8 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Квадратный трехчлен и его корни

Выделение полного квадрата из квадратного трехчлена

Содержание

В уроке «Квадрат суммы и квадрат разности» квадрат суммы был площадью квадрата, сложенного из плиток, а в уроке «Разложение на множители с помощью квадрата суммы и квадрата разности» вы сворачивали трехчлены вида $a^2+2ab+b^2$ обратно в квадрат. Но чаще трехчлен в квадрат не сворачивается: плиток не хватает или они лишние. В этом уроке научимся выделять полный квадрат — достраивать квадрат из плиток и честно записывать, сколько добавили. Разберем случаи четного, нечетного и отрицательного коэффициента, случай, когда перед $x^2$ стоит не единица, и главную ошибку.

Трехчлен можно выложить плитками

Подставим в выражение $x^2+8x+11$ несколько целых значений $x$:

$x$	$0$	$-1$	$-2$	$-3$	$-4$	$-5$	$-6$
$x^2+8x+11$	$11$	$4$	$-1$	$-4$	$-5$	$-4$	$-1$

Значения сначала уменьшаются, потом снова растут, и ниже $-5$ не опускаются. Но мы проверили только несколько целых чисел. Вдруг при $x=-4{,}3$ или при каком-то другом $x$ значение окажется меньше? Перебором этого не проверить: чисел бесконечно много. К этому вопросу вернемся в конце урока, а пока разберемся, как устроено само выражение.

Определение

Квадратный трехчлен — это выражение вида $ax^2+bx+c$, где $x$ — переменная, $a$, $b$, $c$ — числа и $a\ne0$. Число $a$ называют старшим коэффициентом, $b$ — коэффициентом при $x$, $c$ — свободным членом.

Коэффициенты берут вместе со знаком. В трехчлене $5x^2-2x-7$ коэффициенты такие: $a=5$, $b=-2$, $c=-7$. Выражение $x^2+8x+11$ — тоже квадратный трехчлен, у него $a=1$, $b=8$, $c=11$.

Как в 7 классе, представим трехчлен с $a=1$ площадью, сложенной из плиток. Слагаемое $x^2$ — квадрат со стороной $x$. Слагаемое $bx$ — $b$ полосок размером $x\times1$. Свободный член $c$ — $c$ единичных плиток $1\times1$. Возьмем $x^2+10x+25$. Десять полосок поделим поровну: пять приложим к квадрату справа, пять снизу. В углу остается пустое место $5\times5$, и $25$ плиток заполняют его ровно. Получился квадрат со стороной $x+5$: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.

Два набора плиток: x² плюс две полосы x на 5 и угол 5 на 5. Слева угол заполнен 25 плитками — получился квадрат со стороной x+5; справа 19 плиток — не хватает 6, квадрата нет — Плитки $x^2+10x+25$ складываются в квадрат $(x+5)^2$: в угол нужно ровно $5^2=25$ плиток. У $x^2+10x+19$ плиток на $6$ меньше, и угол не заполнен

У трехчлена $x^2+10x+19$ полоски те же, а единичных плиток $19$. Угол $5\times5$ ими не заполнить: не хватает $6$ плиток. Такой трехчлен в квадрат не складывается. Значит, все решает угол: полосок $b$, на каждую сторону идет половина, $\frac b2$, а в угол нужен квадрат половины.

Правило

Трехчлен $x^2+bx+c$ является полным квадратом, то есть равен $\left(x+\frac b2\right)^2$, когда свободный член равен квадрату половины коэффициента при $x$:

$$c=\left(\frac b2\right)^2$$

{"questions":[{"content":"В трехчлене $3x^2-7x+4$ найдите коэффициент $b$ при $x$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-7"}},"hints":["Запишем в виде $ax^2+bx+c$: $3x^2+(-7)x+4$.","Коэффициент берут вместе со знаком: $b=-7$.","Ответ: $-7$."],"step":1},{"content":"Распределите трехчлены на две группы: полные квадраты и трехчлены, которые полным квадратом не являются.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Полный квадрат","Не полный квадрат"],"items":[["$x^2-8x+16$","$x^2+2x+1$","$x^2+24x+144$"],["$x^2+24x+48$","$x^2-8x-16$","$x^2-14x+7$"]]}},"instruction":"Распределите трехчлены по группам","hints":["Трехчлен $x^2+bx+c$ — полный квадрат, если $c=\\left(\\frac b2\\right)^2$: плиток ровно столько, сколько нужно в угол квадрата.","Нужно: для $b=-8$ — $(-4)^2=16$, для $b=2$ — $1^2=1$, для $b=24$ — $12^2=144$, для $b=-14$ — $(-7)^2=49$.","Ответ: полные квадраты $x^2-8x+16$, $x^2+2x+1$, $x^2+24x+144$; у $x^2+24x+48$, $x^2-8x-16$, $x^2-14x+7$ свободный член не равен квадрату половины $b$."],"step":1}],"mix":1}

Чего не хватает до квадрата, то и достроим

Прямоугольный участок имеет ширину $x$ м и длину $x+8$ м. Его площадь $x(x+8)=x^2+8x$ м$^2$: квадрат $x\times x$ и полоса $8\times x$. Сколько земли нужно добавить, чтобы участок стал квадратным? Мысленно разрежем полосу вдоль на две полосы шириной $4$ м и приложим одну к квадрату справа, другую снизу. Получится уголок, а в углу останется пустой квадрат $4\times4$. Добавим его — и участок станет квадратом со стороной $x+4$. Значит, нужно добавить $4^2=16$ м$^2$ земли.

Три шага: прямоугольник x на x+8; полоса разрезана пополам, одна половина переехала вниз и в углу не хватает квадрата 4 на 4; угол достроен — квадрат со стороной x+4, и добавлено 16 — Полосу $8x$ делим на две полосы по $4x$, в угол добавляем $4^2=16$: $x^2+8x=(x+4)^2-16$

В записи это видно так. Квадрат $(x+4)^2$ больше участка ровно на добавленные $16$ м$^2$. Чтобы равенство осталось верным, добавленное нужно сразу вычесть: $x^2+8x=(x+4)^2-16$. Это главный прием урока: прибавить и вычесть одно и то же число, чтобы получить полный квадрат. Записать трехчлен в виде $(x+p)^2+q$ называют выделением полного квадрата.

Пример 1

Выделите полный квадрат из трехчлена $x^2+8x+11$.

Решение. Половина коэффициента при $x$: $8:2=4$, в скобке будет $x+4$. В угол нужно $4^2=16$ плиток, а у нас $11$. Прибавим и вычтем $16$:

$$x^2+8x+11=x^2+8x+16-16+11=(x+4)^2-5$$

На плитках: $11$ плиток положили в угол, и до квадрата не хватило $5$. Квадрат построили, а недостающие $5$ записали со знаком «минус».

Проверка. $(x+4)^2-5=x^2+8x+16-5=x^2+8x+11$.

Ответ: $x^2+8x+11=(x+4)^2-5$.

Ошибка

Как ошибаются. Выделяя полный квадрат из $x^2+18x+50$, пишут $(x+18)^2+50$: в скобку поставили весь коэффициент $b$. Или пишут $(x+9)^2+50$: половину взяли верно, но достроенный угол не вычли.

Проверка раскрытием. $(x+18)^2+50=x^2+36x+374$ — полосок вдвое больше, чем было. $(x+9)^2+50=x^2+18x+81+50=x^2+18x+131$ — лишних плиток $81$.

Где ломается рассуждение. Полосы $18x$ делятся на две стороны квадрата, поэтому в скобке половина: $x+9$. Угол $9^2=81$ мы добавили сами, значит, его нужно вычесть: $50-81=-31$. Верно: $x^2+18x+50=(x+9)^2-31$.

Ошибка: у (x+18)² в скобке поставили 18 — половины полос лишние, получилось 36x вместо 18x; у (x+9)² добавлен угол 81, но его не вычли. Верно: x²+18x+50=(x+9)²−81+50=(x+9)²−31 — Слева: скобка $(x+18)^2$ дает $36x$ — вдвое больше полосок. Справа: угол $81$ добавлен и не вычтен. Верно: $(x+9)^2-31$

Интересный факт: квадрат достраивали больше тысячи лет назад

Скрыть

В IX веке багдадский ученый Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми написал книгу, от названия которой («аль-джабр») произошло слово «алгебра». Задачу «квадрат и десять его корней равны тридцати девяти», то есть $x^2+10x=39$, он решал чертежом. К квадрату он прикладывал прямоугольники, вместе равные $10x$, и достраивал угол. В одном из его чертежей это два прямоугольника шириной $5$ и квадрат $5\times5$ в углу. Получалось $(x+5)^2=39+25=64$, откуда сторона $x+5=8$ и $x=3$.

