Числовые неравенства и их свойства

Пройдите тест, чтобы закрепить полученные знания о числовых неравенствах и их свойствах.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"instruction":"Заполните пропуски","content":"Число $a$ больше числа $b$, если разность $a-b$ — это [[fill_choice-1]] число; число $a$ меньше числа $b$, если разность $a-b$ — это [[fill_choice-5]] число.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["положительное","отрицательное","нулевое"],"answer":0},"fill_choice-5":{"type":"fill_choice","options":["положительное","отрицательное","нулевое"],"answer":1}}},{"content":"Сопоставьте формулировки теорем с названиями основных свойств числовых неравенств.[[matcher-25]][[image-31]]","widgets":{"matcher-25":{"type":"matcher","labels":["Симметричность знака неравенства, или «зеркальное» свойство","Переходное свойство","Прибавление числа","Умножение на число"],"items":["Если $a > b$, то $b < a$; если $a < b$, то $b > a$.","Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$.","Если $a < b$ и $c$ — любое число, то $a+c < b+c$.","Если $a < b$ и $c$ — положительное число, то $ac < bc$.<br />Если $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то $ac > bc$.","Если $a < b$ и $c < d$, то $a < d$.","Если $a > b$, то $b > a$."]},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/istorik-istoriya-chitaet-knigu-kniga-lupa-01.svg","width":"300"}},"hints":["Если к обеим частям верного неравенства <i>прибавить</i> одно и то же число, то получится верное неравенство.","Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.<br />Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.","Для проверки «зеркального» и переходного свойств нарисуйте числовую прямую."]},{"content":"Какое из следующих числовых неравенств не является верным для любого значения $x$?[[choice-582]][[image-76]]","widgets":{"choice-582":{"type":"choice","options":["$8x-70 < x^2$","$x^2+6 > 4x$","$x^2 > 2x-3$","$4x-4 < x^2$"],"explanations":["Рассмотрим разность: $8x-70-x^2 < 0$. Временно поставим знак равенства и поменяем слагаемые местами: $-x^2+8x-70=0$.<br />Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (коэффициент перед $x^2$ имеет знак минус).<br />Посчитаем дискриминант: $D=8^2-4\\cdot(-1)\\cdot(-70)=64-280=-216 < 0$. Таким образом, уравнение не имеет корней, следовательно, парабола не пересекает ось $Ox$.<br />Поскольку ее ветви направлены вниз, то вся она целиком лежит в нижней полуплоскости. Это означает, что выражение $y(x) < 0$, то есть $-x^2+8x-70 < 0$, а значит, и $8x-70 < x^2$ для любого $x$.","Рассмотрим разность: $x^2+6-4x > 0$. Приравняем выражение слева к нулю и поменяем слагаемые местами: $x^2-4x+6=0$.<br />Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.<br />Посчитаем дискриминант: $D=(-4)^2-4\\cdot1\\cdot6=-8 < 0$. Таким образом, уравнение не имеет корней, следовательно, парабола не пересекает ось абсцисс.<br />Поскольку ее ветви направлены вверх, то вся парабола лежит выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $y(x) > 0$, то есть $x^2-4x+6 > 0$, а значит, и $x^2+6 > 4x$ для любого $x$.","Рассмотрим разность: $x^2-2x+3 > 0$. Временно поставим знак равенства: $x^2-2x+3=0$.<br />Уравнение вида $y(x)=x^2-2x+3$ — это уравнение параболы. Коэффициент перед $x^2$ имеет знак плюс, значит, ветви параболы направлены вверх.<br />Чтобы найти количество корней уравнения, посчитаем дискриминант: $D=(-2)^2-4\\cdot1\\cdot3=4-12=-8 < 0$. Таким образом, уравнение не имеет корней, следовательно, парабола не пересекает ось $Ox$.<br />Поскольку ее ветви направлены вверх, то вся она целиком лежит в верхней полуплоскости (выше оси абсцисс). Это означает, что выражение $y(x) > 0$, то есть $x^2-2x+3 > 0$, а значит, и $x^2 > 2x-3$ для любого $x$.","Рассмотрим разность: $4x-4-x^2 < 0$. Временно поставим знак равенства и для удобства поменяем слагаемые местами: $-x^2+4x-4=0$.<br />Уравнение вида $y(x)=-x^2+4x-4$ — это уравнение параболы. Коэффициент перед $x^2$ имеет знак минус, значит, ветви параболы направлены вниз.<br />Чтобы найти количество корней уравнения, посчитаем дискриминант: $D=4^2-4\\cdot(-1)\\cdot(-4)=16-16=0$. Таким образом, уравнение имеет один корень, следовательно, парабола касается оси абсцисс $Ox$ в одной точке: $x=\\frac{-4}{2\\cdot(-1)}=2$, эта точка — корень уравнения.<br />Ветви параболы направлены вниз, значит, вся парабола, за исключением точки касания $x=2$ с осью абсцисс, лежит ниже оси абсцисс. Это означает, что выражение $y(x) < 0$ для любого $x$, кроме $x = 2$. Таким образом, $-x^2+4x-4 < 0$, а значит, и $4x-4 < x^2$ только при $x \\neq 2$, то есть не для всех $x$."],"answer":[3]},"image-76":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/v-ochkah-s-knigoi-kniga-tetrad-pishet-01-2.svg","width":"300"}},"hints":["Рассмотрите разность выражений и временно вместо знака неравенства поставьте знак равенства ($=$). Уравнение какой прямой вам это напоминает?","Во всех случаях это уравнение параболы. Определите, в какую сторону направлены ее ветви.","Найдите количество корней найденного вами квадратного уравнения. Это поможет понять, как расположена парабола на координатной плоскости."]},{"content":"Известно, что $a < b$. Выберите знаки так, чтобы получились верные неравенства:<br />а) $-13,3a$ [[fill_choice-834]] $-13,3b$;<br />б) $\\frac{a}{7}$ [[fill_choice-877]] $\\frac{b}{7}$;<br />в) $0,01a$ [[fill_choice-877]] $0,01b$;<br />г) $-\\frac{a}{4}$ [[fill_choice-834]] $-\\frac{b}{4}$.","widgets":{"fill_choice-834":{"type":"fill_choice","options":["$>$","$<$"],"answer":0},"fill_choice-877":{"type":"fill_choice","options":["$>$","$<$"],"answer":1}}},{"content":"Известно, что $c > d$. Соотнесите каждое неравенство со свойствами, на основании которых можно утверждать, что неравенство является верным.[[grouper-1049]]","widgets":{"grouper-1049":{"type":"grouper","labels":["Теорема об умножении или делении на число","Теорема об умножении на число <b>и</b> теорема о прибавлении числа"],"items":[["$-6c < -6d$","$\\frac{c}{3} > \\frac{d}{3}$"],["$2c+13 > 2d+13$","$0,02c-0,9 > 0,02d-0,9$","$1-c < 1-d$"],["$c+1 > d+1$"]]}},"hints":["Теорема о прибавлении числа: если $a < b$ и $c$ — любое число, то $a+c < b+c$.","Теорема об умножении на число: если $a < b$ и $c$ — положительное число, то $ac < bc$; если $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то $ac > bc$."]},{"content":"Измеряя длину $a$ и ширину $b$ прямоугольника (в миллиметрах), нашли, что $4,5 < a < 4,6$ и $6,3 < b < 6,4$. Оцените периметр $P$ и площадь $S$ данного прямоугольника.[[fill_choice_big-1311]][[image-125]]","widgets":{"fill_choice_big-1311":{"type":"fill_choice_big","options":["$21,6 < P < 22$ $мм$;<br />$28,35 < S < 29,44$ $мм^2$.","$18,2 < P < 25,4$ $мм$;<br />$20,7 < S < 40,32$ $мм^2$.","$10,8 < P < 12,7$ $мм$;<br />$20,25 < S < 40,96$ $см^2$.","$22 < P < 29,44$ $мм$;<br />$28,35 < S < 21,6$ $мм^2$."],"placeholder":0,"answer":0},"image-125":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/uchenik-01.svg","width":"300"}},"explanation":"Оценим периметр: $(4,5+6,3)\\cdot2 < (a+b)\\cdot2 < (4,6+6,4)\\cdot2$, то есть $21,6 < P < 22$ $мм$.<br />Оценим площадь: $4,5\\cdot6,3 < a\\cdot b < 4,6\\cdot6,4$, то есть $28,35 < S < 29,44$ $мм^2$.","hints":["Формула периметра прямоугольника: $P=(a+b)\\cdot2$.","Формула площади прямоугольника: $S=a\\cdot b$."]}],"mix":1}</textarea></pre></div>