Разложение квадратного трехчлена на множители

В этом тесте вы закрепите навыки разложения трёхчленов на множители. Старайтесь доводить выражения до окончательного вида и внимательно следите за формой записи. Используйте изученные приёмы для выполнения заданий.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Разложите трехчлен на множители с помощью корней:<br />$$x^2 + 7x + 12.$$[[image-2375]][[choice-2460]]","widgets":{"img_choice-7":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-2375":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/voin_4-01.svg","width":"200"},"choice-2460":{"type":"choice","options":["$(x -4)(x -3)$","$(x + 4)(x + 3)$","$(x -4)(x + 3)$","$(x + 4)(x -3)$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Приравняем трехчлен к нулю и вычислим корни:<br />$$x^2 + 7x + 12 = 0,$$<br />$$D = 1,$$<br />$$x_1 = -4, x_2 = -3.$$","Воспользуемся формулой разложения трехчлена на множители при помощи корней и разложим трехчлен на множители:<br />$$ax^2 + bx + c = a(x -x_1)(x -x_2),$$<br />$$x^2 +7x +12 = (x + 4)(x + 3).$$<br /><br />Ответ: $(x + 4)(x + 3)$."],"id":"0"},{"content":"Разложите трехчлен на множители с помощью корней:<br />$$2x^2 -5x -3.$$[[image-2742]][[choice-2791]]","widgets":{"img_choice-56":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-2742":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_piraty.svg","width":"200"},"choice-2791":{"type":"choice","options":["$(x -3)(2x + 1)$","$(x + 3)(2x -1)$","$(x -3)(x + 0,5)$","$(x + 3)(x -0,5)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Приравняем трехчлен к нулю и вычислим корни:<br />$$2x^2 -5x -3 = 0,$$<br />$$D = 49,$$<br />$$x_1 = 3, x_2 = -0,5.$$","Воспользуемся формулой разложения трехчлена на множители при помощи корней и разложим трехчлен на множители:<br />$$ax^2 + bx + c = a(x -x_1)(x -x_2),$$<br />$$2x^2 -5x -3 = 2(x -3)(x + 0,5).$$","Внесем $2$ во вторую скобку, умножив на нее каждое слагаемое:<br />$$2x^2 -5x -3 = 2(x -3)(x + 0,5) = (x -3)(2x + 1).$$<br /><br />Ответ: $(x -3)(2x + 1)$."],"id":"0"},{"content":"Разложите трехчлен на множители с помощью корней:<br />$$3x^2 + 10x + 7.$$[[image-3094]][[choice-3203]]","widgets":{"img_choice-145":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-3094":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/prelomlenie23.svg","width":"299"},"choice-3203":{"type":"choice","options":["$(x + 1)(3x + 7)$","$(x + 1)(x + 7)$","$(x + 1)(x + \\dfrac{7}{3})$","$(x + 1)(3x + \\dfrac{7}{3})$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Приравняем трехчлен к нулю и вычислим корни:<br />$$3x^2 + 10x + 7 = 0,$$<br />$$D = 16,$$<br />$$x_1 = -1, x_2 = -\\dfrac{7}{3}.$$","Воспользуемся формулой разложения трехчлена на множители при помощи корней и разложим трехчлен на множители:<br />$$ax^2 + bx + c = a(x -x_1)(x -x_2),$$<br />$$3x^2 + 10x + 7 = 3(x + 1)(x + \\dfrac{7}{3}).$$","Внесем $3$ во вторую скобку, умножив на нее каждое слагаемое:<br />$$3x^2 + 10x + 7 = 3(x + 1)(x + \\dfrac{7}{3}) = (x + 1)(3x + 7).$$<br /><br />Ответ: $(x + 1)(3x + 7)$.<br />"],"id":"1"},{"content":"Разложите трехчлен на множители с помощью корней:<br />$$x^2 -8x + 15.