Тест модуля: квадратный трехчлен

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Иксератопс собрал четыре записи с полным квадратом. Раскройте скобки и распределите равенства на верные и неверные.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верное равенство","Неверное равенство"],"items":[["$x^2+10x+30=(x+5)^2+5$","$x^2-4x-1=(x-2)^2-5$"],["$x^2+6x+1=(x+6)^2-35$","$x^2-8x+5=(x-4)^2+5$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Раскройте скобки в правой части и сравните с левой: должен получиться тот же трехчлен.","$(x+6)^2-35=x^2+12x+1$ — в скобке стоит $b$, а не $\\frac b2$; $(x-4)^2+5=x^2-8x+21$ — добавленное $16$ не вычли.","Ответ: верные — $x^2+10x+30=(x+5)^2+5$, $x^2-4x-1=(x-2)^2-5$; неверные — $x^2+6x+1=(x+6)^2-35$, $x^2-8x+5=(x-4)^2+5$."],"step":1},{"id":"1","content":"Иксератопс собрал четыре записи с полным квадратом. Раскройте скобки и распределите равенства на верные и неверные.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верное равенство","Неверное равенство"],"items":[["$x^2-14x+50=(x-7)^2+1$","$x^2+2x-7=(x+1)^2-8$"],["$x^2+12x+5=(x+12)^2-139$","$x^2+14x+2=(x+7)^2+2$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Раскройте скобки в правой части и сравните с левой: должен получиться тот же трехчлен.","$(x+12)^2-139=x^2+24x+5$ — в скобке стоит $b$, а не $\\frac b2$; $(x+7)^2+2=x^2+14x+51$ — добавленное $49$ не вычли.","Ответ: верные — $x^2-14x+50=(x-7)^2+1$, $x^2+2x-7=(x+1)^2-8$; неверные — $x^2+12x+5=(x+12)^2-139$, $x^2+14x+2=(x+7)^2+2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Выделите полный квадрат: $2x^2-6x+1=2(x-1{,}5)^2+q$. Найдите $q$ (десятичной дробью). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-3,5","-3.5"]}},"hints":["Вынесем $2$ из слагаемых с $x$: $2(x^2-3x)+1$.","В скобке половина $-3$ равна $-1{,}5$, ее квадрат $2{,}25$; скобка умножена на $2$, поэтому добавлено $2\\cdot2{,}25=4{,}5$.","$q=1-4{,}5=-3{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Выделите полный квадрат: $2x^2+10x+7=2(x+2{,}5)^2+q$. Найдите $q$ (десятичной дробью). [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["-5,5","-5.5"]}},"hints":["Вынесем $2$ из слагаемых с $x$: $2(x^2+5x)+7$.","В скобке половина $5$ равна $2{,}5$, ее квадрат $6{,}25$; скобка умножена на $2$, поэтому добавлено $2\\cdot6{,}25=12{,}5$.","$q=7-12{,}5=-5{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Заполните пропуск: $x^2-10x+4=(x-5)^2$[[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-96$","$+29$","$+4$","$-21$"],"answer":3}},"hints":["$(x-5)^2=x^2-10x+25$ — при сворачивании квадрата появилось лишнее $25$.","Лишнее вычитаем: $4-25=-21$.","Ответ: $x^2-10x+4=(x-5)^2-21$, в пропуске $-21$."],"step":1},{"id":"3","content":"Заполните пропуск: $x^2-20x+60=(x-10)^2$[[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$+60$","$-340$","$-40$","$+160$"],"answer":2}},"hints":["$(x-10)^2=x^2-20x+100$ — при сворачивании квадрата появилось лишнее $100$.","Лишнее вычитаем: $60-100=-40$.","Ответ: $x^2-20x+60=(x-10)^2-40$, в пропуске $-40$."],"step":1},{"id":"4","content":"Числа $-4$ и $3$ — корни трехчлена $x^2+x-12$. Какое разложение на множители верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^2+x-12=(x+4)(x+3)$","$x^2+x-12=(x-4)(x-3)$","$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$","$x^2+x-12=(x-4)(x+3)$"],"explanations":["Знак перепутан в одной скобке: раскрытие дает $x^2+7x+12$","Знак перепутан в одной скобке: раскрытие дает $x^2-7x+12$","","Знаки в скобках совпадают со знаками корней: раскрытие дает $x^2-x-12$"],"answer":[2]}},"hints":["Если $x_1$ и $x_2$ — корни трехчлена с $a=1$, то он равен $(x-x_1)(x-x_2)$.","Корень $-4$ дает скобку $(x+4)$: при $x=-4$ она обращается в нуль.","Ответ: $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$."],"step":1},{"id":"4","content":"Числа $8$ и $-3$ — корни трехчлена $x^2-5x-24$. Какое разложение на множители верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x^2-5x-24=(x-8)(x-3)$","$x^2-5x-24=(x+8)(x-3)$","$x^2-5x-24=(x+8)(x+3)$","$x^2-5x-24=(x-8)(x+3)$"],"explanations":["Знак