Формула корней квадратного уравнения. Дискриминант
На прошлом уроке мы начали знакомство с квадратными уравнениями. Сегодня мы рассмотрим квадратные уравнения и способы нахождения их корней. Данный урок посвятим формуле корней квадратного уравнения.
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение – это уравнение вида $$ ах^{2} + bx + c = 0$$ где $a \neq 0$.
Левая часть уравнения называется квадратный трехчлен. Квадратны уравнения могут быть полными и неполными в зависимости от значения его коэффициентов.
| Полные | Неполные | |
|---|---|---|
| Отличительное свойство | $b, c \neq 0$ | $b = 0$ или $c = 0$ или $b = c = 0$ |
| Вид | $x^{2} + bx + c = 0$ | $x_{ 2} + bx = 0$ $x ^{2} + c = 0$ $x ^{2} = 0$ |
| Пример | $6x^{ 2} + 17x + 20 = 0$ | $x^{ 2} + 5x = 0$ $x ^{2} + 7 = 0$ $x ^{2} = 0$ |
Способы решения квадратных уравнений
Как решить квадратное уравнение?
- С помощью формулы корней: универсальный способ для любого квадратного уравнения.
- Метод подбора или подстановки: подходит, если все коэффициенты простые, а корни — целые; подставляем значения $x$, пока не найдем корень.
- С помощью теоремы Виета: подойдет, если коэффициент $a = 1.$
- Разложением квадратного трехчлена на множители: сработает, если уравнение можно представить в виде произведения скобок.
- Графический способ: не самый точный метод, больше важен для понимания примерного значения $x$, нежели нахождения точного ответа. Корнями будут точки пересечения графиком оси $x$.
На этом уроке мы сосредоточимся на первом способе. К теореме Виета перейдем после его освоения, а разложение на множители мы изучим позже, когда познакомимся с понятием квадратного трехчлена.
Формула корней квадратного уравнения
Для применения этого способа введем понятие дискриминанта, который в математике обозначается буквой $D$.
Дискриминант квадратного уравнения – это величина, которая вычисляется по формуле $$D=b^{2}\:–\:4ac$$
Сравнив дискриминант с нулем, мы определяем, сколько корней имеет квадратное уравнение.
| Дискриминант | Количество корней |
|---|---|
| $D< 0$ | Нет |
| $D= 0$ | Один (два равных) |
| $D> 0$ | Два различных |
Формулы нахождения дискриминанта
- Если $D>0$, то его значение вычисляется по формуле $\frac{– b ± \sqrt{D}}{2a}$.
- Если $D=0$, то его значение вычисляется по формуле $–\frac{b}{2a}$.
Вторая формула – это, по сути, видоизмененная первая. Из нее просто убрали слагаемое, равное нулю, так как на результат оно не влияет. Рассмотренная формула называется формулой корней квадратного уравнения.
Алгоритм использования формулы корней квадратного уравнения
- Вычисляем дискриминант
Используем формулу $D = b^{ 2} – 4ac$.
- Сравниваем полученное значение с нулем
Узнаем количество корней.
- Дискриминант меньше нуля
Корней нет.
- Дискриминант равен нулю
Один корень, находим его по формуле $–\frac{b}{2a}$.
- Дискриминант больше нуля
Два корня, находим их по формуле $\frac{– b ± \sqrt{D}}{2a}$.
Практика
Задание 1
Найдите корни уравнения
$12x^{2} + 7x +1 = 0$.
Показать решение
Скрыть
Так как данное уравнение является квадратным, вычислим значение дискриминанта:
$D = 7^{2} –\: 4 \cdot 12 \cdot 1 = 49\: – \:48 = 1$.
Значение дискриминанта больше $0$, следовательно уравнение имеет 2 корня:
- $x_{1} = \frac{ – 7 + \sqrt{1}}{2 * 12} = \frac{– 6}{24} = – \frac{1}{4}$
- $x_{2} = \frac{ – 7 — \sqrt{1}}{2 * 12} = \frac{– 8}{24} = – \frac{1}{3}$.
Ответ: $x_{1} = – \frac{1}{4}$ и $x_{2} = – \frac{1}{3}$.
Задание 2
Найдите корни уравнения
$x^{2} \:– \:12x + 36 = 0$.
Показать решение
Скрыть
Так как данное уравнение является квадратным, вычислим значение дискриминанта:
$D = 12^{2} \:– \:4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 \:–\: 144 = 0$.
Значение дискриминанта равно $0$, следовательно уравнение имеет единственный корень:
- $ x = \frac{12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: $ x = 6$.
Часто задаваемые вопросы
Бывает. В этом случае у квадратного уравнения корней нет.
Ни одного, один или два – в зависимости от дискриминанта.
Нет, его корни определяются по другим формулам.
5
5
1
5
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Хотите оставить комментарий?
Войти