Решение неполных квадратных уравнений

Проверьте, насколько хорошо вы разобрались в решении неполных квадратных уравнений. Вас ждут задачи на внимательность, умение выделять тип уравнения и находить корни. Подойдёт для закрепления темы, тренировки перед самостоятельной или контрольной работой.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Какие из квадратных уравнений являются неполными?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2x -5x^2 + 6 = 6$","$x^2 + 3 = -7x$","$3x^2 -4x = 8x + 4x^2$","$9 + 2x^2 = 18$"],"explanations":["При переносе в левую часть и приведя подобные слагаемые, получим: $$-5x^2 + 2x = 0.$$<br />Уравнение будет неполным, так как $c = 0.$","Если перенести $7x$ влево, получится полное квадратное уравнение:<br />$$x^2 + 7x +3 = 0.$$","Перенесем все влево и приведем подобные:<br />$$-x^2 -12x = 0.$$<br />$c = 0$ — уравнение неполное.","Перенесем $18$ влево и приведем подобные слагаемые:<br />$$2x^2 -9 = 0.$$<br />$b = 0$ — уравнение неполное."],"answer":[0,2,3]}},"hints":["Полное квадратное уравнение имеет вид: $ax^2 + bx + c = 0.$<br />Уравнение будет неполным, если $b = 0$ или $c = 0$.","В стандартном виде неполные квадратные уравнения выглядят так:<br />$$ax^2 + bx = 0,$$<br />либо<br />$$ax^2 + c =0.$$","Чтобы понять, какое из уравнений является неполным, его нужно привести к стандартному виду.<br /><br />Для этого перенесите все в левую часть и приведите подобные  слагаемые."]},{"content":"Какой способ применить при решении данного уравнения:<br />$$5x^2 -8x = 0?$$[[choice-27]]","widgets":{"choice-27":{"type":"choice","options":["Вычислить дискриминант","Вынести общий множитель за скобки","Разделить уравнение на $x$"],"explanations":["Применяется при решении полного квадратного уравнения.","","При делении на $x$ потеряется корень $x = 0.$"],"answer":[1]}},"hints":["Если в неполном квадратном уравнении $c = 0,$ то ,чтобы его решить, нужно вынести общий множитель за скобки."],"id":"0"},{"content":"Какой метод применяется при решении данного уравнения:<br />$$2x^2 -32 = 0?$$[[choice-621]]","widgets":{"choice-621":{"type":"choice","options":["Вынесение общего множителя за скобки","Вычисление дискриминанта","Перенос свободного члена вправо"],"explanations":["Применяется при $c = 0.$","Подходит для решения полного квадратного уравнения.",""],"answer":[2]}},"hints":["Если в неполном квадратном уравнении $b = 0,$ то нужно перенести свободный член вправо и вычислить с обеих частей уравнения квадратный корень."],"id":"0"},{"content":"Возможно ли такое — при решении неполного квадратного уравнения вида: $ax^2 + bx = 0,$ где $c = 0,$ получится ответ «корней нет»?[[choice-43]]","widgets":{"choice-43":{"type":"choice","options":["Да","Нет"],"explanations":["","В уравнениях такого типа всегда два корня."],"answer":[1]}},"hints":["Чтобы решить неполное квадратное уравнение, когда $c = 0,$ применяется метод вынесения общего множителя:<br />$$x(ax + b) = 0.$$","Далее, мы приравниваем к нулю каждый из множителей:<br />$$x = 0,$$<br />$$ax + b = 0.$$<br /><br />Как видно, корней будет два, причем, один из них — всегда ноль."],"id":"2"},{"content":"Возможно ли такое — при решении уравнения $ax^2 + c = 0,$ где $a >0$ и $b = 0$, получается ответ «корней нет»?[[choice-830]]","widgets":{"choice-830":{"type":"choice","options":["Да, такое возможно, если $c > 0$","Нет","Да, такое возможно, если $c < 0$"],"explanations":["Если $c > 0$ и ее перенести вправо, то получится выражение:<br />$$ax^2 = -c.$$<br />Квадратный корень из отрицательного числа не вычисляется.","","Если $c < 0$, то при переносе ее вправо, получится выражение:<br />$$x^2 = c.$$<br />Из положительного $c$ квадратный корень вычислить возможно."],"answer":[0]}},"hints":["Перенесите $c$ вправо.<br />По условию, $c > 0$, значит, получим выражение:<br />$$ax^2 = -c.$$","Чтобы решить данное уравнение, разделим обе части на $a$:<br />$$x^2 = -\\frac{c}{a}$$<br />$$x = \\sqrt{-\\frac{c}{a}}$$<br />Извлечение квадратного корня невозможно при $a > 0$ и $c > 0.$<br />Ответ: корней нет."],"id":"2"},{"content":"Какой метод применяется при решении данного уравнения:<br />$$3x^2 -9 = 0?$$[[choice-86]]","widgets":{"choice-86":{"type":"choice","options":["Вынесение общего множителя за скобки","Вычисление дискриминанта","Перенос свободного члена вправо"],"explanations":["Применяется при $c = 0.$","Подходит для решения полного квадратного уравнения.",""],"answer":[2]}},"hints":["Если в неполном квадратном уравнении $b = 0,$ то нужно перенести свободный член вправо и вычислить с обеих частей уравнения квадратный корень."],"id":"1"},{"content":"Какой метод применяется при решении данного уравнения:<br />$$x^2 -x = 0?$$[[choice-706]]","widgets":{"choice-706":{"type":"choice","options":["Вынесение общего множителя за скобки","Вычисление дискриминанта","Перенос свободного члена вправо","Разделить уравнение на $x$"],"explanations":["","Подходит для решения полного квадратного уравнения.","Применяется при $b = 0,$ когда уравнение имеет вид: $ax^2 + c = 0.$","При делении на $x$ потеряется корень уравнения $x = 0.$"],"answer":[0]}},"hints":["Если в неполном квадратном уравнении $c = 0,$ то ,чтобы его решить, нужно вынести общий множитель за скобки."],"id":"1"},{"content":"Возможно ли такое — при решении уравнения $ax^2 + c = 0,$ где $a >0$ и $b = 0$, получается ответ «корней нет»?[[choice-127]]","widgets":{"choice-127":{"type":"choice","options":["Да, такое возможно, если $c > 0$","Нет","Да, такое возможно, если $c < 0$"],"explanations":["Если $c > 0$ и ее перенести вправо, то получится выражение:<br />$$ax^2 = -c.$$<br />Квадратный корень из отрицательного числа не вычисляется.","","Если $c < 0$, то при переносе ее вправо, получится выражение:<br />$$x^2 = c.$$<br />Из положительного $c$ квадратный корень вычислить возможно."],"answer":[0]}},"hints":["Перенесите $c$ вправо.<br />По условию, $c > 0$, значит, получим выражение:<br />$$ax^2 = -c.$$","Чтобы решить данное уравнение, разделим обе части на $a$:<br />$$x^2 = -\\frac{c}{a}$$<br />$$x = \\sqrt{-\\frac{c}{a}}$$<br />Извлечение квадратного корня невозможно при $a > 0$ и $c > 0.$<br />Ответ: корней нет."]},{"content":"Найдите корни уравнения:<br />$$3x^2 + 5x = 0.$$[[choice-216]]","widgets":{"choice-216":{"type":"choice","options":["$-1 \\frac{2}{3}$ и $0$","$1 \\frac{2}{3}$ и $0$","$\\frac{3}{5}$","$-\\frac{3}{5}$"],"explanations":["","При переносе числа из левой части в правую или наоборот знак меняется на противоположный.","","Делить нужно на коэффициент, который находится перед $x^2.$"],"answer":[0]}},"hints":["Вынесем общий множитель за скобки:<br />$$x(3x + 5) = 0.$$","Приравняем каждый множитель к нулю:<br />$$x = 0,$$<br />$$3x + 5 = 0.$$","Перенесем $5$ вправо:<br />$$3x = -5$$<br />$$x = -\\frac{5}{3}$$<br />$$x = -1 \\frac{2}{3}$$<br /><br />Ответ: $-1 \\frac{2}{3}$ и $0$.<br />"],"id":"3"},{"content":"Решите уравнение:<br />$$-x = x^2$$[[choice-976]]","widgets":{"choice-976":{"type":"choice","options":["$0$","$0$ и $1$","$-1$","$-1$ и $0$"],"explanations":["В уравнениях типа $ax^2 + bx = 0$ всегда два корня.","При переносе вправо $x^2$ и умножении уравнения на $(-1)$ все слагаемые получаются со знаком «$+$». <br />Поэтому при разложении на множители второй множитель будет $(x + 1).$<br />Когда мы приравниваем его к нулю, получаем $x = -1.$","В уравнениях типа $ax^2 + bx = 0$ всегда два корня.",""],"answer":[3]}},"hints":["Перенесем все в левую часть:<br />$$-x^2 -x = 0.$$","Умножим уравнение на $(-1)$:<br />$$x^2 + x = 0.$$","Вынесем общий множитель за скобки:<br />$$x(x + 1) = 0.$$<br />","Приравняем к нулю каждый из множителей:<br />$$x = 0,$$<br />$$x + 1 = 0$$<br />$$x = -1$$<br /><br />Ответ: $-1$ и $0.$"],"id":"3"},{"content":"Решите уравнение:<br />$$-3x^2 -8 = -x^2$$[[choice-382]]","widgets":{"choice-382":{"type":"choice","options":["Корней нет","$-4$ и $4$","$-2$ и $2$","$2$ и $0$"],"explanations":["После полного преобразования уравнение имеет вид:<br />$$x^2 = -4.$$<br />Квадратный корень из $-4$ извлечь нельзя.","","",""],"answer":[0]}},"hints":["Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые:<br />$$-2x^2 -8 = 0.$$","Домножим уравнение на $(-1)$:<br />$$2x^2 + 8 = 0.$$<br />Разделим все коэффициенты на $2$ и перенесем свободный член вправо:<br />$$x^2 = -4.$$<br />$x^2$ не может быть отрицательным числом.<br />Ответ: корней нет.<br />"],"id":"4"},{"content":"Найдите корни уравнения:<br />$$-\\frac{4}{7}x^2 + 7 = 0$$[[choice-1178]]","widgets":{"choice-1178":{"type":"choice","options":["$3,5$","$-3,5$ и $3,5$","$\\frac{2}{7}$","$-\\frac{2}{7}$ и $\\frac{2}{7}$"],"explanations":["При вычислении квадратного корня в уравнении получается два значения:<br />один со знаком «$+$», другой — со знаком «$-$».","","","Делить нужно на коэффициент,который находится перед $x^2.$"],"answer":[1]}},"hints":["Умножим уравнение на $(-7)$:<br />$$4x^2 -49 = 0.$$","Перенесем свободный член вправо и разделим на $4$:<br />$$x^2 = \\frac{49}{4}.$$","Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получим корни:<br />$$x = \\sqrt{\\frac{49}{4}}$$<br />$x_1 = \\frac{7}{2} = 3,5$<br /><br />$x_2 = -\\frac{7}{2} = -3,5$<br /><br />Ответ: $-3,5$ и $3,5.$"],"id":"4"}],"mix":1}</textarea></pre></div>