Сложение и умножение числовых неравенств

Мы уже познакомились с основными свойствами числовых неравенств: узнали о «зеркальном» и переходном свойствах, выяснили, что верное неравенство останется верным, даже если к обеим его частям прибавить одно и то же число, даже если умножить или разделить обе части числового неравенства на одно и то же число (хотя в этом случае важно помнить, когда знак неравенства меняется на противоположный).

Изученные свойства помогут нам легко разобраться в том, как работает сложение и умножение числовых неравенств.

Сложение числовых неравенств

Неравенства можно складывать. Зачем это нужно? В основном эта операция будет помогать нам в упрощении различных задач.

Однажды мы научимся решать системы числовых неравенств с одной переменной, а сложение позволит исключить лишние члены неравенств, значительно облегчив нам задачу поиска неизвестной переменной.

Кроме того, иногда бывает полезно оценить сумму двух величин. Например, представьте, что вы копите на подарок. При этом вы откладываете деньги в разных местах: в копилке и в кошельке.

Предположим, что в копилке у вас накопилось больше $300$ рублей, а в кошельке — больше $200$ рублей. Обозначим количество рублей в копилке буквой $p$, а в кошельке — буквой $w$. Тогда верны неравенства: $p>300$ и $w>200$.

Чтобы узнать, сколько всего вы накопили денег на подарок, нужно почленно сложить эти два неравенства. Общая сумма, обозначим ее буквой $s$, равна сумме денег, лежащих в копилке и в кошельке, то есть $s=p+w$.

Получаем, что $s=p+w>300+200$, то есть $s>500$. Теперь вы знаете, что всего имеете больше $500$ рублей на подарок.

Поймем, что значит сложение числовых неравенств в общем смысле, сформулировав теорему и доказав ее.

Доказательство. Рассмотрим неравенство $a<b$. По одному из свойств числовых неравенств мы можем прибавить к обеим частям данного неравенства любое число, например $c$, и получить верное неравенство: $$a+c<b+c.$$ Теперь рассмотрим неравенство $c<d$ и аналогично прибавим к обеим его частям число $b$, получим $$b+c<b+d.$$ Сравним полученные неравенства: мы видим, что в каждом из них есть выражение $b+c$. В одном случае оно больше, а в другом — меньше. По переходному свойству числовых неравенств мы знаем, что из этих двух неравенств следует верное неравенство $$a+c<b+d.$$ Что и требовалось доказать.

Задание

Данная теорема справедлива и в случае почленного сложения более чем двух неравенств.

Докажите, что если $a<b$, $c<d$ и $f<g$, то $$a+c+f<b+d+g.$$

Показать ответ

Скрыть

Таким образом, если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

{"questions":[{"content":"Сложите почленно неравенства $13 > -6$ и $8>5$. Какое из неравенств ниже у вас получилось?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$21>-1$","$-1>21$","$5>-11$","$7>3$"],"explanations":["Складывая левую часть первого неравенства с левой частью второго, а правую — с правой, получаем $13+8 > -6+5$, то есть $21>-1$.","Это неравенство не может быть верным, потому что отрицательные числа всегда меньше положительных.","",""],"answer":[0]}},"hints":["Нужно сложить левую часть одного неравенство с левой частью второго, а правую — с правой."]},{"content":"Сложите почленно неравенства $-3,5 < -0,9$ и $-7,5<-2,1$. Какое из неравенств ниже у вас получилось?[[choice-16]]","widgets":{"choice-16":{"type":"choice","options":["$-3>-11$","$4>1,2$","$-4,4>-9,6$","$4>9,6$"],"explanations":["Складывая левую часть первого неравенства с левой частью второго, а правую — с правой, получаем $-3,5+(-7,5) < -0,9+(-2,1)$, то есть $-11<-3$ или $-3>-11$.","","","Это неравенство не может быть верным, поскольку $4<9,6$."],"answer":[0]}},"hints":["Нужно сложить левую часть одного неравенство с левой частью второго, а правую — с правой."]}]}

Умножение числовых неравенств

Как и сложение, умножение числовых неравенств обязательно пригодится нам в будущем. Оно необходимо, чтобы мы могли оценить любое произведение и частное.

Рассмотрим пример. Пусть есть числа $x$ и $y$, для которых верны неравенства $7<x<8$ и $13<y<14$. Оценим произведение $x\cdot y$.

Для этого почленно умножим данные неравенства: $$7\cdot13<x\cdot y<8\cdot14,$$ получим ответ: $91<xy<112$.

Сформулируем теорему и докажем ее.

Доказательство. Рассмотрим неравенство $a<b$. По свойству умножения числовых неравенств на число умножим обе части данного неравенства на положительное число $c$ и получим верное неравенство: $$ac<bc.$$ Аналогично рассмотрим неравенство $c<d$ и обе его части умножим на положительное число $b$, получим $$bc<bd.$$ Из полученных неравенств по переходному свойству следует, что $$ac<bd.$$ Что и требовалось доказать.

Данная теорема также справедлива и для почленного умножения более чем двух числовых неравенств, в которых все числа являются положительными.

{"questions":[{"instruction":"Выберите верный ответ","content":"Перемножьте почленно неравенства $6 > 4$ и $3 > 1$. [[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$18 > 4$","$24 > 3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Нужно умножить левую часть одного неравенство на левую часть второго, а правую часть — на правую."]},{"instruction":"Выберите верный ответ","content":"Перемножьте почленно неравенства $10 < 12$ и $\\frac{1}{5} < \\frac{1}{4}$.[[fill_choice_big-11]]","widgets":{"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$2 < 3$","$48 < 50$","$2,4 < 2,5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Нужно умножить левую часть одного неравенство на левую часть второго, а правую часть — на правую."]}]}

Следствие из теоремы об умножении

Как и для сложения, для умножения справедливо утверждение, что если почленно перемножить верные неравенства, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство.

Это приводит нас к еще одному утверждению, которое мы сформулируем в виде следствия.

Доказательство. Рассмотрим $n$ одинаковых неравенств: $$\underbrace{a < b,\ a < b\ \ldots\ a < b}_{n\ \text{раз}},$$ где $a$ и $b$ — положительные числа. По теореме об умножении числовых неравенств перемножим почленно два первых неравенства $a<b$ и $a<b$, получим $a\cdot a<b\cdot b$, то есть $a^2<b^2$.

Теперь снова применим теорему, умножив полученное неравенство на следующее $a<b$ из рассматриваемых $n$ неравенств. Получим $a^2\cdot a<b^2\cdot b$, то есть $a^3<b^3$.

И так далее повторим этот процесс $n$ раз. На каждом шаге мы будем умножать предыдущее неравенство на $a<b$. И на $n$-м шаге получим желаемое неравенство $a^n<b^n$. Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Пусть $a$ и $b$ — положительные числа, причем $a^2 > b^2$. Каким может быть число $k$, чтобы выражение $a^k > b^k$ было справедливым?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Число $k$ — любое число.","Число $k$ — любое натуральное число.","Любое натуральное число $k>2$."],"explanations":["Пусть $a=2$, а $b=1$. Тогда $a^2=2^2=4$ и $b^2=1^2=1$, то есть неравенство $a^2 > b^2$ верное, поскольку $4 > 1$.<br />Пусть $k$ — любое число, например $0$. Проверим, верно ли неравенство $2^0 > 1^0$. Получается, что $1 > 1$, но ведь $1 = 1$. Неравенство не выполняется, значит $k$ <b>не</b> может быть любым числом.","Поскольку из выражения $a^2 > b^2$ следует, что $a > b$, то по следствию из теоремы об умножении получим, что $a^k > b^k$, где $k$ — любое натуральное число.","Пусть $a=2$, а $b=1$. Тогда $a^2=2^2=4$ и $b^2=1^2=1$, то есть неравенство $a^2 > b^2$ верное, поскольку $4 > 1$.<br />Пусть $k=1$. Проверим, верно ли, что $2^1 > 1^1$. Получим $2 > 1$, это неравенство верное, значит $k$ не обязательно больше $2$."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["По условию $a^2 > b^2$. Вычтем из обеих частей этого неравенства $b^2$. Получим $a^2-b^2 > 0$.","Раскроем разность квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b) > 0$. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, то сумма $(a+b)$ тоже будет положительной. В таком случае, чтобы неравенство $(a-b)(a+b) > 0$ выполнялось, нужно чтобы множитель $(a-b)$ тоже был положительным.","Если $a-b > 0$, то $a > b$.","Мы получили, что $a > b$, и по условию задачи $a$ и $b$ — положительные числа. Поэтому согласно следствию из теоремы верно неравенство $a^n > b^n$, где $n$ — натуральное число.","Таким образом, $k=n$, то есть может являться любым натуральным числом."]}]}

Часто задаваемые вопросы