8 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Квадратный трехчлен и его корни

Применение квадратного трехчлена

Содержание

В уроке «Выделение полного квадрата» вы достраивали трехчлен до квадрата из плиток, а в уроке «Корни квадратного трехчлена и разложение на множители» — раскладывали его на множители. В этом уроке применим оба приема к трем задачам: сократим дробь с трехчленами, найдем, при каких $x$ она не имеет смысла, и определим знак, наименьшее и наибольшее значение трехчлена.

Вопрос к уроку

Забором длиной $20$ м огораживают прямоугольный участок у стены дома: стена служит четвертой стороной, забор идет по трем другим. Какими сделать стороны участка, чтобы его площадь была наибольшей? Ответим в последнем разделе.

Сокращают множители, а не слагаемые

Возьмем дробь $\dfrac{x^2+6x+5}{x^2-1}$. Разложить трехчлен на множители — значит сложить его плитки в прямоугольник: множители — это стороны. Плитки числителя — квадрат $x\times x$, шесть полосок $x\times1$ и пять единичных плиток — складываются в прямоугольник со сторонами $x+1$ и $x+5$: $x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$. Знаменатель — разность квадратов: $x^2-1=(x-1)(x+1)$, прямоугольник со сторонами $x-1$ и $x+1$.

Числитель x²+6x+5 — прямоугольник со сторонами x+1 и x+5, знаменатель x²−1 — прямоугольник со сторонами x+1 и x−1. Сторона x+1 общая, ее и сокращаем: остается (x+5)/(x−1) — Числитель и знаменатель — прямоугольники с общей стороной $x+1$: отношение площадей равно отношению двух других сторон

Дробь — это отношение площадей двух прямоугольников. У них общая сторона $x+1$, поэтому отношение площадей равно отношению двух других сторон: $\dfrac{x+5}{x-1}$. Проверим при $x=4$: площади равны $5\cdot9=45$ и $3\cdot5=15$, их отношение $45:15=3$, и $\dfrac{4+5}{4-1}=\dfrac93=3$.

Правило

Чтобы сократить дробь с трехчленами, разложите числитель и знаменатель на множители и разделите их на общий множитель. Сокращать можно только множители, а не слагаемые.

$$\frac{x^2+6x+5}{x^2-1}=\frac{(x+1)(x+5)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+5}{x-1}$$

Почему так можно: по основному свойству дроби числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же выражение, если оно не равно нулю. Общий множитель $x+1$ и есть такое выражение. Когда он равен нулю, разберем в следующем разделе.

Ошибка

Решавр сокращает так: $\dfrac{x^2-9}{x^2-6x+9}=\dfrac{-9}{-6x+9}$ — вычеркнул $x^2$ сверху и снизу.

Проверка при $x=4$: исходная дробь равна $\dfrac{16-9}{16-24+9}=\dfrac71=7$, а запись Решавра — $\dfrac{-9}{-24+9}=\dfrac{-9}{-15}=\dfrac35$. Числа разные, значит, преобразование неверно.

Где сломалось рассуждение: $x^2$ — слагаемое, кусок площади, а не сторона. Если убрать из двух прямоугольников по квадрату, отношение площадей меняется. Верно так: $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $x^2-6x+9=(x-3)^2$, после сокращения на $x-3$ получаем $\dfrac{x+3}{x-3}$. При $x=4$ это $\dfrac71=7$, как и у исходной дроби.

Ошибка: у дроби (x²−9)/(x²−6x+9) вычеркнули слагаемые x² — убрали кусок площади, а не сторону. Проверка при x=4: было 7, стало 3/5. Верно сокращать общий множитель x−3: (x+3)/(x−3)=7 — Вычеркнуть $x^2$ — значит отрезать кусок площади, а не общую сторону: при $x=4$ получается $\frac35$ вместо $7$

Пример 1

Сократите дроби: а) $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-1}$; б) $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4}$.

Решение. Числитель: корни трехчлена $x^2-5x+6$ равны $2$ и $3$ (проверка: $4-10+6=0$, $9-15+6=0$), поэтому $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.

а) $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Дробь $\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)}$: общих множителей нет, сократить ее нельзя.

б) $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Общий множитель $x-2$: $\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x-3}{x+2}$. Проверка при $x=5$: $\dfrac{25-25+6}{25-4}=\dfrac6{21}=\dfrac27$ и $\dfrac{5-3}{5+2}=\dfrac27$.

Ответ: а) дробь несократима; б) $\dfrac{x-3}{x+2}$.

{"questions":[{"content":"$\\dfrac{x^2+x-12}{x^2-9}=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{x-12}{-9}$","$\\dfrac{x+4}{x-3}$","$\\dfrac{x-4}{x-3}$","$\\dfrac{x+4}{x+3}$"],"answer":3}},"instruction":"Выберите результат сокращения","hints":["Разложим на множители: $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$ (корни $-4$ и $3$), $x^2-9=(x-3)(x+3)$.","Общий множитель — $x-3$, его и сокращаем.","Ответ: $\\dfrac{x+4}{x+3}$."],"step":1},{"content":"Решавр сократил дробь так: $\\dfrac{x^2-64}{x^2-16x+64}=\\dfrac{-64}{-16x+64}$. Какая запись верна?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{-64}{-16x+64}$","$\\dfrac{x-8}{x+8}$","$1$","$\\dfrac{x+8}{x-8}$"],"explanations":["Это запись Решавра: при $x=9$ дробь равна $17$, а запись — $4/5$","Числитель и знаменатель переставлены: при $x=9$ дробь равна $17$, а запись — $1/17$","Дробь не равна $1$: при $x=9$ она равна $17$",""],"answer":[3]}},"hints":["Сокращать можно только общие множители, а не слагаемые.","$x^2-64=(x-8)(x+8)$, $x^2-16x+64=(x-8)^2$.","Сократим на $x-8$: $\\dfrac{x+8}{x-8}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Где дробь теряет смысл

Дробь $\dfrac{x^2+6x+5}{x^2-1}$ и сокращенная дробь $\dfrac{x+5}{x-1}$ равны не при всех $x$. Подставим несколько значений.

$x$	$\dfrac{x^2+6x+5}{x^2-1}$	$\dfrac{x+5}{x-1}$
$-1$	$\dfrac00$ — не имеет смысла	$\dfrac4{-2}=-2$
$0$	$\dfrac5{-1}=-5$	$\dfrac5{-1}=-5$
$1$	$\dfrac{12}0$ — не имеет смысла	$\dfrac60$ — не имеет смысла
$2$	$\dfrac{21}3=7$	$\dfrac71=7$

При $x=-1$ общая сторона $x+1$ равна нулю: обе площади равны нулю, и исходная дробь превращается в $0:0$. Сокращая на $x+1$, мы при $x=-1$ делили бы на нуль. Поэтому равенство дробей верно только при $x\ne-1$ и $x\ne1$. Сокращенная дробь запрет $x\ne-1$ уже «не помнит», а исходная — помнит.

Правило

Дробь не имеет смысла при тех значениях $x$, при которых ее знаменатель равен нулю. Чтобы найти их, разложите знаменатель на множители и приравняйте каждый множитель к нулю. Значения, запрещенные до сокращения, остаются запрещенными и после него:

$$\frac{x^2+6x+5}{x^2-1}=\frac{x+5}{x-1},\quad x\ne1,\ x\ne-1$$

Пример 2

При каких значениях $x$ не имеет смысла дробь $\dfrac{x-1}{x^2+2x-15}$?

Решение. Ищем, где знаменатель равен нулю. Выделим полный квадрат: $x^2+2x-15=(x+1)^2-16$. Это разность квадратов: $(x+1-4)(x+1+4)=(x-3)(x+5)$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x=3$ или $x=-5$. Проверка: $9+6-15=0$, $25-10-15=0$.

Значение $x=1$ обращает в нуль числитель, а не знаменатель: при $x=1$ дробь имеет смысл и равна нулю.

Ответ: при $x=3$ и $x=-5$.

{"questions":[{"content":"При каких значениях $x$ не имеет смысла дробь $\\dfrac{x+1}{x^2-2x-24}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x=6$","$x=-1$","$x=6$ и $x=-4$","$x=-6$ и $x=4$"],"explanations":["Потерян второй корень знаменателя: $x=-4$ тоже обращает его в нуль","При $x=-1$ нулю равен числитель: дробь равна нулю, смысл она не теряет","","Знаки корней перепутаны: подстановка $x=-6$ дает $36+12-24=24\\ne0$"],"answer":[2]}},"hints":["Дробь не имеет смысла там, где знаменатель равен нулю.","$x^2-2x-24=(x-6)(x+4)$, нули: $6$ и $-4$.","Ответ: $x=6$ и $x=-4$."],"step":1},{"content":"Дана дробь $\\dfrac{x+3}{x^2+x-6}$. Распределите значения $x$: при каких дробь имеет смысл, а при каких — нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Дробь имеет смысл","Дробь не имеет смысла"],"items":[["$x=0$","$x=3$","$x=-2$"],["$x=-3$","$x=2$"]]}},"instruction":"Распределите значения по группам","hints":["Дробь не имеет смысла там, где знаменатель равен нулю.","$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, нули знаменателя: $-3$ и $2$.","При $x=-3$ числитель тоже равен нулю, но $0:0$ не имеет смысла. Ответ: не имеет смысла при $-3$ и $2$; имеет смысл при $0$, $3$, $-2$."],"step":1}],"mix":1}

Квадрат не бывает отрицательным

Может ли трехчлен $x^2+6x+10$ быть равен нулю или отрицательному числу? Подставлять числа по одному можно бесконечно, поэтому достроим квадрат из плиток, как в уроке о полном квадрате. Квадрат $x\times x$ и шесть полосок кладем по три с двух сторон, в угол добавляем $9$ единичных плиток — получается квадрат $(x+3)^2$. Из $10$ единичных плиток $9$ ушли в квадрат, одна осталась:

$$x^2+6x+10=(x+3)^2+1$$

x²+6x+10=(x+3)²+1: при x=0 квадрат 3 на 3 (9 клеток) и плитка — 10; при x=−2 квадрат 1 на 1 и плитка — 2; при x=−3 квадрат исчез, плитка осталась — 1. Значение не меньше 1 — Квадрат $(x+3)^2$ уменьшается до нуля при $x=-3$, а одна плитка остается всегда: значение не меньше $1$

Квадрат любого числа неотрицателен: $(x+3)^2\ge0$ при любом $x$. Значит, $(x+3)^2+1\ge1$, и трехчлен положителен при любом $x$. На схеме это видно: при $x=0$ значение $9+1=10$, при $x=-2$ — $1+1=2$, при $x=-3$ квадрат исчезает и остается $0+1=1$.

Правило

Чтобы определить знак трехчлена при любом $x$, выделите полный квадрат: $a(x-m)^2+n$. Это та же запись $a(x+p)^2+q$ из урока о полном квадрате, где $m=-p$, $n=q$.

$$a>0,\ n>0\ \Rightarrow\ a(x-m)^2+n>0;\qquad a<0,\ n<0\ \Rightarrow\ a(x-m)^2+n<0$$

Если $a>0$ и $n>0$, трехчлен положителен при любом $x$; если $a<0$ и $n<0$ — отрицателен при любом $x$.

Если $n=0$, то при $a>0$ трехчлен неотрицателен и равен нулю только при $x=m$. Если знаки $a$ и $n$ разные, трехчлен принимает значения разных знаков.

Обратите внимание

Если после квадрата вычитается число, трехчлен принимает и отрицательные значения. Например, $x^2+6x+5=(x+3)^2-4$: при $x=-3$ его значение $9-18+5=-4$. Именно такие трехчлены раскладываются на множители — как числитель из первого раздела.

Пример 3

Докажите, что $x^2+10x+27>0$ при любом $x$, а $-x^2-2x-5<0$ при любом $x$.

Решение. $x^2+10x+27=x^2+10x+25+2=(x+5)^2+2$. Так как $(x+5)^2\ge0$, получаем $(x+5)^2+2\ge2>0$.

Во втором трехчлене вынесем минус: $-x^2-2x-5=-(x^2+2x+5)=-\big((x+1)^2+4\big)=-(x+1)^2-4$. Так как $(x+1)^2\ge0$, слагаемое $-(x+1)^2\le0$, и $-(x+1)^2-4\le-4<0$.

Ответ: что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Установите соответствие между трехчленом и верным утверждением о его значениях.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2+4x+7$","$x^2-8x+16$","$x^2+2x-3$"],"items":["Положительно при любом $x$","Неотрицательно, нуль только при $x=4$","Принимает значения разных знаков","Отрицательно при любом $x$"]}},"instruction":"Соотнесите трехчлен и утверждение","hints":["Выделите полный квадрат: $x^2+4x+7=(x+2)^2+3$, $x^2-8x+16=(x-4)^2$, $x^2+2x-3=(x+1)^2-4$.","Квадрат не меньше нуля. Если к нему прибавлено положительное число, значение всегда положительно; если ничего не прибавлено, значение равно нулю, только когда скобка равна нулю; если вычтено число, при нулевой скобке значение отрицательно.","Ответ: $x^2+4x+7$ — положительно при любом $x$; $x^2-8x+16$ — неотрицательно и равно нулю только при $x=4$; $x^2+2x-3$ — принимает и положительные, и отрицательные значения."],"step":1},{"content":"Какое утверждение о трехчлене $x^2-4x+9$ верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Знак зависит от $x$: при $x<0$ положительное, при $x>0$ отрицательное","Принимает только положительные значения","Принимает отрицательные значения при $x>4$","Принимает значение $0$ при $x=2$"],"explanations":["При $x=3$: $9-12+9=6>0$; знак не меняется нигде","","При $x=5$: $25-20+9=14>0$; $(x-2)^2+5\\ge5$ при любом $x$","При $x=2$: $4-8+9=5$, а нуль получается у скобки, а не у трехчлена"],"answer":[1]}},"hints":["$x^2-4x+9=(x-2)^2+5$.","$(x-2)^2\\ge0$, поэтому значение не меньше $5$.","Трехчлен принимает только положительные значения."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Наименьшее значение — там, где квадрат исчезает

Вспомним из урока «Выделение полного квадрата»: в записи с полным квадратом видно наименьшее значение. Здесь научимся не путать «где» и «сколько» и применять это к дробям и задачам.

Вернемся к схеме: при $x=-3$ квадрат $(x+3)^2$ исчез, осталась одна плитка — значение $1$. Меньше быть не может, ведь квадрат не бывает отрицательным. Значит, $1$ — наименьшее значение трехчлена $x^2+6x+10$, и достигается оно при $x=-3$.

В ответе два разных числа. $-3$ — значение $x$: «где» достигается наименьшее значение, при нем скобка равна нулю. $1$ — само наименьшее значение: «сколько» получается. На графике трехчлена — параболе — это ее вершина: первое число откладывают по оси $x$, второе — по оси $y$.

Напоминание

При $a>0$ наименьшее значение $a(x-m)^2+n$ равно $n$ и достигается при $x=m$.

Пример 4

Найдите наименьшее значение трехчлена $x^2-2x-1$ и значение $x$, при котором оно достигается.

Решение. Выделим полный квадрат: $x^2-2x-1=x^2-2x+1-2=(x-1)^2-2$. Квадрат $(x-1)^2\ge0$ и равен нулю при $x-1=0$, то есть при $x=1$. Значит, наименьшее значение равно $-2$. Проверка: $1-2-1=-2$.

Ответ: наименьшее значение $-2$ при $x=1$.

Парабола y=x²−2x−1: вершина (1;−2) — наименьшее значение −2 достигается при x=1. При x=−2 трехчлен равен 7 — число −2 из выражения (x−1)²−2 здесь не абсцисса вершины — Вершина параболы $y=x^2-2x-1$: «где» — $x=1$ на оси $x$, «сколько» — $-2$ на оси $y$; при $x=-2$ значение равно $7$

Ошибка

Решавр записал $x^2-2x-1=(x-1)^2-2$ и ответил: «наименьшее значение достигается при $x=-2$».

Проверка подстановкой: при $x=-2$ значение трехчлена $4+4-1=7$, а при $x=1$ — $1-2-1=-2$. При $x=-2$ трехчлен вовсе не наименьший.

Где сломалось рассуждение: $-2$ — это $n$, само значение («сколько»). Значение $x$ («где») находят из условия, что скобка равна нулю: $x-1=0$, $x=1$.

Пример 5

Найдите наименьшее значение трехчлена $2x^2+4x-3$.

Решение. При $a=2$ плитки делятся на две одинаковые группы, поэтому сначала вынесем $2$ из первых двух слагаемых: $2x^2+4x-3=2(x^2+2x)-3$. Достроим квадрат в скобках: $x^2+2x=(x+1)^2-1$. Тогда $2\big((x+1)^2-1\big)-3=2(x+1)^2-2-3=2(x+1)^2-5$.

Так как $2(x+1)^2\ge0$, наименьшее значение равно $-5$ и достигается при $x=-1$. Проверка: $2-4-3=-5$.

Ответ: $-5$.

Обратите внимание: вычитаемое $1$ тоже умножается на $2$. Если забыть это, получится $2(x+1)^2-4$ и неверный ответ $-4$.

Пример 6 (повышенный уровень)

Найдите наибольшее значение выражения $\dfrac6{x^2-6x+11}$.

Решение. Знаменатель: $x^2-6x+11=(x-3)^2+2\ge2$. Он положителен при любом $x$, поэтому дробь имеет смысл всегда, и его наименьшее значение $2$ — при $x=3$. Числитель $6$ не меняется, а чем меньше положительный знаменатель, тем больше дробь. Значит, наибольшее значение дроби равно $6:2=3$ при $x=3$. Проверка: при $x=2$ и $x=4$ знаменатель равен $3$, дробь — $6:3=2<3$.

Ответ: $3$.

{"questions":[{"content":"Решавр записал $x^2-6x+14=(x-3)^2+5$ и заключил: «наименьшее значение достигается при $x=5$». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Наименьшее значение $5$ достигается при $x=5$","Наименьшее значение $5$ достигается при $x=3$","Наименьшего значения нет","Наименьшее значение $3$ достигается при $x=5$"],"explanations":["Это вывод Решавра: $5$ — значение трехчлена, а при $x=5$ он равен $25-30+14=9$","","Есть: квадрат неотрицателен, поэтому значение не меньше $5$","Числа поменяли местами: при $x=5$ значение равно $9$, не $3$"],"answer":[1]}},"hints":["Запись верна: $(x-3)^2+5=x^2-6x+14$.","$5$ — само наименьшее значение, а $x$ находят из условия $x-3=0$.","Верно: при $x=3$ значение равно $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите наименьшее значение трехчлена $2x^2-12x+26$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Вынесем $2$: $2(x^2-6x)+26$; $x^2-6x=(x-3)^2-9$.","$2(x-3)^2-18+26=2(x-3)^2+8$.","Наименьшее значение: $8$ (при $x=3$)."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите наибольшее значение выражения $\\dfrac{12}{x^2-2x+4}$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Выделим полный квадрат в знаменателе: $x^2-2x+4=(x-1)^2+3$.","Знаменатель не меньше $3$ и равен $3$ при $x=1$; чем меньше положительный знаменатель, тем больше дробь.","Наибольшее значение: $12:3=4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Наибольшее значение: ответ на вопрос о заборе

Как в уроке о полном квадрате, посмотрим на случай $a<0$. Квадрат не прибавляется, а вычитается: в записи $-2(x-5)^2+50$ плитки квадрата забирают из $50$. Забирают тем меньше, чем меньше квадрат, а меньше всего — ни одной плитки, когда скобка равна нулю. Поэтому при $a<0$ у трехчлена есть наибольшее значение, а наименьшего нет: при удалении $x$ от $5$ квадрат растет без ограничений.

Правило

Как в уроке о полном квадрате: если трехчлен записан в виде $a(x-m)^2+n$ и $a<0$, то $a(x-m)^2\le0$, и его наибольшее значение равно $n$ и достигается при $x=m$.

$$a(x-m)^2+n\le n\quad\text{при}\ a<0$$

Пример 7. Задача о заборе

Вернемся к вопросу из начала урока: забор длиной $20$ м, участок у стены.

Решение. Пусть стороны, перпендикулярные стене, равны $x$ м. Забор идет по трем сторонам, поэтому сторона вдоль стены равна $20-2x$ м. Площадь участка $S=x(20-2x)=-2x^2+20x$.

Выделим полный квадрат, вынеся $-2$: $-2x^2+20x=-2(x^2-10x)=-2\big((x-5)^2-25\big)=-2(x-5)^2+50$. Здесь $a=-2<0$, значит, наибольшее значение $S$ равно $50$ и достигается при $x=5$. Сторона вдоль стены: $20-2\cdot5=10$ м.

Проверка: $5\cdot10=50$; при $x=4$ площадь $4\cdot12=48$, при $x=6$ — $6\cdot8=48$, обе меньше.

Ответ: стороны $5$ м и $10$ м (вдоль стены), наибольшая площадь $50\ \text{м}^2$.

Задача о заборе: участок у стены, забор с трех сторон x, 20−2x, x и площадь S=x(20−2x). График S(x): вершина (5;50), наибольшая площадь 50 м² при x=5, участок 5 на 10; S=−2(x−5)²+50 — Площадь $S=-2(x-5)^2+50$ наибольшая при $x=5$: участок $5\times10$ м вытянут вдоль стены

Участок получился не квадратным: сторона вдоль стены вдвое длиннее. Стена заменяет часть забора, поэтому выгодно вытянуть участок вдоль нее. Обратите внимание: ответ задачи — стороны и площадь, а $x=5$ — лишь «где» достигается наибольшее значение.

{"questions":[{"content":"Найдите наибольшее значение трехчлена $-x^2+10x-7$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$-x^2+10x-7=-(x-5)^2+18$.","$-(x-5)^2\\le0$, наибольшее значение $0$ — при $x=5$.","Наибольшее значение трехчлена равно $18$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]Участок прямоугольной формы огораживают забором длиной $24$ м с трех сторон, четвертая сторона — стена. Стороны, перпендикулярные стене, равны $x$ м. Найдите наибольшую возможную площадь участка в квадратных метрах. [[input-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/nnzfbmlkbtqc.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"72"}},"hints":["Сторона вдоль стены равна $24-2x$ м, площадь $S=x(24-2x)=-2x^2+24x$.","$S=-2(x-6)^2+72$, наибольшее значение $72$ — при $x=6$.","Ответ: $72$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр сократил дробь: $\\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-1}=\\dfrac{x-3}{x+1}$ — и заключил: «при $x=1$ значение дроби равно $-1$». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["При $x=1$ дробь равна $0$: числитель равен нулю","Сокращение неверно: должно быть $\\dfrac{x+3}{x-1}$","Вывод верен: при $x=1$ дробь равна $-1$","При $x=1$ исходная дробь не имеет смысла"],"explanations":["Знаменатель при $x=1$ тоже равен нулю, а на нуль делить нельзя","Сокращение Решавра верное: при $x=2$ дробь равна $-\\dfrac13$, а $\\dfrac{x+3}{x-1}=5$","Это вывод Решавра: при $x=1$ в исходной дроби получается $0:0$, такое деление не имеет смысла",""],"answer":[3]}},"hints":["Сокращение верное: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, $x^2-1=(x-1)(x+1)$.","Но при $x=1$ знаменатель исходной дроби $x^2-1$ равен нулю.","Значит, при $x=1$ дробь не имеет смысла; $-1$ — значение сокращенной дроби, а не исходной."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Квадратный трехчлен встречается в дробях, в доказательствах неравенств и в задачах «на наибольшее и наименьшее»: про площадь участка, расход материала, путь тела. Такие задания есть в экзамене за 9 класс, а сокращение дробей понадобится уже в следующих темах. Все приемы урока опираются на две записи трехчлена: разложение на множители и полный квадрат. Чтобы быстро вспомнить, что делать, представьте плитки.

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя сократить $x^2$ в числителе и знаменателе?

Сокращать можно только общий множитель — то, на что делятся и весь числитель, и весь знаменатель. $x^2$ в трехчлене — одно из слагаемых, а не множитель. Проверка любым числом сразу показывает ошибку: при $x=4$ дробь $\dfrac{x^2-9}{x^2-6x+9}$ равна $7$, а $\dfrac{-9}{-6x+9}$ — $\dfrac35$.

Зачем указывать, что $x e-1$, если после сокращения дробь при $x=-1$ вычисляется?

Сокращенная дробь равна исходной только там, где исходная имеет смысл. При $x=-1$ исходная дробь — это $0:0$, такое деление не определено. Поэтому в ответе к задаче про значение дроби запрещенные точки исходной дроби остаются запрещенными.

Как не перепутать наименьшее значение и значение $x$?

Задайте себе два вопроса: «где?» и «сколько?». «Где» — значение $x$, при котором скобка $(x-m)$ равна нулю, то есть $x=m$. «Сколько» — само значение трехчлена в этой точке, число $n$. Проверьте подстановкой: при $x=m$ трехчлен должен равняться $n$.

Почему у трехчлена с $a>0$ нет наибольшего значения?

При $a>0$ к числу $n$ прибавляется $a(x-m)^2$, а квадрат растет без ограничений, когда $x$ удаляется от $m$. Например, $(x+3)^2+1$ при $x=97$ равно $10\,001$, при $x=997$ — еще больше. Ветви параболы уходят вверх бесконечно.

Плитки бывают только положительной длины. Почему рассуждение верно и при отрицательных $x$?

Плитки помогают увидеть идею, а доказывает ее алгебра. Равенство $x^2+6x+10=(x+3)^2+1$ проверяется раскрытием скобок и верно при любом $x$, а квадрат любого числа, в том числе отрицательного, неотрицателен. Поэтому вывод верен для всех $x$.

Награды за урок