$$[[image-3542]][[choice-3623]]","widgets":{"img_choice-256":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-3542":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/cake-dino-1-01.svg","width":"300"},"choice-3623":{"type":"choice","options":["$(x -3)(x -5)$","<br />$(x + 3)(x + 5)$","Разложение невозможно","$(x -3)(x + 5)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Приравняем трехчлен к нулю и вычислим корни:<br />$$x^2 -8x + 15 = 0,$$<br />$$D = 4,$$<br />$$x_1 = 5, x_2 = 3.$$","Воспользуемся формулой разложения трехчлена на множители при помощи корней и разложим трехчлен на множители:<br />$$ax^2 + bx + c = a(x -x_1)(x -x_2),$$<br />$$x^2 -8x + 15 = (x -3)(x -5).$$<br /><br />Ответ: $(x -3)(x -5)$."],"id":"1"},{"content":"Разложите трехчлен на множители, применив формулу сокращенного умножения:<br />$$9x^2 + 72x + 144.$$[[image-3978]][[choice-4067]]","widgets":{"img_choice-365":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-3978":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/10/magic_box-01.svg","width":"200"},"choice-4067":{"type":"choice","options":["$(3x + 12)^2$","$(12x + 3)^2$","$(x + 12)^2$","$(9x + 144)^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим коэффициенты:<br />$$9x^2 = (3x)^2, 144 = 12^2, 72x = 2\\cdot (3x)\\cdot 12.$$","Воспользуемся формулой сокращенного умножения квадрата суммы, свернем по формуле и получим разложение на множители:<br />$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2,$$<br />$$9x^2 + 72x + 144 = (3x + 12)^2.$$<br /><br />Ответ: $(3x + 12)^2$."],"id":"2"},{"content":"Разложите трехчлен на множители, применив формулу сокращенного умножения:<br />$$x^2 +49 -14x.$$[[image-4478]][[choice-4575]]","widgets":{"img_choice-478":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-4478":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/07/obrazavr_shinel.svg","width":"200"},"choice-4575":{"type":"choice","options":["$(x + 7)^2$","$(x -7)^2$","$(x -49)^2$","$(x + 49)^2$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Для того чтобы применить формулу сокращенного умножения, нужно привести трехчлен к стандартному виду:<br />$$x^2 + 49 -14x = x^2 -14x + 49.$$","Присмотримся к коэффициентам трехчлена, воспользуемся формулой квадрата разности, свернем по формуле, тем самым,  получим разложение на множители.<br />Формула квадрата разности:<br />$$a^2 -2ab + b^2 = (a -b)^2.$$<br />$$x^2 -14x + 49 = (x)^2 -2\\cdot x\\cdot 7 + 7^2 = (x -7)^2.$$<br /><br />Ответ: $(x -7)^2$."],"id":"2"},{"content":"Разложите трехчлен на множители АС-методом:<br />$$6x^2 + 11x + 3.$$[[image-4997]][[choice-5102]]","widgets":{"img_choice-599":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-4997":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/funk-01.svg","width":"200"},"choice-5102":{"type":"choice","options":["$(3x + 1)(2x + 3)$","$(3x + 3)(2x + 1)$","$(6x + 3)(x + 1)$","$(6x + 1)(x + 3)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Выпишем коэффициенты:<br />$$A = 6, B = 11, C = 3.$$<br />Найдём произведение $A$ и $C$:<br />$$A \\cdot C = 6 \\cdot 3 = 18.$$","Подберём два числа, сумма которых $11$, а произведение $18$:  $9$ и $2$.<br />Разбиваем средний член на сумму:<br />$$6x^2 + 11x + 3 = 6x^2 + 9x + 2x + 3.$$","Применим способ группировки и разложим на множители:<br />$$6x^2 + 11x + 3 = 6x^2 + 9x + 2x + 3 =  (6x^2 + 9x) + (2x + 3) = 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) = (3x + 1)(2x + 3).$$<br /><br />Ответ: $(3x + 1)(2x + 3)$.<br />"],"id":"3"},{"content":"Разложите трехчлен на множители АС-методом:<br />$$4x^2 -4x -15.