ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Свойства числовых неравенств
На уроке Числовые неравенства мы научились сравнивать числа и выражения: определять, какое из них больше, какое меньше, а какие равны между собой. В этом уроке мы познакомимся со свойствами числовых неравенств. Применение этих свойств позволит легко и уверенно справляться со сложными задачами.
Симметричность знака неравенства
Если мы запишем любое неравенство, например $8>1$, и поднесем его к зеркалу, то мы увидим его отражение: $1<8$.
Числа поменялись местами, знак «перевернулся», а неравенство осталось верным.
Такое «зеркальное» свойство справедливо для любых чисел и выражений, оно кажется очевидным, но важно понимать, почему оно работает. Сформулируем данное свойство в виде теоремы и докажем ее.
Теорема
Если $a>b$, то $b<a$;
если $a<b$, то $b>a$.
Доказательство. Докажем первое утверждение: если $a>b$, то $b<a$. Так ли это? Пусть $a>b$, это означает, что разность $a-b$ — положительное число, то есть $a-b>0$ (почему это так, можно посмотреть в уроке Числовые неравенства).
Рассмотрим разность $b-a$. Поменяем слагаемые $b$ и $(-a)$ местами, получим, что $b-a=-a+b$. Вынесем знак минус за скобки: $b-a=-a+b=-(a-b)$.
По условию $a-b>0$, а значит, $-(a-b)<0$. Поскольку $b-a=-(a-b)$, то $b-a<0$. Мы получили, что разность $b-a$ — отрицательное число, то есть $b<a$. Что и требовалось доказать.
Второе утверждение (если $a<b$, то $b>a$) доказывается аналогично.
Задание
Докажите второе утверждение теоремы:
если $a<b$, то $b>a$.
Показать ответ
Скрыть
Пусть $a<b$, тогда $a-b<0$. Рассмотрим разность $a-b=-b+a=-(b-a)$. Мы знаем, что $a-b<0$, значит, и $-(b-a)<0$. Это возможно при $b-a>0$, откуда следует, что $b>a$. Что и требовалось доказать.
Переходное свойство
Иногда можно сравнить два числа, которые напрямую не связаны друг с другом. Например, если одно число меньше второго, а второе — меньше третьего, то логично, что и первое число меньше третьего.
Это важное свойство, которое позволяет «переходить» от одного сравнения к другому.
Теорема
Если $a<b$ и $b<c$, то $a<c$.
Если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$.
Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть $a<b$ и $b<c$. Мы хотим доказать, что $a<c$. Для этого покажем, что разность $a-c$ является отрицательным числом.
Рассмотрим выражение $a-c$. Прибавим к нему число $0$, которое можно представить в виде разности: $0=b-b$, и сгруппируем слагаемые: $$a-c=a-c+b-b=(a-b)+(b-c).$$ По условию $a<b$ и $b<c$, поэтому $a-b<0$ и $b-c<0$ соответственно. Таким образом, $(a-b)+(b-c)$ — это сумма отрицательных чисел, которая тоже является отрицательным числом. То есть $$a-c = (a-b)+(b-c) <0.$$ Следовательно, $a-c$ — отрицательное число, и значит, $a<c$. Что и требовалось доказать.
Второе утверждение доказывается аналогично.
Задание
Докажите второе утверждение теоремы:
если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$.
Показать ответ
Скрыть
Для того чтобы доказать, что $a>c$, покажем, что $a-c>0$. Из этой разности вычтем $b$ и прибавим к ней $b$, получим: $$a-c=a-c-b+b.$$ Сгруппируем слагаемые: $$a-c=(a-b)+(b-c).$$ По условию $a>b$ и $b>c$, значит, $a-b$ и $b-c$ — положительные числа. Их сумма также является положительным числом, то есть $(a-b)+(b-c)>0$. Следовательно, $a-c>0$. Что и требовалось доказать.
Прибавление числа
Следующее свойство показывает, что некоторые преобразования числовых неравенств не нарушают их истинности.
Теорема
Если $a<b$ и $c$ — любое число, то $a+c<b+c$.
