+10-15=20\\ne0$","При $x=2$: $4-4-15=-15\\ne0$"],"answer":[1]}},"hints":["Корень — число, при подстановке которого трехчлен равен нулю.","При $x=5$: $25-10-15=0$.","Ответ: $5$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]На рисунке — график трехчлена $y=x^2+2x-3$. Найдите его больший корень. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ogqjvszlmqej.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Корни трехчлена — абсциссы точек, где парабола пересекает ось $x$.","Парабола пересекает ось в точках $-3$ и $1$.","Больший корень — $1$."],"step":1},{"content":"Число $3$ — корень трехчлена $x^2-7x+c$. Найдите $c$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Подставим $x=3$: $9-21+c=0$.","$c=12$.","Ответ: $12$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Полный квадрат показывает, где трехчлен равен нулю

Выделим полный квадрат, как в уроке «Выделение полного квадрата»: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-1-8=(x+1)^2-9$. На плитках: квадрат $x\times x$ и две полоски $x\times1$ достроили одной единичной плиткой до квадрата со стороной $x+1$, а потом убрали $9$ плиток — добавленную и еще $8$.

Квадрат со стороной x+1: внутри x², две полоски и плитка-угол; убран квадрат 3 на 3 (9 плиток). Значит x²+2x−8=(x+1)²−9, и трехчлен равен нулю, когда (x+1)²=9 — $x^2+2x-8=(x+1)^2-9$: трехчлен равен нулю, когда площадь квадрата со стороной $x+1$ равна $9$

Трехчлен равен нулю, когда $(x+1)^2-9=0$, то есть $(x+1)^2=9$: площадь квадрата со стороной $x+1$ равна площади $9$ убранных плиток. Квадрат числа равен $9$ в двух случаях: число равно $3$ или $-3$. Значит, $x+1=3$ или $x+1=-3$, откуда $x=2$ или $x=-4$. Это те же корни, что на графике.

Плитки показывают только случай $x+1=3$: у квадрата из плиток сторона положительна. Второй корень дает алгебра — $(-3)^2=9$ тоже.

Правило

Чтобы найти корни трехчлена $x^2+bx+c$, выделите полный квадрат $(x+p)^2+q$ и решите уравнение $(x+p)^2=m$, где $m=-q$. Если $m>0$, корней два:

$$x+p=\sqrt m\ \text{или}\ x+p=-\sqrt m,\qquad x=-p\pm\sqrt m$$

Пример

1) Найдите корни трехчлена $x^2-6x-16$.

Решение. Половина коэффициента $-6$ равна $-3$: $x^2-6x-16=(x-3)^2-9-16=(x-3)^2-25$. Решаем $(x-3)^2=25$: $x-3=5$ или $x-3=-5$, то есть $x=8$ или $x=-2$. Проверка: $64-48-16=0$ и $4+12-16=0$.

2) Найдите корни трехчлена $x^2-x-6$.

Решение. Половина коэффициента $-1$ равна $-\frac12$: $x^2-x-6=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14-6=\left(x-\frac12\right)^2-\frac{25}4$. Тогда $x-\frac12=\frac52$ или $x-\frac12=-\frac52$, то есть $x=3$ или $x=-2$.

3) Вернемся к вопросу из начала урока: $x^2+2x-4=(x+1)^2-5$. Из $(x+1)^2=5$ получаем $x=-1+\sqrt5\approx1{,}24$ и $x=-1-\sqrt5\approx-3{,}24$. Первое число лежит между $1$ и $2$, второе — между $-4$ и $-3$, как и показывал график.

Ответ: $8$ и $-2$; $3$ и $-2$; $-1+\sqrt5$ и $-1-\sqrt5$.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте уравнение и его корни.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(x-1)^2=16$","$(x+2)^2=1$","$(x-6)^2=9$"],"items":["$-3$ и $5$","$-3$ и $-1$","$3$ и $9$","$3$ и $-5$"]}},"instruction":"Соотнесите уравнение и корни","hints":["Если $(x+p)^2=m$ и $m>0$, то $x+p=\\sqrt m$ или $x+p=-\\sqrt m$.","$(x-1)^2=16$: $x-1=4$ или $x-1=-4$, $x=5$ или $x=-3$. $(x+2)^2=1$: $x=-1$ или $x=-3$. $(x-6)^2=9$: $x=9$ или $x=3$.","Ответ: $(x-1)^2=16$ → $-3$ и $5$; $(x+2)^2=1$ → $-3$ и $-1$; $(x-6)^2=9$ → $3$ и $9$; пара $3$ и $-5$ лишняя."],"step":1},{"content":"Выделите полный квадрат и найдите корни трехчлена $x^2+8x+7$. В ответе запишите больший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-1"}},"hints":["$x^2+8x+7=(x+4)^2-9$.","$(x+4)^2=9$, откуда $x+4=3$ или $x+4=-3$.","$x=-1$ или $x=-7$; больший — $-1$."],"step":1}],"mix":1}

Квадрат без квадрата складывается в прямоугольник

Вернемся к записи $x^2+2x-8=(x+1)^2-9$. Справа стоит разность двух квадратов: $(x+1)^2$ и $9=3^2$. По формуле $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ из урока «Разность квадратов» получаем:

$$(x+1)^2-3^2=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4)$$

На плитках это перекладывание. Из квадрата со стороной $x+1$ вырезан квадрат $3\times3$. Оставшийся уголок разрезаем на две полосы и складываем из них прямоугольник со сторонами $x+1-3=x-2$ и $x+1+3=x+4$.

Квадрат со стороной x+1 без квадрата 3 на 3: оставшийся уголок режется на две полосы, узкая приставляется к широкой — получается прямоугольник x−2 на x+4. (x+1)²−3²=(x−2)(x+4) — Квадрат без квадрата — прямоугольник: $(x+1)^2-3^2=(x-2)(x+4)$

Посмотрите на скобки. Множитель $x-2$ равен нулю при $x=2$, множитель $x+4$ — при $x=-4$. Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель, поэтому корни трехчлена — это числа, при которых обращаются в нуль скобки. В каждой скобке записано «$x$ минус корень»: $x-2=x-(2)$, $x+4=x-(-4)$.

Правило

Если $x_1$ и $x_2$ — корни трехчлена $ax^2+bx+c$, то

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$

В каждой скобке — $x$ минус корень, поэтому знак числа в скобке противоположен знаку корня. При $a=1$ множитель $a$ не пишут.

Почему это верно при $a=1$. Пусть $x^2+bx+c=(x+p)^2-m$ и $m>0$. Тогда $(x+p)^2-\left(\sqrt m\right)^2=\left(x+p-\sqrt m\right)\left(x+p+\sqrt m\right)$. Корни $x_1=-p+\sqrt m$ и $x_2=-p-\sqrt m$, поэтому первая скобка равна $x-x_1$, а вторая — $x-x_2$.

Разложение проверяют раскрытием скобок: $(x-2)(x+4)=x^2+4x-2x-8=x^2+2x-8$. При $a=1$ раскрытие $(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$ дает быструю проверку: произведение корней равно $c$, а сумма корней равна $-b$.

Ошибка

Решавр разложил $x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$ — разложение верное, раскрытие скобок дает $x^2+8x+15$. Но в ответе он записал: «корни $3$ и $5$».

Проверим подстановкой. При $x=3$ трехчлен равен $9+24+15=48$, при $x=5$ равен $80$ — не нули. А при $x=-3$: $9-24+15=0$, при $x=-5$: $25-40+15=0$.

Где ломается рассуждение. Корень — значение $x$, при котором скобка равна нулю: $x+3=0$ при $x=-3$. Решавр переписал число из скобки, не поменяв знак. В скобке стоит $x$ минус корень: $x+3=x-(-3)$.

Парабола y=(x+3)(x+5) пересекает ось в точках −5 и −3. Решавр взял числа из скобок без смены знака — точки 3 и 5 на оси, но в них график далеко над осью: значения 48 и 80 — Парабола $y=x^2+8x+15$ пересекает ось в точках $-5$ и $-3$; в точках $3$ и $5$ трехчлен равен $48$ и $80$ — это не корни

Пример

1) Разложите на множители $x^2+4x-12$.

Решение. $x^2+4x-12=(x+2)^2-4-12=(x+2)^2-16$. Так как $16=4^2$, получаем $(x+2-4)(x+2+4)=(x-2)(x+6)$. Корни $2$ и $-6$. Проверка: $(x-2)(x+6)=x^2+6x-2x-12=x^2+4x-12$; произведение корней $2\cdot(-6)=-12$, сумма $-4$.

2) Разложите на множители $x^2+2x-4$.

Решение. $x^2+2x-4=(x+1)^2-5=(x+1)^2-\left(\sqrt5\right)^2=\left(x+1-\sqrt5\right)\left(x+1+\sqrt5\right)$. Корни не целые, но разложение есть.

Ответ: $(x-2)(x+6)$; $\left(x+1-\sqrt5\right)\left(x+1+\sqrt5\right)$.

{"questions":[{"content":"Заполните пропуск: $x^2+10x+21=(x+5)^2-4=(x+3)(x+[[fill_choice-1]])$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-7$","$2$","$7$","$21$"],"answer":2}},"hints":["Запишите $4=2^2$ и примените разность квадратов: $(x+5)^2-2^2=(x+5-2)(x+5+2)$.","$x+5-2=x+3$, $x+5+2=x+7$.","Ответ: $7$."],"step":1},{"content":"Решавр разложил $x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$ и написал: «корни $5$ и $1$». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корни $-5$ и $1$","Корни $5$ и $1$","Корни $5$ и $-1$","Разложение неверно, корней нет"],"explanations":["","Это запись Решавра: скобка $x+5$ обращается в нуль при $x=-5$, а не при $5$","Знаки поменяли у обоих корней; скобка $x-1$ дает корень $1$","Разложение верное: раскрытие скобок дает исходный трехчлен"],"answer":[0]}},"hints":["Разложение верно: $(x+5)(x-1)=x^2+4x-5$.","Корень — значение $x$, при котором скобка равна нулю: $x+5=0$ при $x=-5$.","Корни: $-5$ и $1$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Старший коэффициент остается множителем, а одинаковые скобки дают квадрат

Если старший коэффициент не равен $1$, сначала выносим его за скобки, как в уроке «Выделение полного квадрата»: плитки делятся на $a$ одинаковых групп, и мы раскладываем одну группу.

$$3x^2-6x-9=3\left(x^2-2x-3\right)=3\left((x-1)^2-4\right)=3(x-3)(x+1)$$

Корни трехчлена $3x^2-6x-9$ те же, что у $x^2-2x-3$: $3$ и $-1$. Множитель $3$ на корни не влияет, но без него равенство неверно.

Ошибка

Решавр раскладывает $2x^2-6x-8$. Он верно находит корни $4$ и $-1$ и пишет $2x^2-6x-8=(x-4)(x+1)$.

Проверим числами при $x=0$: слева $-8$, справа $(0-4)(0+1)=-4$. Раскрытие скобок дает $(x-4)(x+1)=x^2-3x-4$ — ровно половину исходного трехчлена.

Где ломается рассуждение. У трехчленов $2x^2-6x-8$ и $x^2-3x-4$ корни одинаковые, но сами трехчлены разные: первый вдвое больше второго. Корни задают скобки, а множитель $a$ нужно записать отдельно: $2x^2-6x-8=2(x-4)(x+1)$.

Две параболы с одними нулями −1 и 4: y=2(x−4)(x+1) и y=(x−4)(x+1). Значения второй вдвое меньше — без множителя 2 получился другой трехчлен — У $y=2x^2-6x-8$ и $y=x^2-3x-4$ одни и те же нули $-1$ и $4$, но значения различаются вдвое: множитель $2$ из разложения не выбросить

Бывает, что после выделения квадрата вычитать нечего: $x^2-14x+49=(x-7)^2$ — из плиток сразу складывается квадрат. Такой трехчлен равен нулю только при $x-7=0$, то есть при $x=7$: корень один. Разложение $(x-7)^2=(x-7)(x-7)$ состоит из двух одинаковых скобок. График такого трехчлена касается оси $x$ в одной точке.

Правило

Если трехчлен записывается как $a(x-x_0)^2$, то у него один корень $x_0$, а разложение на множители — $a(x-x_0)(x-x_0)=a(x-x_0)^2$.

Пример

Разложите на множители $2x^2+8x+8$ и найдите корень.

Решение. Выносим $2$: $2x^2+8x+8=2\left(x^2+4x+4\right)=2(x+2)^2$. Скобка $x+2$ равна нулю при $x=-2$. Проверка: $2\cdot(-2)^2+8\cdot(-2)+8=8-16+8=0$.

Ответ: $2(x+2)^2$; корень $-2$.

{"questions":[{"content":"Разложите на множители трехчлен $2x^2-14x+20$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2(x-2)(x-5)$","$2(x+2)(x+5)$","$(x-2)(x-5)$","$2(x-4)(x-10)$"],"explanations":["","Знаки корней перепутаны: раскрытие дает $2x^2+14x+20$","Потерян множитель $2$: раскрытие дает $x^2-7x+10$, вдвое меньше нужного","Удвоили корни: раскрытие дает $2x^2-28x+80$"],"answer":[0]}},"hints":["Вынесем $2$: $2(x^2-7x+10)$.","Корни $x^2-7x+10$: $2$ и $5$.","$2x^2-14x+20=2(x-2)(x-5)$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"У трехчлена $x^2+18x+81$ ровно один корень. Найдите его. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-9"}},"hints":["$x^2+18x+81=(x+9)^2$.","$(x+9)^2=0$ только при $x=-9$.","Ответ: $-9$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Если к квадрату добавлены плитки, корней нет

Выделим полный квадрат у $x^2+2x+5$: $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$. Теперь плитки не убраны, а добавлены: к квадрату приложены еще $4$ единицы. Квадрат любого числа не меньше нуля, поэтому $(x+1)^2+4\ge4$ при любом $x$. Трехчлен никогда не равен нулю — корней нет, и график целиком лежит выше оси $x$.

Разложить такой трехчлен на линейные множители нельзя. Если бы $x^2+2x+5=(x-x_1)(x-x_2)$, то при $x=x_1$ правая часть равнялась бы нулю, а левая не равна нулю ни при каком $x$.

Ошибка

Решавр пишет: $x^2+2x+5=(x+1)^2+4=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)$.

Проверим. $(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$ — это другой трехчлен. При $x=1$ правая часть равна нулю, а $x^2+2x+5$ равен $1+2+5=8$.

Где ломается рассуждение. Формула $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ относится к разности, а $(x+1)^2+4$ — сумма.

Три случая: из квадрата убраны плитки (два корня, парабола пересекает ось); ровно квадрат (один корень, парабола касается оси); плитки добавлены снаружи (корней нет, парабола над осью) — Квадрат минус плитки — два корня, ровно квадрат — один корень, квадрат плюс плитки — корней нет

Правило

Выделите полный квадрат: $x^2+bx+c=(x+p)^2+q$ (при $a\ne1$ сначала вынесите $a$).

$q<0$ — два корня, трехчлен раскладывается: $a(x-x_1)(x-x_2)$;
$q=0$ — один корень: $a(x-x_0)^2$;
$q>0$ — корней нет, на линейные множители трехчлен не раскладывается.

Число $q$ можно найти сразу по коэффициентам. При $a=1$ половина $b$ равна $\frac b2$, поэтому $q=c-\frac{b^2}4=-\frac{b^2-4c}4$. Знак $q$ противоположен знаку числителя $b^2-4c$. У этого числителя есть свое название.

Определение

Дискриминант квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ — число

$$D=b^2-4ac$$

При $a=1$ это $b^2-4c$, то есть $-4q$. Если $D>0$, корней два, если $D=0$ — один, если $D<0$ — корней нет. При $a\ne1$ после выноса $a$ получается $q=-\frac{D}{4a^2}$, знак тот же.

Трехчлен	Полный квадрат	$q$	$D$	Корни
$x^2+2x-8$	$(x+1)^2-9$	$-9$	$36$	два: $2$ и $-4$
$x^2-14x+49$	$(x-7)^2$	$0$	$0$	один: $7$
$x^2+2x+5$	$(x+1)^2+4$	$4$	$-16$	нет

Дискриминант — короткая запись того же вопроса «плитки убраны или добавлены». Как по $D$ сразу записать корни, не выделяя квадрат, разобрано в уроке «Дискриминант и формула корней». Проверьте себя в интерактиве: выберите трехчлен, предскажите число корней и разложение, а потом сравните с параболой.