{"questions":[{"content":"При каком $c$ трехчлен $x^2+12x+c$ является полным квадратом? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["$(x+m)^2=x^2+2mx+m^2$, значит $2m=12$, $m=6$.","$c=m^2=36$.","Ответ: $36$."],"step":1},{"content":"$x^2+16x+7=(x+[[fill_choice-1]])^2-57$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$16$","$64$","$-8$","$8$"],"answer":3}},"hints":["Сколько полосок идет на каждую сторону квадрата? Сторон две, а полосок $16$.","Проверка: $(x+8)^2=x^2+16x+64$, и $x^2+16x+7=(x+8)^2-57$."],"step":1},{"content":"Решавр выделил полный квадрат: $x^2+6x+2=(x+3)^2+2$. Проверьте раскрытием скобок и выберите верную запись.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(x+3)^2+2$","$(x+3)^2+11$","$(x+3)^2-7$","$(x+6)^2-34$"],"explanations":["Это запись Решавра: раскрытие дает $x^2+6x+11$, а не $x^2+6x+2$","Добавленное $9$ не вычитают, а прибавляют второй раз","","В скобке стоит $b=6$, а не $\\frac b2=3$: раскрытие даст $x^2+12x+36-34$"],"answer":[2]}},"hints":["Раскроем: $(x+3)^2+2=x^2+6x+9+2=x^2+6x+11\\ne x^2+6x+2$.","Скобка добавила $9$, значит $9$ надо вычесть: $2-9=-7$.","Верно: $x^2+6x+2=(x+3)^2-7$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Одно правило для любого коэффициента при x

Повторим те же шаги для трехчлена $x^2+bx+c$ с любыми числами. Полосы $bx$ делим на две части по $\frac b2x$. В угол достраиваем квадрат $\left(\frac b2\right)^2$ и сразу его вычитаем. Получаем общее правило.

Правило

Чтобы выделить полный квадрат из трехчлена $x^2+bx+c$, прибавьте и вычтите квадрат половины коэффициента при $x$:

$$x^2+bx+c=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\left(\frac b2\right)^2$$

Почему это верно. Раскроем скобки в правой части: $\left(x+\frac b2\right)^2=x^2+bx+\left(\frac b2\right)^2$. Прибавим $c$ и вычтем $\left(\frac b2\right)^2$ — останется $x^2+bx+c$. Раскрытие скобок верно при любых $x$ и $b$, в том числе отрицательных и дробных, хотя плитки мы рисуем только для положительных. Так же проверяйте и каждый свой ответ: раскройте скобки и сравните с исходным трехчленом.

Если $b<0$, в скобке получается разность. На плитках это квадрат разности, как в 7 классе: из квадрата $x\times x$ вырезаем две полосы, а угол, который вырезали дважды, возвращаем.

Квадрат x на x: вырезаем две полосы по 5; угол 5 на 5 вырезан дважды — возвращаем 25. Остается квадрат со стороной x−5: x²−10x+25=(x−5)² — При $b=-10$ из квадрата $x\times x$ вырезаем две полосы шириной $5$, угол $5\times5$ вырезан дважды — возвращаем $25$: $x^2-10x+25=(x-5)^2$

Пример 2

Выделите полный квадрат: а) $x^2-10x+29$; б) $x^2+9x+14$.

Решение. а) Половина $b$: $-10:2=-5$, в скобке $x-5$. Квадрат половины: $(-5)^2=25$.

$$x^2-10x+29=(x-5)^2-25+29=(x-5)^2+4$$

б) Коэффициент нечетный, половина — дробь: $9:2=4{,}5=\frac92$. Квадрат половины: $4{,}5^2=20{,}25=\frac{81}4$.

$$x^2+9x+14=\left(x+\frac92\right)^2-\frac{81}4+14=\left(x+\frac92\right)^2-\frac{25}4$$

Проверка. а) $(x-5)^2+4=x^2-10x+25+4=x^2-10x+29$. б) $\left(x+\frac92\right)^2-\frac{25}4=x^2+9x+\frac{81}4-\frac{25}4=x^2+9x+14$.