перепутан в одной скобке: раскрытие дает $x^2-11x+24$","Знаки в скобках совпадают со знаками корней: раскрытие дает $x^2+5x-24$","Знак перепутан в одной скобке: раскрытие дает $x^2+11x+24$",""],"answer":[3]}},"hints":["Если $x_1$ и $x_2$ — корни трехчлена с $a=1$, то он равен $(x-x_1)(x-x_2)$.","Корень $8$ дает скобку $(x-8)$: при $x=8$ она обращается в нуль.","Ответ: $x^2-5x-24=(x-8)(x+3)$."],"step":1},{"id":"5","content":"Числа $2$ и $-1{,}5$ — корни трехчлена $2x^2-x-6$. Заполните пропуск в разложении: $2x^2-x-6=(x-2)($[[fill_choice-3]]$)$.","widgets":{"fill_choice-3":{"type":"fill_choice","options":["$2x+1{,}5$","$2x-3$","$x+1{,}5$","$2x+3$"],"answer":3}},"hints":["При $a\\ne1$ разложение имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$: $2x^2-x-6=2(x-2)(x+1{,}5)$.","Умножьте $2$ на всю скобку $(x+1{,}5)$ — какое выражение получится?","Ответ: $2x+3$. Проверка: раскройте $(x-2)(2x+3)$ — получится $2x^2-x-6$."],"step":1},{"id":"5","content":"Числа $-2$ и $\\dfrac13$ — корни трехчлена $3x^2+5x-2$. Заполните пропуск в разложении: $3x^2+5x-2=(x+2)($[[fill_choice-4]]$)$.","widgets":{"fill_choice-4":{"type":"fill_choice","options":["$3x+1$","$x-\\dfrac13$","$3x-\\dfrac13$","$3x-1$"],"answer":3}},"hints":["При $a\\ne1$ разложение имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$: $3x^2+5x-2=3(x+2)(x-\\dfrac13)$.","Умножьте $3$ на всю скобку $(x-\\dfrac13)$ — какое выражение получится?","Ответ: $3x-1$. Проверка: раскройте $(x+2)(3x-1)$ — получится $3x^2+5x-2$."],"step":1},{"id":"6","content":"Распределите трехчлены: какие раскладываются на линейные множители, а какие нет.[[grouper-3]]","widgets":{"grouper-3":{"type":"grouper","labels":["Раскладывается","Не раскладывается"],"items":[["$x^2-6x+5$","$x^2+8x+16$"],["$x^2-8x+19$","$x^2+10x+34$"]]}},"instruction":"Распределите трехчлены по группам","hints":["Выделите полный квадрат. Запись $(x+p)^2-m$ при $m\\ge0$ раскладывается по разности квадратов, а $(x+p)^2+m$ при $m>0$ — нет: значения трехчлена всегда положительны, корней нет.","$x^2-6x+5=(x-3)^2-4$. Остальные трехчлены преобразуйте так же и смотрите на знак числа после скобки.","Ответ: раскладываются $x^2-6x+5$, $x^2+8x+16$; не раскладываются $x^2-8x+19$, $x^2+10x+34$."],"step":1},{"id":"6","content":"Распределите трехчлены: какие раскладываются на линейные множители, а какие нет.[[grouper-4]]","widgets":{"grouper-4":{"type":"grouper","labels":["Раскладывается","Не раскладывается"],"items":[["$x^2-4x-32$","$x^2-12x+36$"],["$x^2-2x+5$","$x^2+6x+11$"]]}},"instruction":"Распределите трехчлены по группам","hints":["Выделите полный квадрат. Запись $(x+p)^2-m$ при $m\\ge0$ раскладывается по разности квадратов, а $(x+p)^2+m$ при $m>0$ — нет: значения трехчлена всегда положительны, корней нет.","$x^2-4x-32=(x-2)^2-36$. Остальные трехчлены преобразуйте так же и смотрите на знак числа после скобки.","Ответ: раскладываются $x^2-4x-32$, $x^2-12x+36$; не раскладываются $x^2-2x+5$, $x^2+6x+11$."],"step":1},{"id":"7","content":"Сопоставьте трехчлен и его разложение на множители. Одно разложение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$-x^2+6x+7$","$-x^2-6x+7$","$2x^2+2x-12$"],"items":["$-(x-7)(x+1)$","$-(x+7)(x-1)$","$2(x-2)(x+3)$","$(x-7)(x+1)$"]}},"instruction":"Соотнесите трехчлен и разложение","hints":["Сначала смотрите на старший коэффициент: в разложении $a(x-x_1)(x-x_2)$ он стоит перед скобками, в том числе $-1$. У двух трехчленов $a=-1$ — различите их по корням.","Затем проверьте корни: при каждом корне одна из скобок равна нулю. Лишнее разложение — с теми же корнями, что у одного из трехчленов с $a=-1$, но без минуса: раскрытие дает другой трехчлен.","Ответ: $-x^2+6x+7$ → $-(x-7)(x+1)$; $-x^2-6x+7$ → $-(x+7)(x-1)$; $2x^2+2x-12$ → $2(x-2)(x+3)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сопоставьте трехчлен и его разложение на множители. Одно разложение лишнее.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$-x^2+5x+14$","$-x^2-5x+14$","$3x^2+3x-18$"],"items":["$-(x-7)(x+2)$","$-(x+7)(x-2)$","$3(x+3)(x-2)$","$(x-7)(x+2)$"]}},"instruction":"Соотнесите трехчлен и разложение","hints":["Сначала смотрите на старший коэффициент: в разложении $a(x-x_1)(x-x_2)$ он стоит перед скобками, в том числе $-1$. У двух трехчленов $a=-1$ — различите их по корням.","Затем проверьте корни: при каждом корне одна из скобок равна нулю. Лишнее разложение — с теми же корнями, что у одного из трехчленов с $a=-1$, но без минуса: раскрытие дает другой трехчлен.","Ответ: $-x^2+5x+14$ → $-(x-7)(x+2)$; $-x^2-5x+14$ → $-(x+7)(x-2)$; $3x^2+3x-18$ → $3(x+3)(x-2)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Какой дроби равна дробь $\\dfrac{x^2-81}{x^2+6x-27}$ при всех допустимых $x$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x-9}{x-3}$","$\\dfrac{x+9}{x-3}$","$\\dfrac{-81}{6x-27}$","$\\dfrac{x+9}{x+3}$"],"explanations":["","Сократили не тот множитель: при $x=0$ исходная дробь равна $3$, а эта — $-3$","Сократили слагаемые $x^2$, а сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя","Знаки корней знаменателя перепутаны: $(x-9)(x+3)=x^2-6x-27$, а не $x^2+6x-27$"],"answer":[0]}},"hints":["Числитель — разность квадратов: $x^2-81=(x-9)(x+9)$.","Знаменатель: корни $-9$ и $3$, значит $x^2+6x-27=(x+9)(x-3)$.","Общий множитель $(x+9)$ сокращаем: ответ $\\dfrac{x-9}{x-3}$. Проверка при $x=0$: обе дроби равны $3$. При $x=-9$ исходная дробь не определена (знаменатель равен $0$), поэтому равенство верно только при допустимых $x$."],"step":1},{"id":"8","content":"Какой дроби равна дробь $\\dfrac{x^2-36}{x^2-4x-12}$ при всех допустимых $x$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x+6}{x+2}$","$\\dfrac{x-6}{x-2}$","$\\dfrac{-36}{-4x-12}$","$\\dfrac{x-6}{x+2}$"],"explanations":["","Знаки корней знаменателя перепутаны: $(x+6)(x-2)=x^2+4x-12$, а не $x^2-4x-12$","Сократили слагаемые $x^2$, а сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя","Сократили не тот множитель: при $x=0$ исходная дробь равна $3$, а эта — $-3$"],"answer":[0]}},"hints":["Числитель — разность квадратов: $x^2-36=(x-6)(x+6)$.","Знаменатель: корни $6$ и $-2$, значит $x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$.","Общий множитель $(x-6)$ сокращаем: ответ $\\dfrac{x+6}{x+2}$. Проверка при $x=0$: обе дроби равны $3$. При $x=6$ исходная дробь не определена (знаменатель равен $0$), поэтому равенство верно только при допустимых $x$."],"step":1},{"id":"9","content":"Найдите наименьшее значение выражения $(x-6)(x+8)$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"-49"}},"hints":["Раскроем скобки: $(x-6)(x+8)=x^2+2x-48$.","Выделим полный квадрат: $x^2+2x-48=(x+1)^2-49$.","Квадрат не меньше нуля, поэтому наименьшее значение равно $-49$ (при $x=-1$)."],"step":1},{"id":"9","content":"Найдите наименьшее значение выражения $(x-1)(x-11)$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"-25"}},"hints":["Раскроем скобки: $(x-1)(x-11)=x^2-12x+11$.","Выделим полный квадрат: $x^2-12x+11=(x-6)^2-25$.","Квадрат не меньше нуля, поэтому наименьшее значение равно $-25$ (при $x=6$)."],"step":1},{"id":"10","content":"Решавр искал $c$, при котором наименьшее значение трехчлена $2x^2-16x+c$ равно $3$. При выделении квадрата он вычел только $\\left(\\dfrac{b}{2a}\\right)^2=16$ и получил $c=19$. Найдите верное значение $c$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["Вынесем $2$: $2(x^2-8x)+c=2(x-4)^2-32+c$.","Наименьшее значение равно $c-32$ (когда скобка равна нулю).","$c-32=3$, откуда $c=35$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр искал $c$, при котором наименьшее значение трехчлена $3x^2-18x+c$ равно $-4$. При выделении квадрата он вычел только $\\left(\\dfrac{b}{2a}\\right)^2=9$ и получил $c=5$. Найдите верное значение $c$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"23"}},"hints":["Вынесем $3$: $3(x^2-6x)+c=3(x-3)^2-27+c$.","Наименьшее значение равно $c-27$ (когда скобка равна нулю).","$c-27=-4$, откуда $c=23$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>