$$[[image-5558]][[choice-5671]]","widgets":{"img_choice-1122":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-5558":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/amerikanskie_gorki-01.svg","width":"200"},"choice-5671":{"type":"choice","options":["$(2x + 3)(2x -5)$","$(2x -3)(2x + 5)$","$(2x -3)(2x -5)$","$(2x + 3)(2x + 5)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Выпишем коэффициенты:<br />$$A = 4, B = -4, C = -15.$$<br />Найдём произведение $A$ и $C$:<br />$$A \\cdot C = 4 \\cdot (-15) = -60.$$","Подбираем два числа, сумма которых $(-4)$, а произведение $(-60)$: $6$ и $(-10)$.<br />Разбиваем средний член на сумму:<br />$$4x^2 -4x -15 = 4x^2 + 6x -10x -15.$$","Сгруппируем слагаемые при помощи способа группировки и получим разложение на множители:<br />$$4x^2 -4x -15 = 4x^2 + 6x -10x -15 = (4x^2 + 6x) -(10x + 15) = 2x(2x + 3) -5(2x + 3) = (2x + 3)(2x -5).$$<br /><br />Ответ: $(2x + 3)(2x -5)$."],"id":"3"},{"content":"Разложите трехчлен на множители при помощи замены переменной:<br />$$(x^2 + 2)^2 + 5(x^2 + 2) + 6.$$[[image-6219]][[choice-6340]]","widgets":{"img_choice-1213":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-6219":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/shekspir-01.svg","width":"200"},"choice-6340":{"type":"choice","options":["$(x^2 + 4)(x^2 + 5)$","$(x^2 + 10)(x^2 + 2)$","$(x^2 + 6)(x^2 + 1)$","$(x^2 +3)(x^2 + 2)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Введём замену переменной и подставим ее вместо $(x^2 + 2)$:<br />$$t = x^2 + 2,$$<br />$$t^2 + 5t + 6.$$","Разложим трёхчлен $t^2 + 5t + 6$ на множители при помощи корней:<br />$$t^2 + 5t + 6 = 0,$$<br />$$D = 1,$$<br />$$t_1 = -3, t_2 = -2,$$<br />$$t^2 + 5t + 6 = (t + 3)(t + 2).$$","Сделаем обратную  замену при $t = x^2 + 2$:<br />$$(x^2 + 2 + 2)(x^2 + 2 + 3) = (x^2 + 4)(x^2 + 5).$$<br /><br />Ответ: $(x^2 + 4)(x^2 + 5)$.<br />"],"id":"4"},{"content":"Разложите трехчлен на множители при помощи замены переменной:<br />$$9x^4 + 21x^2 -30.$$[[image-6895]][[choice-7024]]","widgets":{"img_choice-1302":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-6895":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/pisatel-01.svg","width":"200"},"choice-7024":{"type":"choice","options":["$(x -1)(x + 1)(3x^2 + 10)$","$(x^2 + 1)(3x^2 + 10)$","$(x -1)(x + 1)(3x^2 + 10)(3x^2 -10)$","$(x -1)(3x + 1)(x^2 + 10)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Введём замену и подставим ее в исходный трехчлен:<br />$$t = x^2, t\\ge 0,$$<br />$$9t^2 + 21t -30.$$","Приравняем, полученный трехчлен к нулю и вычислим корни относительно $t$:<br />$$9t^2 + 21t -30 = 0,$$<br />$$D = 1521,$$<br />$$t_1 = 1, t_2 =  -\\dfrac{10}{3}.$$<br />$t_2 =  -\\dfrac{10}{3}$ не удовлетворяет условию, выставленному при замене, $t\\ge 0$.<br />Поэтому в обратной замене участвовать не будет.<br /><br />","Сделаем обратную замену $t = x^2$:<br /><br />$$x^2 = 1, x = \\pm 1.$$<br />Разложим исходный трехчлен на множители:<br />$$9t^2 + 21t -30 = 9(x -1)(x + 1)(x^2 + \\dfrac{10}{3}) = (x -1)(x + 1)(3x^2 + 10).$$<br /><br />Ответ: $(x -1)(x + 1)(3x^2 + 10)$."],"id":"4"},{"content":"Разложите трехчлен на множители при помощи замены переменной:<br />$$(x^2 + 3x)^2 + (x^2 + 3x -4)^2 -26.