Решение задач с помощью квадратных уравнений
Мы уже научились решать квадратные уравнения с помощью формулы дискриминанта. Теперь важно понять, как их применять для решения реальных задач. Квадратные уравнения — это не только про абстрактные корни, но и про скорость, площади, длину и даже возраст.
Сегодня мы покажем, как квадратные уравнения помогают решать практические задачи. Разберем, как распознать такие задачи, как составить уравнение и как его решить.
Справка
Квадратные уравнения встречаются не только на уроках алгебры. На практике они помогают решать задачи в самых разных сферах:
- Физика: при расчётах движения тел по параболической траектории, например при броске вверх.
- Геометрия: при вычислении сторон, диагоналей и площадей фигур.
- Экономика: при анализе прибыли, максимизации доходов, прогнозах.
- Строительство: при расчёте конструкций с треугольными или квадратными элементами.
- Программирование: при моделировании ситуаций с переменной зависимостью.
- Игровая теория и комбинаторика: при подсчетах участников турниров или количества комбинаций.
Квадратные уравнения использовались ещё в Древнем Вавилоне и Египте. Тогда задачами занимались жрецы и учёные. Например, египтяне решали уравнения, подобные $x^2 = a$, с помощью таблиц, а в Индии впервые появилась идея отрицательных корней.
Квадратные уравнения в алгебре
Квадратные уравнения часто применяются в задачах на числа, дроби и выражения. Важно уметь не только составить уравнение, но и решить его пошагово.
Пример 1
Найдите два последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна $85$.
Показать решение
Скрыть
Пусть первое число — $x$, тогда второе, следующее за ним, больше на единицу — $(x + 1)$. Составим уравнение:
$$x^2 + (x + 1)^2 = 85.$$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 85$$
$$2x^2 + 2x + 1 = 85.$$
Перенесём все в левую часть и упростим, разделив обе части на $2$:
$$2x^2 + 2x + 1 -85 = 0$$
$$2x^2 + 2x -84 = 0$$
$$x^2 + x -42 = 0.$$
Найдем дискриминант: $D = 1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-42) = 169$.
Вычислим корни:
$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$
$x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1-\sqrt{169}}{2} = \dfrac{-14}{2} = -7$
Получаем $x_1 = 6$, $x_2 = -7$. Отрицательное значение не подходит, так как число должно быть натуральным.
Следующее натуральное число: $6 + 1 = 7$.
Ответ: $6$ и $7$
Пример 2
На даче у дедушки Саши часто перегорают лампочки и он решил найти более надежные. Для этого он установил две новые: одну от фирмы «Свет», а другую — от фирмы «Иллюминатор». Оказалось, что лампочка от первой фирмы мощнее на $10~Вт$, чем от второй.
Вечером, записывая результаты, дедушка заметил любопытное совпадение: если возвести в квадрат мощности обеих ламп и сложить их, то получится ровно $4100$.
Какова максимальная мощность среди ламп, установленных дедушкой Сашей?
Показать решение
Скрыть
Обозначим мощность второй лампы через $x~Вт$, тогда мощность первой — $(x + 10)~Вт$. Составим уравнение по условию:
$x^2 + (x + 10)^2 = 4100$
$x^2 + x^2 + 20x + 100 = 4100$
$2x^2 + 20x -4000 = 0$
$x^2 + 10x -2000 = 0$
Вычислим дискриминант и найдем корни:
$D = 10^2 -4\cdot1\cdot(-2000) = 100 + 8000 = 8100$
$x = \frac{-10 \pm \sqrt{8100}}{2} = \frac{-10 \pm 90}{2}$
$x_1 = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$x_2 = \frac{-10 -90}{2} = \frac{-100}{2} = -50$
Вычислим максимальную мощность: $40 + 10 = 50~Вт$.
Ответ: $50~Вт$.
Квадратные уравнения в геометрии
Квадратные уравнения помогают решать геометрические задачи, особенно связанные с прямоугольными треугольниками, площадями и длинами отрезков.
Пример 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза на $4~см$ длиннее одного из катетов, а другой катет равен $12~см$. Найдите длину гипотенузы.
Показать решение
Скрыть
Пусть длина первого катета $x$, тогда длина гипотенузы — $(x + 4)$. По условию задачи, другой катет равен $12$.
Применим теорему Пифагора и составим уравнение:
$$(x)^2 + 12^2 = (x + 4)^2$$
Раскроем скобки при помощи формулы сокращенного умножения:
$$x^2 + 144 = x^2 + 8x + 16$$
Сократим одинаковые слагаемые, вычтем $16$ и разделим обе части на $8$:
$$144 = 8x + 16$$
$$128 = 8x.$$
Разделим обе части уравнения на $8$:
$$x = 16$$
Тогда гипотенуза: $x + 4 = 20$.
Ответ: $20~см$.
Пример 2
В фотостудии «Альдебаран» фотограф настраивал оборудование. Он установил прожектор на штативе так, чтобы он освещал стену под углом.
Расстояние от пола до верхней части светового пятна оказалось на $1$ метр больше, чем расстояние от прожектора до стены.
Длина луча света (от лампы до верхнего края пятна) составила $5$ метров.
На каком расстоянии от стены стоит прожектор?
Показать решение
Скрыть
Лучи света, штатив и стена образуют прямоугольный треугольник: одна сторона — это расстояние до стены, другая — высота светового пятна, а гипотенуза — сам световой луч. Используем теорему Пифагора, чтобы составить уравнение.
Пусть один из катетов $x$, тогда другой катет, больше на $1$ — $(x + 1)$. Применим теорему Пифагора и составим уравнение:
$$x^2 + (x + 1)^2 = 5^2$$
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, перенесем все влево и упростим:
$$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$$
$$2x^2 + 2x + 1 = 25$$
$$2x^2 + 2x -24 = 0$$
$$x^2 + x -12 = 0$$
Решим полученное уравнение при помощи дискриминанта:
$D = 1^2 -4\cdot1\cdot(-12) = 1 + 48 = 49$.
Вычислим корни:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}$
$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-1 -7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: $3~м$
Квадратные уравнения в физике
Квадратные уравнения встречаются не только в математике, но и в физике.
Они помогают решать задачи про движение, высоту, путь, скорость и ускорение. Разберёмся, как составить такое уравнение по условию задачи и найти нужную величину.
Пример
Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью $20~м/с$. На какой секунде он окажется на высоте $15$ метров?
Показать решение
Скрыть
Из курса физики известно: если тело брошено вверх, его траектория описывается параболой:
Используем формулу для данного движения:
$$h = v_0 t -\dfrac{1}{2} g t^2.$$
В таких задачах допустимо приближенное значение $g = 10~м/с^2$.
Подставим данные из задачи, перенесем все в левую часть и разделим на $5$:
$$15 = 20t -5t^2$$
$$5t^2 -20t + 15 = 0$$
$$t^2 -4t + 3 = 0$$
Найдем дискриминант и вычислим корни:
$D = (-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 -12 = 4$
$t_1 = \dfrac{-(-4) -\sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 -2}{2} = 1$
$t_2 = \dfrac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 + 2}{2} = 3$
Ответ: $t = 1~c$ и $t = 3~c$.
Квадратные уравнения в текстовых задачах и комбинаторике
Квадратные уравнения можно встретить в задачах на турнирные схемы, количество комбинаций и даже при анализе последовательностей. Важно уметь переводить условие задачи на математический язык.
Пример
В отборочном туре Чемпионата Мира по хоккею каждая из команд сыграла с каждой другой по одному разу.
Всего было проведено $66$ матчей. Сколько команд участвовало в турнире?
Показать решение
Скрыть
Пусть в отборочном туре участвовало $x$ команд, тогда каждая сыграла с $(x -1)$ командами. По условию игроки встречаются друг с другом только один раз, поэтому общее количество матчей:
$$\dfrac{x(x -1)}{2} = 66$$
Преобразуем уравнение, умножив обе его части на $2$, далее раскроем скобки и перенесем все в левую часть:
$$x(x -1) = 132$$
$$x^2 -x = 132$$
$$x^2 -x -132 = 0.$$
Вычислим дискриминант и найдем корни:
$D = (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$
$x_1 = \dfrac{-(-1) + \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 + 23}{2} = 12$
$x_2 = \dfrac{-(-1) -\sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 -23}{2} = -11.$
Отрицательный корень не подходит.
Ответ: $12$ команд
Часто задаваемые вопросы
Если при составлении уравнения переменная оказывается во второй степени ($x^2$), это означает, что перед вами — квадратное уравнение.
Иногда можно, но при этом легко ошибиться. Составление уравнения помогает найти точное решение и избежать догадок.
Они встречаются в физике, строительстве, программировании и даже при планировании турниров — везде, где есть зависимости, которые можно выразить через $x^2$.
Смотрите на условие задачи. Иногда оба корня подходят, а иногда — только положительный (например, длина не может быть отрицательной).
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти