Применение квадратного трехчлена

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Сократите дробь $\\dfrac{x^2-36}{x^2+12x+36}$ и найдите ее значение при $x=14$ (десятичной дробью). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,4","0.4"]}},"hints":["Числитель: $x^2-36=(x-6)(x+6)$; знаменатель: $(x+6)^2$.","После сокращения: $\\dfrac{x-6}{x+6}$.","При $x=14$ значение равно $\\dfrac{2}{5}$."],"step":1},{"id":"1","content":"Сократите дробь $\\dfrac{x^2-49}{x^2-14x+49}$ и найдите ее значение при $x=9$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Числитель: $x^2-49=(x-7)(x+7)$; знаменатель: $(x-7)^2$.","После сокращения: $\\dfrac{x+7}{x-7}$.","При $x=9$ значение равно $8$."],"step":1},{"id":"2","content":"При каких значениях $x$ не имеет смысла дробь $\\dfrac{x-3}{x^2-4x-21}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x=7$","$x=-21$ и $x=4$","$x=-7$ и $x=3$","$x=7$ и $x=-3$"],"explanations":["Потерян второй корень знаменателя: $x=-3$ тоже обращает его в нуль","Взяли коэффициенты $c$ и $-b$ вместо корней: нули знаменателя ищут разложением","Знаки корней перепутаны: подстановка $x=-7$ не дает нуля в знаменателе",""],"answer":[3]}},"hints":["Дробь не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю.","$x^2-4x-21=(x-7)(x+3)$, нули — $7$ и $-3$.","Ответ: $x=7$ и $x=-3$."],"step":1},{"id":"2","content":"При каких значениях $x$ не имеет смысла дробь $\\dfrac{5}{x^2+x-30}$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x=-30$ и $x=-1$","$x=5$ и $x=-6$","$x=5$","$x=-5$ и $x=6$"],"explanations":["Взяли коэффициенты $c$ и $-b$ вместо корней: нули знаменателя ищут разложением","","Потерян второй корень знаменателя: $x=-6$ тоже обращает его в нуль","Знаки корней перепутаны: подстановка $x=-5$ не дает нуля в знаменателе"],"answer":[1]}},"hints":["Дробь не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю.","$x^2+x-30=(x-5)(x+6)$, нули — $5$ и $-6$.","Ответ: $x=5$ и $x=-6$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте трехчлен и его наименьшее значение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2-6x+13$","$x^2+10x+20$","$x^2-4x+1$"],"items":["$4$","$-5$","$-3$","$3$"]}},"instruction":"Соотнесите трехчлен и наименьшее значение","hints":["Выделим полный квадрат: квадрат не меньше нуля, поэтому наименьшее значение — число $n$ в записи $(x-m)^2+n$.","$x^2-6x+13=(x-3)^2+4$; $x^2+10x+20=(x+5)^2-5$; $x^2-4x+1=(x-2)^2-3$.","Ответ: $x^2-6x+13$ → $4$; $x^2+10x+20$ → $-5$; $x^2-4x+1$ → $-3$; число $3$ лишнее — это значение $x$, а не трехчлена."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте трехчлен и его наименьшее значение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$x^2+8x+19$","$x^2-12x+30$","$x^2+2x+8$"],"items":["$3$","$-6$","$7$","$-4$"]}},"instruction":"Соотнесите трехчлен и наименьшее значение","hints":["Выделим полный квадрат: квадрат не меньше нуля, поэтому наименьшее значение — число $n$ в записи $(x-m)^2+n$.","$x^2+8x+19=(x+4)^2+3$; $x^2-12x+30=(x-6)^2-6$; $x^2+2x+8=(x+1)^2+7$.","Ответ: $x^2+8x+19$ → $3$; $x^2-12x+30$ → $-6$; $x^2+2x+8$ → $7$; число $-4$ лишнее — это значение $x$, а не трехчлена."],"step":1},{"id":"4","content":"Трехчлен $x^2+12x+41=(x+6)^2+5$ принимает наименьшее значение при $x=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$41$","$6$","$5$","$-6$"],"answer":3}},"hints":["Квадрат не меньше нуля; наименьшее значение трехчлена получается, когда квадрат равен нулю.","$x+6=0$, откуда $x=-6$.","Ответ: $x=-6$; при нем трехчлен равен $5$."],"step":1},{"id":"4","content":"Трехчлен $x^2-18x+85=(x-9)^2+4$ принимает наименьшее значение при $x=$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$-9$","$9$","$85$","$4$"],"answer":1}},"hints":["Квадрат не меньше нуля; наименьшее значение трехчлена получается, когда квадрат равен нулю.","$x-9=0$, откуда $x=9$.","Ответ: $x=9$; при нем трехчлен равен $4$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите наименьшее значение трехчлена $3x^2+12x+17$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Вынесем $3$: $3(x^2+4x)+17$; $x^2+4x=(x+2)^2-4$.","$3(x+2)^2-12+17=3(x+2)^2+5$.","Наименьшее значение — $5$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите наименьшее значение трехчлена $2x^2-8x+15$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Вынесем $2$: $2(x^2-4x)+15$; $x^2-4x=(x-2)^2-4$.","$2(x-2)^2-8+15=2(x-2)^2+7$.","Наименьшее значение — $7$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите наибольшее значение трехчлена $-x^2+8x-3$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["$-x^2+8x-3=-(x-4)^2+13$.","При $a<0$ слагаемое $-1(x-4)^2\\le0$, наибольшее значение $0$ — при $x=4$.","Наибольшее значение равно $13$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите наибольшее значение трехчлена $-2x^2+12x-3$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$-2x^2+12x-3=-2(x-3)^2+15$.","При $a<0$ слагаемое $-2(x-3)^2\\le0$, наибольшее значение $0$ — при $x=3$.","Наибольшее значение равно $15$."],"step":1},{"id":"7","content":"Какое утверждение верно для трехчлена $x^2+8x+20$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["<span>При любом $x$<br>значение положительно</span>","<span>Значение отрицательно<br>при $x<0$</span>","<span>Значение положительно<br>только при $x>-4$</span>","<span>Значение может<br>быть равно нулю</span>"],"explanations":["","При $x=-10$: $100-80+20=40>0$; $x<0$ не меняет знак","При $x=-5$: $25-40+20=5>0$ — слева от $-4$ тоже положительно","Наименьшее значение равно $4$ (при $x=-4$), нуль не достигается"],"answer":[0]}},"hints":["Выделим полный квадрат: $x^2+8x+20=(x+4)^2+4$.","$x^2+8x+20=(x+4)^2+4\\ge4>0$.","Ответ: при любом $x$ значение положительно."],"step":1},{"id":"7","content":"Какое утверждение верно для трехчлена $-x^2+6x-12$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["<span>При любом $x$<br>значение отрицательно</span>","<span>Значение может<br>быть равно нулю</span>","<span>Значение отрицательно<br>только при $x>3$</span>","<span>Значение положительно<br>при $x>0$</span>"],"explanations":["","Наибольшее значение равно $-3$ (при $x=3$), нуль не достигается","При $x=0$: $-12<0$ — слева от $3$ тоже отрицательно","При $x=6$: $-36+36-12=-12<0$; знак не зависит от знака $x$"],"answer":[0]}},"hints":["Выделим полный квадрат: $-x^2+6x-12=-(x-3)^2-3$.","$-x^2+6x-12=-(x-3)^2-3\\le-3<0$.","Ответ: при любом $x$ значение отрицательно."],"step":1},{"id":"8","content":"Забор длиной $30$ м ставят с трех сторон прямоугольной грядки, четвертая сторона — стена. В стороне, параллельной стене, оставляют проем для калитки шириной $2$ м: забора там нет. Сторона, перпендикулярная стене, равна $x$ м. Найдите наибольшую возможную площадь грядки в квадратных метрах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"128"}},"hints":["Забор покрывает $2x$ и все, кроме проема, вдоль стены: $30=2x+(y-2)$, значит, сторона вдоль стены $y=32-2x$. Площадь $S=x(32-2x)=-2x^2+32x$.","$S=-2(x-8)^2+128$.","Наибольшая площадь — $128$ м$^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Забор длиной $34$ м ставят с трех сторон прямоугольной грядки, четвертая сторона — стена. В стороне, параллельной стене, оставляют проем для калитки шириной $2$ м: забора там нет. Сторона, перпендикулярная стене, равна $x$ м. Найдите наибольшую возможную площадь грядки в квадратных метрах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"162"}},"hints":["Забор покрывает $2x$ и все, кроме проема, вдоль стены: $34=2x+(y-2)$, значит, сторона вдоль стены $y=36-2x$. Площадь $S=x(36-2x)=-2x^2+36x$.","$S=-2(x-9)^2+162$.","Наибольшая площадь — $162$ м$^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Упрощая $\\dfrac{x^2-7x+12}{x^2-9}$, Решавр вычеркнул $x^2$ сверху и снизу и получил $\\dfrac{-7x+12}{-9}$. Найдите верный результат.