Доказательство. Рассмотрим разность $(a+c)-(b+c)$ и раскроем скобки: $$(a+c)-(b+c)=a+\cancel{c}-b-\cancel{c}=a-b.$$ По условию $a<b$, значит, $a-b<0$. Следовательно, разность $(a+c)-(b+c)<0$. Таким образом, $a+c<b+c$. Что и требовалось доказать.
Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Заметьте, что число $c$ из теоремы может быть любым, в том числе отрицательным. Тогда утверждение: «Если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство», — тоже будет справедливым.
Умножение и деление на число
При умножении обеих частей числового неравенства на одно и то же число знак неравенства может как сохраниться, так и поменяться. Результат зависит от того, на какое число мы умножаем: положительное или отрицательное.
Данное свойство важно: оно позволяет упрощать сложные задачи. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема
Если $a<b$ и $c$ — положительное число, то $ac<bc$.
Если $a<b$ и $c$ — отрицательное число, то $ac>bc$.
Доказательство. Рассмотрим разность $ac-bc$, в которой вынесем множитель $c$ за скобки: $$ac-bc=c(a-b).$$ По условию $a<b$, значит, разность $a-b<0$, то есть является отрицательным числом.
Если $c>0$, то произведение $c(a-b)$ — это произведение положительного числа и отрицательного числа. Такое произведение является отрицательным, то есть $c(a-b)=ac-bc<0$. Следовательно, $ac<bc$.
Если $c<0$, то произведение $c(a-b)$ — это произведение двух отрицательных чисел, и оно является положительным. Таким образом, $c(a-b)=ac-bc>0$, откуда следует, что $ac>bc$. Что и требовалось доказать.
Задание
Оцените периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ $см$, если известно, что $a>37,8$ и $a<37,9$.
Посмотреть ответ
Скрыть
Периметр $P$ равностороннего треугольника со стороной $a$ $см$ вычисляется по формуле $$P=3a.$$ В условии задачи дано два неравенства: $$a>37,8\quad\text{и}\quad a<37,9.$$ Умножим обе части каждого из них на $3$: $$3a>3\cdot37,8\quad\text{и}\quad3a<3\cdot37,9.$$ Получим, что $$P>113,4\quad\text{и}\quad P<113,7.$$ Таким образом, периметр $P$ данного треугольника больше, чем $113,4$ $см$, и меньше, чем $113,7$ $см$.
Поскольку деление — это то же самое, что умножение на обратное число, то для деления выполняется такое же свойство.
Правило
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
При работе с делением важно понимать, как устроено сравнение обратных величин. Разобраться в ряде таких случаев нам поможет следствие из теоремы.
Следствие
Если $a$ и $b$ — положительные числа и $a<b$, то $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.
Доказательство. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, значит, их произведение $ab$ тоже является положительным числом. Согласно теореме, мы можем разделить обе части неравенства $a<b$ на $ab$, и знак неравенства при этом не изменится (потому что $ab>0$). Получим $$\frac{a}{ab}<\frac{b}{ab}.$$ Сократим дроби и получим $\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$, то есть $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$. Что и требовалось доказать.
Часто задаваемые вопросы
Представим, что у нас есть два отрицательных числа: $a<0$ и $b<0$. Любое отрицательное число можно записать как такое же положительное число, но со знаком минус. Например, $a=-\alpha$ и $b=-\beta$, где $\alpha$ и $\beta$ — положительные числа.
Тогда интересующую нас сумму $a+b$ можно записать в виде $$(-\alpha)+(-\beta)=-(\alpha+\beta).$$ Сумма положительных чисел $\alpha+\beta$ положительна, а со знаком минус — отрицательна. Таким образом, $a+b<0$.
Пусть число $a>0$, а число $b<0$. Число $b$ отрицательное и его можно записать через положительное число со знаком минус: $b=-\beta$, где $\beta>0$.
Рассмотрим интересующее нас произведение $$a\cdot b=a\cdot(-\beta)=-(a\cdot\beta).$$ Произведение положительных чисел $a$ и $\beta$ является положительным, а со знаком минус — отрицательным. Таким образом, подставляя вместо $-\beta$ число $b$, получаем, что $a\cdot b<0$.
«Минус на минус дает плюс» — это правило нужно запомнить.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти