Корни квадратного трехчлена и разложение на множители

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какое из чисел является корнем трехчлена $x^2-x-12$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$12$","$-4$","$3$","$4$"],"explanations":["При $x=12$ значение равно $120$, а не нулю","При $x=-4$ значение равно $8$, а не нулю","При $x=3$ значение равно $-6$, а не нулю",""],"answer":[3]}},"hints":["Корень — число, при подстановке которого трехчлен обращается в нуль.","Проверка: при $x=4$ значение равно $0$.","Ответ: $4$."],"step":1},{"id":"1","content":"Какое из чисел является корнем трехчлена $x^2+3x-40$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-5$","$8$","$40$","$5$"],"explanations":["При $x=-5$ значение равно $-30$, а не нулю","При $x=8$ значение равно $48$, а не нулю","При $x=40$ значение равно $1680$, а не нулю",""],"answer":[3]}},"hints":["Корень — число, при подстановке которого трехчлен обращается в нуль.","Проверка: при $x=5$ значение равно $0$.","Ответ: $5$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]На рисунке — график трехчлена $y=x^2-4x+3$. Найдите его больший корень. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/2lxpsllneero.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Корни трехчлена — абсциссы точек пересечения параболы с осью $x$.","Парабола пересекает ось в точках $1$ и $3$.","Больший корень — $3$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]На рисунке — график трехчлена $y=x^2-2x-8$. Найдите его больший корень. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kpdvkgwnhghg.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Корни трехчлена — абсциссы точек пересечения параболы с осью $x$.","Парабола пересекает ось в точках $-2$ и $4$.","Больший корень — $4$."],"step":1},{"id":"3","content":"Разложите на множители: $x^2-8x+7=(x-4)^2-9=(x-1)(x[[fill_choice-1]])$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-9$","$-3$","$-7$","$+7$"],"answer":2}},"hints":["Запишем $9=3^2$ и применим разность квадратов: $(x-4-3)(x-4+3)$.","$x-4-3=x-7$, $x-4+3=x-1$.","Ответ: в пропуске $-7$; корни трехчлена $1$ и $7$."],"step":1},{"id":"3","content":"Разложите на множители: $x^2+6x-16=(x+3)^2-25=(x-2)(x[[fill_choice-2]])$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$+5$","$-25$","$-8$","$+8$"],"answer":3}},"hints":["Запишем $25=5^2$ и применим разность квадратов: $(x+3-5)(x+3+5)$.","$x+3-5=x-2$, $x+3+5=x+8$.","Ответ: в пропуске $+8$; корни трехчлена $2$ и $-8$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте трехчлен и его разложение на множители.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2-9x+20$","$x^2+2x-35$","$x^2-2x-24$"],"items":["$(x-4)(x-5)$","$(x+7)(x-5)$","$(x-6)(x+4)$","$(x+4)(x+6)$"]}},"instruction":"Соотнесите трехчлен и разложение","hints":["Раскройте скобки каждого разложения и сравните с трехчленами. Или проверьте: произведение чисел в скобках с обратным знаком равно $c$, их сумма равна $-b$ (проверка из урока).","Скобки пишем со знаком, противоположным корню: корень $4$ — скобка $(x-4)$.","Ответ: $x^2-9x+20$ → $(x-4)(x-5)$; $x^2+2x-35$ → $(x+7)(x-5)$; $x^2-2x-24$ → $(x-6)(x+4)$; лишнее разложение — не подходит ни к одному трехчлену."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте трехчлен и его разложение на множители.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$x^2+x-42$","$x^2-11x+28$","$x^2+13x+36$"],"items":["$(x+7)(x-6)$","$(x-4)(x-7)$","$(x+4)(x+9)$","$(x-7)(x+6)$"]}},"instruction":"Соотнесите трехчлен и разложение","hints":["Раскройте скобки каждого разложения и сравните с трехчленами. Или проверьте: произведение чисел в скобках с обратным знаком равно $c$, их сумма равна $-b$ (проверка из урока).","Скобки пишем со знаком, противоположным корню: корень $4$ — скобка $(x-4)$.","Ответ: $x^2+x-42$ → $(x+7)(x-6)$; $x^2-11x+28$ → $(x-4)(x-7)$; $x^2+13x+36$ → $(x+4)(x+9)$; лишнее разложение — не подходит ни к одному трехчлену."],"step":1},{"id":"5","content":"Выделите полный квадрат и найдите корни трехчлена $x^2+10x+16$. В ответе запишите больший корень. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["$x^2+10x+16=(x+5)^2-9$.","$(x+5)^2=9$, откуда $x+5=3$ или $x+5=-3$.","$x=-2$ или $x=-8$; больший — $-2$."],"step":1},{"id":"5","content":"Выделите полный квадрат и найдите корни трехчлена $x^2-8x+12$. В ответе запишите меньший корень. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$x^2-8x+12=(x-4)^2-4$.","$(x-4)^2=4$, откуда $x-4=2$ или $x-4=-2$.","$x=6$ или $x=2$; меньший — $2$."],"step":1},{"id":"6","content":"Разложите на множители трехчлен $3x^2-6x-24$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$3(x-12)(x+6)$","$(x-4)(x+2)$","$3(x-4)(x+2)$","$3(x+4)(x-2)$"],"explanations":["Корни умножили на $3$: $3$ — это множитель всего трехчлена, а не корня","Потерян множитель $3$: раскрытие дает $x^2-2x-8$","","Знаки корней перепутаны: скобка $(x+m)$ дает корень $-m$"],"answer":[2]}},"hints":["Вынесем $3$: $3(x^2-2x-8)$.","Корни $x^2-2x-8$: $4$ и $-2$.","$3x^2-6x-24=3(x-4)(x+2)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Разложите на множители трехчлен $2x^2+10x-12$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$2(x-6)(x+1)$","$2(x+12)(x-2)$","$(x+6)(x-1)$","$2(x+6)(x-1)$"],"explanations":["Знаки корней перепутаны: скобка $(x+m)$ дает корень $-m$","Корни умножили на $2$: $2$ — это множитель всего трехчлена, а не корня","Потерян множитель $2$: раскрытие дает $x^2+5x-6$",""],"answer":[3]}},"hints":["Вынесем $2$: $2(x^2+5x-6)$.","Корни $x^2+5x-6$: $-6$ и $1$.","$2x^2+10x-12=2(x+6)(x-1)$."],"step":1},{"id":"7","content":"У трехчлена $2x^2+12x+18$ ровно один корень. Найдите его. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Вынесем $2$: $2(x^2+6x+9)$.","$x^2+6x+9=(x+3)^2$.","Корень — значение, при котором скобка равна нулю: $x=-3$."],"step":1},{"id":"7","content":"У трехчлена $3x^2-24x+48$ ровно один корень. Найдите его. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Вынесем $3$: $3(x^2-8x+16)$.","$x^2-8x+16=(x-4)^2$.","Корень — значение, при котором скобка равна нулю: $x=4$."],"step":1},{"id":"8","content":"При каком значении $c$ у трехчлена $x^2-10x+c$ ровно один корень? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["Один корень — когда трехчлен равен полному квадрату: $x^2-10x+c=(x-5)^2+q$ и $q=0$.","$(x-5)^2=x^2-10x+25$, значит, $c=25$.","Ответ: $c=25$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каком значении $c$ у трехчлена $x^2+12x+c$ ровно один корень? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Один корень — когда трехчлен равен полному квадрату: $x^2+12x+c=(x+6)^2+q$ и $q=0$.","$(x+6)^2=x^2+12x+36$, значит, $c=36$.","Ответ: $c=36$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Число $-3$ — корень трехчлена $x^2+bx-12$. Найдите второй корень этого трехчлена. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Подставьте $x=-3$: $(-3)^2+b\\cdot(-3)-12=0$, откуда $b=-1$.","Трехчлен $x^2-x-12$: выделите квадрат или разложите, корни — значения $x$, при которых скобки равны нулю.","Корни $-3$ и $4$, второй корень — $4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Число $2$ — корень трехчлена $x^2+bx+14$. Найдите второй корень этого трехчлена. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Подставьте $x=2$: $2^2+b\\cdot2+14=0$, откуда $b=-9$.","Трехчлен $x^2-9x+14$: выделите квадрат или разложите, корни — значения $x$, при которых скобки равны нулю.","Корни $2$ и $7$, второй корень — $7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр разложил $-x^2+2x+8$ и получил $(x-4)(x+2)$. Проверьте ответ: как этот трехчлен раскладывается на самом деле?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$-(x-4)(x+2)$","$(x-4)(x+2)$","$-(x+4)(x-2)$","$-(x-4)(x-2)$"],"explanations":["","Потерян множитель $a=-1$: раскрытие даст $x^2-2x-8$, а нужен $-x^2+2x+8$","Знаки корней перепутаны: скобка $(x+m)$ дает корень $-m$","Одна скобка с неверным знаком: раскрытие даст $-x^2+6x-8$"],"answer":[0]}},"hints":["Раскройте скобки Решавра: $(x-4)(x+2)=x^2-2x-8$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$, а в условии $-1$.","Вынесите $-1$: $-x^2+2x+8=-(x^2-2x-8)$, корни скобки: $4$ и $-2$.","$-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр разложил $-x^2-x+6$ и получил $(x+3)(x-2)$. Проверьте ответ: как этот трехчлен раскладывается на самом деле?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$(x+3)(x-2)$","$-(x+3)(x+2)$","$-(x-3)(x+2)$","$-(x+3)(x-2)$"],"explanations":["Потерян множитель $a=-1$: раскрытие даст $x^2+x-6$, а нужен $-x^2-x+6$","Одна скобка с неверным знаком: раскрытие даст $-x^2-5x-6$","Знаки корней перепутаны: скобка $(x+m)$ дает корень $-m$",""],"answer":[3]}},"hints":["Раскройте скобки Решавра: $(x+3)(x-2)=x^2+x-6$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$, а в условии $-1$.","Вынесите $-1$: $-x^2-x+6=-(x^2+x-6)$, корни скобки: $-3$ и $2$.","$-x^2-x+6=-(x+3)(x-2)$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>