Ответ: а) $(x-5)^2+4$; б) $(x+4{,}5)^2-6{,}25$.

Сведем примеры урока в таблицу. В каждой строке одно и то же: половина $b$ уходит в скобку, квадрат половины вычитается из $c$.

Трехчлен	Половина $b$	Добавили $\left(\frac b2\right)^2$	$q=c-\left(\frac b2\right)^2$	Результат
$x^2+10x+25$	$5$	$25$	$0$	$(x+5)^2$
$x^2+8x+11$	$4$	$16$	$-5$	$(x+4)^2-5$
$x^2-10x+29$	$-5$	$25$	$4$	$(x-5)^2+4$
$x^2+9x+14$	$4{,}5$	$20{,}25$	$-6{,}25$	$(x+4{,}5)^2-6{,}25$

В интерактиве меняйте коэффициенты $b$ и $c$ и следите за плитками. Подберите $c$ так, чтобы число $q$ стало равно нулю, — тогда трехчлен окажется полным квадратом. Получится ли это при нечетном $b$ и целом $c$?

polnyj-kvadrat-dostroit

{"questions":[{"content":"Выделите полный квадрат: $x^2-12x+40=(x-6)^2+q$. Найдите $q$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Половина $b$: $-12:2=-6$, в скобке $x-6$.","$(x-6)^2=x^2-12x+36$, добавили $36$ — вычитаем.","$q=40-36=4$."],"step":1},{"content":"Выделите полный квадрат из трехчлена $x^2+7x+2$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(x+\\dfrac{7}{2})^2+2$","$(x+\\dfrac{7}{2})^2+\\dfrac{41}{4}$","$(x+7)^2-47$","$(x+\\dfrac{7}{2})^2-\\dfrac{41}{4}$"],"explanations":["Добавленный $\\frac{49}4$ не вычтен: свободный член остался прежним","Знак $q$ перепутан: $q=c-(\\frac b2)^2=2-\\frac{49}4$","В скобке стоит $b=7$, а не его половина $\\frac72$",""],"answer":[3]}},"hints":["Половина $b$: $7:2=\\frac72$, в скобке $x+\\frac72$.","$(\\frac72)^2=\\frac{49}4$ добавили — вычитаем из $2=\\frac84$.","$x^2+7x+2=(x+\\dfrac{7}{2})^2-\\dfrac{41}{4}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте шаги выделения полного квадрата из $x^2+4x+9$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Найти половину коэффициента при $x$: $4:2=2$","Прибавить и вычесть квадрат найденной половины: $x^2+4x+4-4+9$","Полученные три слагаемых $x^2+4x+4$ свернуть в квадрат суммы и сложить числа: $(x+2)^2+5$","Проверить найденную запись: раскрыть скобки в $(x+2)^2+5$ и получить $x^2+4x+9$"]}},"hints":["Сначала находят половину коэффициента при $x$: без нее нечего достраивать.","Затем достраивают до квадрата: прибавляют и вычитают $2^2$, сворачивают квадрат и складывают числа.","Проверить можно только готовую запись: раскрываем $(x+2)^2+5$ и получаем исходный трехчлен.","Ответ: $x^2+4x+9=(x+2)^2+5$."],"step":1}],"mix":1}

Если перед квадратом стоит не единица

Возьмем $3x^2+24x+40$. Здесь три квадрата $x\times x$ и $24$ полоски. Разложим плитки на три одинаковые группы: в каждой один квадрат и $24:3=8$ полосок, то есть $x^2+8x$ — знакомый участок из раздела 2. Каждую группу достраиваем углом $4^2=16$. Всего добавили $3\cdot16=48$ плиток, а у нас $40$.

