Решение задач с помощью квадратных уравнений

Пусть первое число — $x$, тогда второе, следующее за ним, больше на единицу — $(x + 1)$. Составим уравнение:

$$x^2 + (x + 1)^2 = 85.$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 85$$

$$2x^2 + 2x + 1 = 85.$$

Перенесём все в левую часть и упростим, разделив обе части на $2$:

$$2x^2 + 2x + 1 -85 = 0$$

$$2x^2 + 2x -84 = 0$$

$$x^2 + x -42 = 0.$$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-42) = 169$.

Вычислим корни:

$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$

$x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1-\sqrt{169}}{2} = \dfrac{-14}{2} = -7$

Получаем $x_1 = 6$, $x_2 = -7$. Отрицательное значение не подходит, так как число должно быть натуральным.

Следующее натуральное число: $6 + 1 = 7$.

Ответ: $6$ и $7$

Обозначим мощность второй лампы через $x~Вт$, тогда мощность первой — $(x + 10)~Вт$. Составим уравнение по условию:

$x^2 + (x + 10)^2 = 4100$

$x^2 + x^2 + 20x + 100 = 4100$

$2x^2 + 20x -4000 = 0$

$x^2 + 10x -2000 = 0$

Вычислим дискриминант и найдем корни:

$D = 10^2 -4\cdot1\cdot(-2000) = 100 + 8000 = 8100$

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{8100}}{2} = \frac{-10 \pm 90}{2}$

$x_1 = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-10 -90}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Вычислим максимальную мощность: $40 + 10 = 50~Вт$.

Ответ: $50~Вт$.

Пусть длина первого катета $x$, тогда длина гипотенузы — $(x + 4)$. По условию задачи, другой катет равен $12$.

Применим теорему Пифагора и составим уравнение:

$$(x)^2 + 12^2 = (x + 4)^2$$

Раскроем скобки при помощи формулы сокращенного умножения:

$$x^2 + 144 = x^2 + 8x + 16$$

Сократим одинаковые слагаемые, вычтем $16$ и разделим обе части на $8$:

$$144 = 8x + 16$$

$$128 = 8x.$$

Разделим обе части уравнения на $8$:

$$x = 16$$

Тогда гипотенуза: $x + 4 = 20$.

Ответ: $20~см$.

Лучи света, штатив и стена образуют прямоугольный треугольник: одна сторона — это расстояние до стены, другая — высота светового пятна, а гипотенуза — сам световой луч. Используем теорему Пифагора, чтобы составить уравнение.

Пусть один из катетов $x$, тогда другой катет, больше на $1$ — $(x + 1)$. Применим теорему Пифагора и составим уравнение:

$$x^2 + (x + 1)^2 = 5^2$$

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, перенесем все влево и упростим:

$$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$$

$$2x^2 + 2x + 1 = 25$$

$$2x^2 + 2x -24 = 0$$

$$x^2 + x -12 = 0$$

Решим полученное уравнение при помощи дискриминанта:

$D = 1^2 -4\cdot1\cdot(-12) = 1 + 48 = 49$.

Вычислим корни:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 -7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: $3~м$

Из курса физики известно: если тело брошено вверх, его траектория описывается параболой:

Используем формулу для данного движения:

$$h = v_0 t -\dfrac{1}{2} g t^2.$$

В таких задачах допустимо приближенное значение $g = 10~м/с^2$.

Подставим данные из задачи, перенесем все в левую часть и разделим на $5$:

$$15 = 20t -5t^2$$

$$5t^2 -20t + 15 = 0$$

$$t^2 -4t + 3 = 0$$

Найдем дискриминант и вычислим корни:

$D = (-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 -12 = 4$
$t_1 = \dfrac{-(-4) -\sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 -2}{2} = 1$
$t_2 = \dfrac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 + 2}{2} = 3$

Ответ: $t = 1~c$ и $t = 3~c$.

Пусть в отборочном туре участвовало $x$ команд, тогда каждая сыграла с $(x -1)$ командами. По условию игроки встречаются друг с другом только один раз, поэтому общее количество матчей:

$$\dfrac{x(x -1)}{2} = 66$$

Преобразуем уравнение, умножив обе его части на $2$, далее раскроем скобки и перенесем все в левую часть:

$$x(x -1) = 132$$

$$x^2 -x = 132$$

$$x^2 -x -132 = 0.$$

Вычислим дискриминант и найдем корни:

$D = (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

$x_1 = \dfrac{-(-1) + \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 + 23}{2} = 12$

$x_2 = \dfrac{-(-1) -\sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 -23}{2} = -11.$

Отрицательный корень не подходит.

Ответ: $12$ команд