Числовые неравенства

Зачем нужны числовые неравенства и чем они могут быть полезны в жизни? Когда мы говорим: «У меня дома больше настольных игр, чем у тебя», — мы используем сравнение.

В математике это сравнение можно записать коротко с помощью неравенства: $a > b$. Здесь $a$ — количество ваших игр, а $b$ — количество игр у вашего друга.

Математика умеет сравнивать не только игрушки, но и числа, а еще переменные и даже функции!

В этом уроке мы узнаем, что такое числовые неравенства, какие бывают знаки неравенства, как сравнивать разные числа и целые выражения.

Что такое числовое неравенство

Как мы уже поняли, сравнить можно многое. В жизни часто приходится сравнивать числа, ведь через них мы можем выразить и количество денег на карте, и скидку в магазине.

Сравнение двух любых чисел $a$ и $b$ или выражений, например $a + b$ и $b-a$, даст результат, который можно записать в виде числового неравенства.

В этом нам помогут специальные знаки: $>$, $<$ и $=$. Благодаря этим знакам мы можем записывать неравенства и равенства.

А какими могут быть эти самые числа $a$ и $b$? Ведь мы можем сравнить целые числа, отрицательные числа, дроби: обыкновенные и десятичные, и все их вместе тоже можно сравнить!

Другими словами $a$ и $b$ — это вещественные (или действительные) числа, то есть все возможные рациональные и иррациональные числа.

{"questions":[{"content":"Как математически записать предложение «Число $a$ меньше, чем число $b$»?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a > b$","$a = b$","$a \\leq b$","$a < b$"],"explanations":["Эта запись означает, что число $a$ больше, чем число $b$.","Эта запись означает, что числа $a$ и $b$ равны.","Эта запись означает, что число $a$ меньше числа $b$ или равно ему.","Эта запись означает, что число $a$ меньше, чем число $b$."],"answer":[3]}},"hints":["Изученные символы сравнения: $>$, $<$ и $=$."]}]}

Как сравнивать числа?

Чтобы стало понятнее, как решать простые числовые неравенства, разберем несколько примеров.

Сравнение положительных чисел

Начнем с простого, что больше: $28$ или $13$? Верное неравенство: $28 > 13$.

Задание

Сравните числа $7$ и $52$.

Показать ответ

Скрыть

Сравнение отрицательных чисел

Отрицательные числа сравниваются через модуль. Сравним $-15$ и $-23$.

Модуль первого числа $|-15| = 15$, а модуль второго $|-23| = 23$. Модуль показывает, насколько далеко находится число от нуля на числовой прямой без учета его знака.

Сравнивая модули, мы получаем, что $|-15| < |-23|$. Это значит, что $-15$ ближе к нулю, чем $-23$, а значит, оно больше. Это легко понять, если представить термометр: зимой на улице с температурой $-15\,^{\circ}{\rm C}$ теплее, чем с температурой $-23\,^{\circ}{\rm C}$. Верное неравенство: $-15 > -23$.

Задание

Верно ли неравенство: $−2 < −7$?

Показать ответ

Скрыть

Сравнение различных дробей

А если сравнить дроби? Например, $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$. Выглядит устрашающе! Однако это легко решить, если мы приведем обе дроби к общему знаменателю: $\frac{5}{8} = \frac{35}{56}$, а $\frac{4}{7} = \frac{32}{56}$.

Ну вот, теперь нам осталось сравнить только их числители, а это очень просто: $35 > 32$. То есть число слева больше, чем число справа. Верное неравенство: $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$.

Задание

Сравните $\frac{15}{4}$ и $\frac{3}{16}$.

Показать ответ

Скрыть

Дроби могут быть и десятичными: $3,6748$ и $3,675$. Приглядимся к ним внимательнее.

Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают! А в разряде тысячных в первой дроби стоит цифра $4$, а во второй — цифра $5$. Мы знаем, что $4 < 5$, а значит, верное неравенство: $3,6748 < 3,675$.

Задание

Сравните $-4,267$ и $-4,2695$.

