Решение линейных неравенств с помощью числовых промежутков

Мы уже знакомы с неравенствами и их графическим решением. Мы знаем, как решать неравенства с переменной, и чем различаются знаки неравенств. Теперь подробнее изучим решение систем неравенств с помощью числовых промежутков, а также подробно разберем пересечение и объединение множеств.

Базовые правила для решения неравенств

Прежде, чем приступать к решению неравенств с помощью числовых промежутков, вспомним три базовых правила для работы с такими выражениями.

• Мы можем перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив его знак. При этом новое неравенство будет равносильно данному.
• Можем умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число. Тогда полученное неравенство будет равносильно данному.
• Можем умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный, но оно так же будет равносильно данному.

Опираясь на полученные знания, решим неравенство.

$14+2x>44$

$2x>44-14$

$2x>30$

$x>15$

Итак, мы получили множество решений, в которые входят все числа больше $15$. Этот набор чисел называют числовым промежутком. Как обозначить его графически, разберем в следующем разделе.

{"questions":[{"content":"Числовой промежуток — это [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["набор чисел, который удовлетворяет неравенству","натуральный ряд чисел","все числа на промежутке $(-\\infty;+\\infty)$","значение переменной в неравенстве"],"answer":0}}}]}

Использование числовых промежутков при решении систем неравенств

С помощью систем неравенств мы будем решать такие выражения, для существования которых должны соблюдаться несколько условий.

Решить систему неравенств — это найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Рассмотрим решение системы неравенств с помощью числового промежутка. Для этого выполним задание.

Пример

Найдите область определения выражения $\sqrt{2x-1} — \sqrt{5-x}$.

В данном случае «найти область определения выражения» означает, что нужно найти такие значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Мы помним, что подкоренное значение не может быть отрицательным числом, оно должно быть только положительным или равным нулю.

Это значит, что одновременно $2x-1\geq0$ и $5-x\geq0$. Одновременное выполнение двух условий обозначает система. Значит, нам нужно решить систему неравенств.

$\begin{cases}2x-1\geq0\\5-x\geq0\end{cases}$

$\begin{cases}2x\geq1\\-x\geq-5\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq\frac{1}{2}\\x\geq5\end{cases}$

Два этих числовых промежутка будут включать в себя все числа, которые не меньше $\frac{1}{2}$ и не больше $5$. Только эти числа подходят и для первого, и для второго неравенства. То есть, множество должно удовлетворять неравенству $\frac{1}{2}\leq x\leq5$.

Поскольку неравенство было нестрогим, ответ записывают так: $\begin{bmatrix}\frac{1}{2};5\end{bmatrix}$. Читается это так: «промежуток от $\frac{1}{2}$ до $5$, включая $\frac{1}{2}$ и $5$».

Графически это будет выглядеть так:

Если бы в системе было строгое неравенство, точка, являющаяся границей его числового промежутка, на чертеже была бы «выколотой», то есть, незаполненной цветом. Если бы строгими были оба неравенства — «выколотыми» были бы обе точки.

Правила чтения числовых промежутков.

• Множество решений, удовлетворяющее системе, где оба неравенства нестрогие, записывается так: $\begin{bmatrix}2;7\end{bmatrix}$. Читается так: «промежуток от $2$ до $7$, включая $2$ и $7$».
• Множество решений, удовлетворяющее системе, где оба неравенства строгие, записывается так: $(1;8)$. Читается так: «промежуток от $1$ до $7$, но не включая $1$ и $7$».
• Множество решений, удовлетворяющее системе, где одно неравенство строгое, а другое — нет, записывается так: $(6;11]$. Читается так: «промежуток от $6$ до $11$, не включая $6$ и включая $11$».

{"questions":[{"content":"Решения неравенств отмечают на промежутке, включающем в себя числа[[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["от $(-\\infty)$ до $(+\\infty)$","от $(-\\infty)$ до $0$","от $0$ до $(+\\infty)$","от $0$ до $100$"],"answer":0}}}]}

Практика

Решим задания, чтобы закрепить полученные знания.

Задание № 1

Какой числовой промежуток соответствует условию неравенства? $$4(x-1,5)-1,2\geq6x-1$$

Показать решение

Скрыть

Раскроем скобки в левой части неравенства.

$4x-6-1,2\geq6x-1$

Перенесем в одну часть неравенства слагаемые с переменной, а в другую — слагаемые без переменной.

$4x-6x\geq6+1,2-1$

$-2x\geq6,2$

Разделим обе части уравнения на $-2$ и поменяем знак неравенства.

$x\leq-3,1$

Отметим решение на числовом промежутке. Поскольку точка $-3,1$ входит в множество решений неравенства, она будет заполнена цветом на чертеже. Штриховка косая, с левым наклоном, поскольку ведем ее слева направо.

Ответ: $(-\infty;-3,1\rbrack$.

{"questions":[{"content":"Какой числовой промежуток соответствует условию неравенства?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$(-\\infty;-3,1\\rbrack$","$(-\\infty;-3,1)$","$(-3,1;+\\infty)$","$\\lbrack-3,1;+\\infty)$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Задание № 2

Какой числовой промежуток соответствует условию неравенства? $$4(x+8)-7(x-1)<12$$

Показать решение

Скрыть

Раскроем скобки в левой части неравенства.

$4x+32-7x+7<12$

Перенесем в одну часть неравенства слагаемые с переменной, а в другую — слагаемые без переменной.

$4x-7x<-32-7+12$

$-3x<-27$

Разделим обе части уравнения на $-3$ и поменяем знак неравенства.

$x>9$

Отметим решение на числовом промежутке. Поскольку точка $9$ не включена в множество решений неравенства, она будет «выколотой» на чертеже (не заполненной цветом). Штриховка косая, с правым наклоном, поскольку ведем ее справа налево.

Ответ: $(9;+\infty)$.

{"questions":[{"content":"Какой числовой промежуток соответствует условию неравенства?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$(9;+\\infty)$","$\\lbrack9;+\\infty)$","$(-\\infty;9)$","$(-\\infty;9\\rbrack$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Часто задаваемые вопросы