$$[[image-7681]][[choice-7818]]","widgets":{"img_choice-1399":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-7681":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/obrazavr_dvernoj-glazok.svg","width":"200"},"choice-7818":{"type":"choice","options":["$(x^2 + 3x + 5)(x^2 + 3x -1)$","$(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 3x -13)$","$(x^2 + 3x -2)(x^2 + 3x + 13)$","$(x^2 + 3x -5)(x^2 + 3x + 1)$"],"answer":[3]}},"step":1,"hints":["Введём замену переменной и подставим ее в исходный трехчлен:<br />$$t = x^2 + 3x,$$<br />$$t^2 + (t -4)^2 -26.$$","Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и приравняем полученный трехчлен к нулю для нахождения корней:<br />$$t^2 + t^2 -8t + 16 -26 = 2t^2 -8t -10,$$<br />$$2t^2 -8t -10 = 0.$$<br />$$D = 144,$$<br />$$t_1 = 5, t_2 = -1.$$","Сделаем обратную замену $t = x^2 + 3x$ и разложим на множители:<br />$$(x^2 + 3x)^2 + (x^2 + 3x -4)^2 -26 = (x^2 + 3x -5)(x^2 + 3x + 1).$$<br /><br />Ответ: $(x^2 + 3x — 5)(x^2 + 3x + 1)$."],"id":"4"},{"content":"Сократите дробь:<br />$$\\frac{x^2 -5x + 6}{x^2 -4}.$$[[image-8443]][[choice-8588]]","widgets":{"img_choice-30":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-8443":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/obrazavr-na-kube-01.svg","width":"200"},"choice-8588":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x -2}{x + 2}$","$\\dfrac{x -3}{x + 2}$","$\\dfrac{x -3}{x -2}$","$\\dfrac{x -2}{x -3}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Приравняем числитель к нулю и вычислим корни:<br />$$x^2 -5x + 6 = 0,$$<br />$$D = 1,$$<br />$$x_1 = 2, x_2 = 3.$$","Разложим числитель на множители с помощью полученных корней:<br />$$x^2 -5x + 6 = (x -2)(x -3).$$","Заметим что в знаменателе у нас разность квадратов. Разложим ее по формуле сокращенного умножения:<br />$$x^2 -4 = (x -2)(x + 2).$$","Подставим все полученные разложения в исходную дробь и сократим одинаковые множители:<br />$$\\dfrac{x^2 -5x + 6}{x^2 -4} = \\frac{(x -2)(x -3)}{(x -2)(x + 2)} = \\dfrac{x -3}{x + 2}.$$<br /><br />Ответ: $\\dfrac{x -3}{x + 2}$."],"id":"5"},{"content":"Сократите дробь:<br />$$\\frac{2x^2 + 7x + 3}{x^2 + 4x + 3}.$$[[image-9214]][[choice-9367]]","widgets":{"img_choice-1":{"type":"img_choice","options":[],"answer":[]},"image-9214":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/go-to-school-01.svg","width":"200"},"choice-9367":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{2x + 1}{x + 1}$","$\\dfrac{2x + 1}{x + 3}$","$\\dfrac{x + 0,5}{x + 1}$","$\\dfrac{x + 0,5}{x + 3}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Приравняем числитель дроби к нулю и вычислим корни:<br />$$2x^2 + 7x + 3 = 0,$$<br />$$D = 25,$$<br />$$x_1 = -\\dfrac{1}{2},  x_2 = -3.$$","Разложим числитель на множители при помощи корней:<br />$$2x^2 + 7x + 3 = 2(x + 0,5)(x + 3).$$","Приравняем к нулю трехчлен знаменателя и вычислим корни:<br />$$x^2 + 4x + 3 = 0,$$<br />$$D = 4,$$<br />$$x_1 = -1, x_2 = -3.$$","Разложим знаменатель на множители:<br />$$x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).$$","Запишем исходную дробь в виде разложения на множители и сократим одинаковые:<br />$$\\dfrac{2x^2 + 7x + 3}{x^2 + 4x + 3} = \\dfrac{2(x + 0,5)(x + 3)}{(x + 1)(x + 3)} = \\dfrac{2(x + 0,5)}{x + 1}.$$<br />Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое на $2$:<br />$$\\dfrac{2x + 1}{x +1}.$$<br />Ответ: $\\dfrac{2x + 1}{x + 1}$."],"id":"5"}],"mix":1}</textarea></pre></div>