parabola-nuli-proverka

{"questions":[{"content":"Выделите полный квадрат и распределите трехчлены по числу корней.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Два корня","Один корень","Нет корней"],"items":[["$x^2+6x+8$","$x^2-2x-1$"],["$x^2+12x+36$","$x^2-16x+64$"],["$x^2+6x+10$","$x^2-2x+3$"]]}},"instruction":"Распределите трехчлены по группам","hints":["Запишите каждый трехчлен в виде $(x+p)^2+q$. Если $q<0$, корней два; если $q=0$ — один; если $q>0$ — корней нет.","$x^2+6x+8=(x+3)^2-1$, $x^2-2x-1=(x-1)^2-2$; $x^2+12x+36=(x+6)^2$, $x^2-16x+64=(x-8)^2$; $x^2+6x+10=(x+3)^2+1$, $x^2-2x+3=(x-1)^2+2$.","Два корня: $x^2+6x+8$, $x^2-2x-1$. Один корень: $x^2+12x+36$, $x^2-16x+64$. Нет корней: $x^2+6x+10$, $x^2-2x+3$."],"step":1},{"content":"Решавр записал: $x^2-10x+26=(x-5)^2+1=(x-5-1)(x-5+1)=(x-6)(x-4)$, значит, корни $6$ и $4$. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Все верно: корни $6$ и $4$","Корней нет: $(x-5)^2+1\\ge1$ при любом $x$","Корни $-6$ и $-4$: знаки перепутаны","Корень один: $x=5$"],"explanations":["Проверка: при $x=6$ трехчлен равен $2$, а не $0$. Решавр применил формулу разности квадратов к сумме","","При $x=-6$ трехчлен равен $122$. Дело не в знаках: значение не меньше $1$ ни при каком $x$","При $x=5$ трехчлен равен $(5-5)^2+1=1$, а не $0$. Один корень бывает, когда после квадрата ничего не остается"],"answer":[1]}},"hints":["Подставьте $x=6$ в трехчлен: $36-60+26=2$, а не $0$. Значит, где-то ошибка.","$(x-5)^2+1$ — сумма, а не разность квадратов: формула $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ здесь не применяется.","$(x-5)^2\\ge0$, поэтому $(x-5)^2+1\\ge1$ при любом $x$. Корней нет, на линейные множители трехчлен не раскладывается."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Корни квадратного трехчлена и его разложение на множители читаются из одной записи — полного квадрата. Важно, убраны плитки из квадрата или добавлены.

Два правила, которые берегут от ошибок: в скобке стоит $x$ минус корень, поэтому знак числа в скобке противоположен знаку корня; при $a\ne1$ множитель $a$ остается перед скобками. Разложение трехчлена понадобится в уроке «Применение квадратного трехчлена» для сокращения дробей, а также в заданиях ОГЭ на преобразование выражений.

Часто задаваемые вопросы

Чем корень трехчлена отличается от корня квадратного уравнения?

Ничем: корень трехчлена $ax^2+bx+c$ — это корень уравнения $ax^2+bx+c=0$. Разница только в вопросе. Про уравнение спрашивают «при каком $x$ верно равенство», про трехчлен — «при каком $x$ он равен нулю» и «как записать его произведением».

Что делать, если старший коэффициент отрицательный?

Вынести его за скобки вместе со знаком: $-x^2+x+6=-\left(x^2-x-6\right)=-(x-3)(x+2)$. Минус перед скобками — это множитель $a=-1$, его нельзя терять так же, как любой другой $a$.

Можно ли разложить трехчлен, если корни не целые?

Да. Например, $x^2+2x-4=\left(x+1-\sqrt5\right)\left(x+1+\sqrt5\right)$. Главное — чтобы после выделения квадрата плитки были убраны ($q<0$): тогда получается разность квадратов, и разложение существует.

Как быстро проверить разложение?

Раскройте скобки или подставьте $x=0$: значение $a(0-x_1)(0-x_2)=ax_1x_2$ должно совпасть с $c$. Для $2(x-4)(x+1)$ получаем $2\cdot(-4)\cdot1=-8$, и у $2x^2-6x-8$ свободный член тоже $-8$. Если забыть множитель $a$, такая проверка сразу покажет расхождение.

Зачем выделять полный квадрат, если есть дискриминант?

Полный квадрат объясняет, откуда берутся корни и почему их бывает два, один или ни одного. Дискриминант — короткая запись того же числа $q$ через коэффициенты, с ним считать быстрее. Формулу корней через $D$ вы получите в уроке «Дискриминант и формула корней».

Награды за урок