Показать ответ

Скрыть

А теперь самое сложное! Возможно ли сравнить обыкновенную дробь $\frac{9}{20}$ и десятичную $0,45$? Конечно! Обратим обыкновенную дробь в десятичную.

Для этого поделим числитель $9$ на знаменатель $20$, получим $9\div20=0,45$, и это совпало со вторым числом. Верное неравенство, а точнее равенство: $\frac{9}{20} = 0,45$.

Задание

Сравните $3,14159$ и $\frac{22}{7}$.

Показать ответ

Скрыть

Сравнение на все случаи жизни

В примерах для сравнения чисел мы использовали несколько способов, подходящих для конкретного вида чисел. Но как было бы здорово не думать каждый раз, какой способ для решения числовых неравенств применять. А ведь такая возможность существует!

Универсальный метод таков: чтобы сравнить числа $a$ и $b$, мы вычтем одно из другого и сравним разность с нулем. То есть хотим узнать, какой результат сравнения даст выражение $a-b$ и $0$. Суть подскажет определение.

Число $a$ больше числа $b$ ($a > b$), если $a-b > 0$, то есть разность $a$ и $b$ является положительным числом;
число $a$ меньше числа $b$ ($a < b$), если $a-b < 0$, то есть разность $a$ и $b$ — отрицательное число;
число $a$ равно числу $b$ ($a = b$), если $a-b = 0$.

Чтобы лучше понять определение универсального метода сравнения любых чисел, нарисуем координатную прямую. Большее число изображается правее, а меньшее число — левее.

У нас есть два числа $a$ и $b$. И есть их разность $a-b$, пусть она обозначается буквой $c$, то есть $a-b = c$. И это значит, что $a = b + c$. Нарисуем на координатной прямой сначала точку $b$:

Определение нам говорит, что сравнение чисел $a$ и $b$ зависит от их разности, то есть от числа $c$. Что если $c > 0$? Где тогда будет лежать точка $a = b + c$ на координатной прямой? Все просто: $b + c$ больше, чем $b$, поскольку число $c$ положительное, значит, точка $a=b+c$ будет лежать правее:

А если разность $a-b = c < 0$? Число $c$ отрицательное, и тогда $a = b + c$ будет меньше, чем $b$, а значит, и лежать будет левее:

{"questions":[{"instruction":"Заполните пропуски","content":"Прочитайте внимательно и сравните числа $a$ и $b$:<br />$a$ [[fill_choice-1]] $b$, если $a-b = -0,001$;<br />$a$ [[fill_choice-8]] $b$, если $a-b = 0$;<br />$a$ [[fill_choice-25]] $b$, если $a-b = 4,3$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$>$","$<$","$=$"],"answer":1},"fill_choice-8":{"type":"fill_choice","options":["$>$","$<$","$=$"],"answer":2},"fill_choice-25":{"type":"fill_choice","options":["$>$","$<$","$=$"],"answer":0}},"explanation":"Разность $a-b = -0,001$ — это отрицательное число, поэтому число $a$ меньше числа $b$. Если $a-b=0$, то числа равны друг другу. Разность $a-b = 4,3$ дает положительный результат, ведь $4,3 > 0$, значит, $a > b$.","hints":["Число $a$ больше числа $b$, если разность $a$ и $b$ является положительным числом.","Число $a$ меньше числа $b$, если разность $a$ и $b$ — отрицательное число.","Число $a$ равно числу $b$, если разность $a$ и $b$ равна нулю."]}]}

Применение полученных знаний

Данные знания обязательно пригодятся в решении более сложных и важных задач. Рассмотрим одну из них.

Практика

{"questions":[{"instruction":"Решите задачу","content":"Известно, что $a < b$. Каким числом может выражаться разность $a-b$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3,72$","$0$","$-5$"],"explanations":["$3.72>0$, следовательно, разность $a-b>0$, а по условию задачи $a < b$.","В этом случае разность $a-b=0$, это противоречит условию задачи.","$-5<0$, значит, разность $a-b<0$ и может выражаться числом $-5$."],"answer":[2]}},"hints":["Выражение $a < b$ означает, что $a-b<0$."]}]}

Показать ответ

Скрыть

Часто задаваемые вопросы