Три одинаковые группы x²+8x достроены углами 16 до (x+4)²: добавлено 3·16=48, а плиток осталось 40. 3x²+24x+40=3(x+4)²−48+40=3(x+4)²−8 — Три группы $x^2+8x$, каждая достроена углом $16$: всего добавлено $3\cdot16=48$, поэтому $3x^2+24x+40=3(x+4)^2-8$

На языке формул «разложить на группы» — значит вынести $a$ за скобку из слагаемых с $x$:

$$3x^2+24x+40=3(x^2+8x)+40=3\left((x+4)^2-16\right)+40=3(x+4)^2-48+40=3(x+4)^2-8$$

Правило

Чтобы выделить полный квадрат из $ax^2+bx+c$ при $a\ne1$:

1) вынесите $a$ за скобку из слагаемых с $x$: $a\left(x^2+\frac bax\right)+c$;

2) выделите полный квадрат в скобке;

3) раскройте внешнюю скобку: число, вычтенное в скобке, умножается на $a$.

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $3x^2+24x+40=3(x+4)^2-16+40=3(x+4)^2+24$: вычли угол одной группы, а групп три. Проверка: $3(x+4)^2+24=3x^2+24x+48+24=3x^2+24x+72$ — свободный член $72$, а не $40$. Другая ошибка — взять половину $24$ без вынесения $3$: $3(x+12)^2$ дает $72x$ вместо $24x$.

Где ломается рассуждение. Скобка $3(x+4)^2$ — три одинаковых квадрата, поэтому добавлено $3\cdot16=48$, и вычитать нужно $48$.

Пример 3

Выделите полный квадрат из трехчлена $-x^2+12x-20$.

Решение. Здесь $a=-1$. Плитками это не нарисовать, но порядок действий тот же. Вынесем $-1$ из слагаемых с $x$, знаки в скобке меняются: $-x^2+12x-20=-(x^2-12x)-20$. В скобке $x^2-12x=(x-6)^2-36$. Раскроем внешнюю скобку — минус меняет знак и у вычитаемого:

$$-\left((x-6)^2-36\right)-20=-(x-6)^2+36-20=-(x-6)^2+16$$

Проверка. $-(x-6)^2+16=-(x^2-12x+36)+16=-x^2+12x-20$.

Ответ: $-x^2+12x-20=-(x-6)^2+16$.

{"questions":[{"content":"Выделите полный квадрат: $3x^2+18x+5=3(x+3)^2+q$. Найдите $q$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-22"}},"hints":["Вынесем $3$ из слагаемых с $x$: $3(x^2+6x)+5$.","$x^2+6x=(x+3)^2-9$, поэтому $3(x+3)^2-27+5$.","$q=5-27=-22$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Выделите полный квадрат: $-x^2+6x-4=-(x-3)^2+q$. Найдите $q$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Вынесем $-1$: $-(x^2-6x)-4$.","$x^2-6x=(x-3)^2-9$, поэтому $-(x-3)^2+9-4$.","$q=-4+9=5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр выделил полный квадрат: $2x^2+20x+3=2(x+5)^2-22$. В чем его ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Число $22$ надо прибавить, а не вычесть: $2(x+5)^2+22$","В скобке должна стоять половина $b$, то есть $2(x+10)^2$","Скобка $2(x+5)^2$ добавила $2\\cdot25=50$, а вычтено только $25$","Ошибки нет: раскрытие скобок дает исходный трехчлен"],"explanations":["Раскрытие дает $2x^2+20x+72$: добавленное число вычитают, а не прибавляют","После вынесения $2$ в скобке $x^2+10x$, ее половина — $5$; запись $2(x+10)^2$ дает $40x$","","Раскрытие дает $2x^2+20x+28$, а не $2x^2+20x+3$"],"answer":[2]}},"hints":["Раскроем запись Решавра: $2(x+5)^2-22=2x^2+20x+50-22=2x^2+20x+28$ — свободный член $28$, а не $3$.","После вынесения $2$ получаем $2(x^2+10x)+3$. В скобке достроили $25$, но скобка умножена на $2$, значит, добавили $2\\cdot25=50$.","Вычитать надо $50$: $2x^2+20x+3=2(x+5)^2-47$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Что видно в записи с полным квадратом

Вернемся к вопросу из начала урока. В примере 1 мы получили $x^2+8x+11=(x+4)^2-5$. Квадрат любого числа не меньше нуля: $(x+4)^2\ge0$ при любом $x$, и дробном, и отрицательном. Значит, $(x+4)^2-5\ge-5$. Равенство $-5$ получается только тогда, когда скобка равна нулю, то есть при $x=-4$. Поэтому значений меньше $-5$ трехчлен не принимает ни при каком $x$ — перебор подсказал верно, а полный квадрат это доказал.

Значения x²+8x+11 в целых точках от −8 до 0: наименьшее −5 при x=−4, ниже −5 не бывает, потому что x²+8x+11=(x+4)²−5 — Значения $x^2+8x+11$ при $x$ от $-8$ до $0$: самое низкое — $-5$ при $x=-4$, где скобка $x+4$ равна нулю

Так же читается любая запись $a(x+p)^2+q$. При $a>0$ наименьшее значение трехчлена равно $q$, и достигается оно, когда $x+p=0$. При $a<0$ квадрат умножен на отрицательное число, и $q$ — наибольшее значение: из примера 3 трехчлен $-x^2+12x-20=-(x-6)^2+16$ не больше $16$, а равен $16$ при $x=6$. Обратите внимание: наименьшее значение — это число $q$, а $x$ находят из условия $x+p=0$, то есть $x=-p$.

Запись с полным квадратом подсказывает и другое. Трехчлен $(x+4)^2-5$ равен нулю, когда $(x+4)^2=5$. Такие значения $x$ называют корнями трехчлена. Как их найти и как с их помощью разложить трехчлен на множители, разберем в уроке «Корни трехчлена и разложение на множители».

{"questions":[{"content":"Иксератопс выделил полный квадрат: $x^2-14x+52=(x-7)^2+3$. Какое наименьшее значение принимает трехчлен и при каком $x$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Наименьшее значение $3$ при $x=-7$","Наименьшее значение $52$ при $x=0$","Наименьшее значение $3$ при $x=7$","Наименьшее значение $-7$ при $x=3$"],"explanations":["При $x=-7$ скобка равна $-14$, а трехчлен — $199$; скобка обнуляется при $x=7$","При $x=0$ трехчлен равен $52$, но при $x=7$ он меньше: $49-98+52=3$","","Числа перепутаны: $-7$ стоит в скобке рядом с $x$, а наименьшее значение — это $q=3$"],"answer":[2]}},"hints":["Квадрат любого числа не меньше нуля: $(x-7)^2\\ge0$.","Значит, $(x-7)^2+3\\ge3$. Значение $3$ получается, когда скобка равна нулю: $x-7=0$, $x=7$.","Ответ: наименьшее значение $3$ при $x=7$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Выделение полного квадрата превращает трехчлен в запись $a(x+p)^2+q$, по которой сразу видно наименьшее или наибольшее значение. Этот прием понадобится, чтобы находить корни трехчлена, раскладывать его на множители и решать квадратные уравнения. Чтобы вспомнить правило, представьте плитки: полосы делятся на две стороны квадрата, угол достраивается, а все добавленное вычитается.

Часто задаваемые вопросы

Зачем прибавлять и вычитать одно и то же число, если от этого ничего не меняется?

Значение выражения действительно не меняется — в этом и смысл. Зато меняется запись: прибавленное число вместе с $x^2+bx$ сворачивается в квадрат, а вычтенное соединяется со свободным членом. Получается равная исходной запись, в которой видно больше.

Почему в скобке половина $b$, а не $b$?

Потому что $(x+m)^2=x^2+2mx+m^2$: удвоенное произведение дает $2m$ полосок, по $m$ на каждую сторону квадрата. Чтобы полосок было $b$, нужно $2m=b$, то есть $m=\frac b2$. Если поставить в скобку само $b$, полосок станет вдвое больше.

Как быстро проверить, что полный квадрат выделен верно?

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Должен получиться исходный трехчлен, совпасть должны все три коэффициента. Чаще всего не совпадает свободный член — значит, добавленный угол не вычли или вычли без множителя $a$.

Что делать, если коэффициент при $x$ нечетный?

Действовать так же, только половина $b$ будет дробью: при $b=7$ в скобке $x+3{,}5$, а вычитается $3{,}5^2=12{,}25$. Удобно считать в обыкновенных дробях: $\left(\frac72\right)^2=\frac{49}4$. Проверка раскрытием скобок работает и здесь.

Можно ли выделить полный квадрат из любого квадратного трехчлена?

Да. Правило не требует никаких условий: при $a\ne0$ всегда можно вынести $a$ и достроить квадрат. Число $q$ может получиться положительным, отрицательным или нулем — от него зависят свойства трехчлена, которые разберем в следующих уроках.

Награды за урок