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x-4}{x+3}$","$\\dfrac{x-4}{x-3}$","$\\dfrac{-7x+12}{-9}$","$\\dfrac{x+4}{x-3}$"],"explanations":["","Сократили не тот множитель знаменателя: при $x=5$ запись равна $\\dfrac{1}{2}$, а не $\\dfrac{1}{8}$","Это запись Решавра: при $x=5$ дробь равна $\\dfrac{1}{8}$, а запись — $\\dfrac{23}{9}$","Знаки корней перепутаны: при $x=5$ дробь равна $\\dfrac{1}{8}$, а запись — $\\dfrac{9}{2}$"],"answer":[0]}},"hints":["Сокращать можно только общие множители, а не слагаемые $x^2$.","Корни числителя — $3$ и $4$: $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$; знаменатель: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.","Общий множитель — $x-3$, после сокращения: $\\dfrac{x-4}{x+3}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Упрощая $\\dfrac{x^2+2x-15}{x^2-25}$, Решавр вычеркнул $x^2$ сверху и снизу и получил $\\dfrac{2x-15}{-25}$. Найдите верный результат.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x+3}{x+5}$","$\\dfrac{x-3}{x+5}$","$\\dfrac{2x-15}{-25}$","$\\dfrac{x-3}{x-5}$"],"explanations":["Знаки корней перепутаны: при $x=6$ дробь равна $3$, а запись — $\\dfrac{9}{11}$","Сократили не тот множитель знаменателя: при $x=6$ запись равна $\\dfrac{3}{11}$, а не $3$","Это запись Решавра: при $x=6$ дробь равна $3$, а запись — $\\dfrac{3}{25}$",""],"answer":[3]}},"hints":["Сокращать можно только общие множители, а не слагаемые $x^2$.","Корни числителя — $-5$ и $3$: $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$; знаменатель: $x^2-25=(x-5)(x+5)$.","Общий множитель — $x+5$, после сокращения: $\\dfrac{x-3}{x-5}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр выделил полный квадрат $-x^2+8x-10=-(x-4)^2+6$ и ответил: «трехчлен принимает наибольшее значение при $x=6$». Какой вывод верен?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["<span>Наименьшее значение $6$<br>достигается при $x=4$</span>","<span>Наибольшее значение $6$<br>достигается при $x=6$</span>","<span>Наибольшее значение $4$<br>достигается при $x=6$</span>","<span>Наибольшее значение $6$<br>достигается при $x=4$</span>"],"explanations":["Перед квадратом минус: $6$ — наибольшее значение, наименьшего у трехчлена нет","Это вывод Решавра: при $x=6$ значение равно $2$, а не $6$","Числа поменяли местами: при $x=6$ значение равно $2$",""],"answer":[3]}},"hints":["Запись верна: раскрытие $-(x-4)^2+6$ дает $-x^2+8x-10$.","Перед квадратом минус: $-(x-4)^2\\le0$, поэтому трехчлен не больше $6$; $6$ — само наибольшее значение.","Оно достигается, когда скобка равна нулю: $x-4=0$, $x=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр выделил полный квадрат $-x^2-6x+2=-(x+3)^2+11$ и ответил: «трехчлен принимает наибольшее значение при $x=11$». Какой вывод верен?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["<span>Наибольшее значение $11$<br>достигается при $x=-3$</span>","<span>Наибольшее значение $11$<br>достигается при $x=11$</span>","<span>Наибольшее значение $-3$<br>достигается при $x=11$</span>","<span>Наименьшее значение $11$<br>достигается при $x=-3$</span>"],"explanations":["","Это вывод Решавра: при $x=11$ значение равно $-185$, а не $11$","Числа поменяли местами: при $x=11$ значение равно $-185$","Перед квадратом минус: $11$ — наибольшее значение, наименьшего у трехчлена нет"],"answer":[0]}},"hints":["Запись верна: раскрытие $-(x+3)^2+11$ дает $-x^2-6x+2$.","Перед квадратом минус: $-(x+3)^2\\le0$, поэтому трехчлен не больше $11$; $11$ — само наибольшее значение.","Оно достигается, когда скобка равна нулю: $x+3=0$, $x=-3$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>