Карточки
Тесты
Зави
Тест: 10.3.1
Операции над событиями. Вероятность объединения событий
В 8 классе вы познакомились с операциями над событиями и выучили правило сложения для несовместных событий. В этом уроке повторим операции «и», «или», «не» на поле исходов и выведем формулу вероятности объединения для любых двух событий — в том числе тех, которые могут произойти вместе.
Событие — это закрашенная часть поля исходов
Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока. В классе 60% учеников читают фантастику, а 50% — детективы. Вместе это 110%. Значит ли это, что каждый ученик читает хотя бы что-то из двух? И сколько учеников читают и то и другое?
Чтобы ответить, нужна модель. Нарисуем все исходы опыта клетками — это поле исходов. Событие — набор клеток, которые ему благоприятны; закрасим их. Если исходы равновозможны, вероятность события равна доле закрашенных клеток.
Бросают игральный кубик. Событие $A$ — «выпало число меньше 4», ему благоприятны 1, 2, 3. Событие $B$ — «выпало нечетное число», ему благоприятны 1, 3, 5. Закрасим клетки $A$ оранжевым, клетки $B$ — фиолетовым. Клетки 1 и 3 получают оба цвета, клетки 4 и 6 остаются пустыми.
Определение
Пересечение событий $A\cap B$ («$A$ и $B$») — событие, которое наступает, когда произошли оба события сразу.
Объединение событий $A\cup B$ («$A$ или $B$») — событие, которое наступает, когда произошло хотя бы одно из них.
Противоположное событие $\overline{A}$ («не $A$») наступает, когда $A$ не произошло; $P(\overline{A})=1-P(A)$.
Пример
Для кубика выше найдем исходы каждого события.
$A\cap B$: клетки двух цветов — 1 и 3. $A\cup B$: клетки хотя бы одного цвета — 1, 2, 3, 5 (общие 1 и 3 считаем по одному разу). $\overline{A}$: клетки без оранжевого — 4, 5, 6.
Событие «не произошло ни $A$, ни $B$» — это пустые клетки 4 и 6. Они лежат вне объединения, поэтому событие записывают как $\overline{A\cup B}$.
Ответ: $A\cap B$ — 1, 3; $A\cup B$ — 1, 2, 3, 5; $\overline{A}$ — 4, 5, 6; $\overline{A\cup B}$ — 4, 6.
Обратите внимание
«Ни $A$, ни $B$» и «не оба сразу» — разные события. «Не оба сразу» — это $\overline{A\cap B}$: на кубике ему благоприятны все клетки, кроме 1 и 3, то есть 2, 4, 5, 6. А «ни $A$, ни $B$» — только 4 и 6.
Почему нельзя записывать «ни $A$, ни $B$» как $\overline{A}\cup\overline{B}$ («не $A$ или не $B$»). Возьмем исход 2: $A$ произошло, $B$ не произошло. «Не $A$ или не $B$» для него истинно, потому что $B$ не произошло, а «ни $A$, ни $B$» ложно, потому что $A$ произошло.
Проверим на кубике: $\overline{A}$ — 4, 5, 6, а $\overline{B}$ — 2, 4, 6. Их объединение — 2, 4, 5, 6: те же клетки, что у «не оба сразу» $\overline{A\cap B}$. А событию «ни $A$, ни $B$» благоприятны только 4 и 6. Значит, $\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}$, и это другое событие.
Почему сумма считает общую часть дважды
Перейдем от клеток к людям. В группе 25 студентов: 12 играют в шахматы, 9 ходят в бассейн, 4 делают и то и другое. Сколько студентов заняты хотя бы чем-то одним?
Хочется сложить: $12+9=21$. Но четверо, кто ходит и туда и туда, попали и в число 12, и в число 9. На поле это видно: их клетки закрашены дважды — и оранжевым, и фиолетовым.
Пример
Студентов, которые заняты хотя бы чем-то одним: $12+9-4=17$. Каждый из 4 «общих» теперь посчитан один раз.
Ни шахматами, ни бассейном не заняты $25-17=8$ студентов.
Проверка по частям поля: только шахматы — $12-4=8$, только бассейн — $9-4=5$, оба — 4, ни одного — 8. Вместе $8+5+4+8=25$ — совпадает с числом студентов.
Ответ: 17 студентов; 8 не заняты ничем.
Ошибка
Как ошибаются. Решавр пишет $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ для любых событий: «или — значит, складываем».
Проверка на числах. Пусть $P(A)=0{,}7$ и $P(B)=0{,}6$. По его правилу $P(A\cup B)=1{,}3$ — больше единицы. Такой вероятности не бывает: доля поля не может превышать все поле.
Где ломается рассуждение. Сумма $P(A)+P(B)$ — это доля поля, где клетки пересечения посчитаны дважды. Правило из 8 класса верно только для несовместных событий, у которых общих клеток нет.
Лишний слой нужно убрать
Перенесем подсчет студентов на вероятности. Доля поля, закрашенная хотя бы одним цветом, — это $P(A\cup B)$. Сумма $P(A)+P(B)$ закрашивает пересечение дважды, поэтому превышает объединение ровно на долю пересечения $P(A\cap B)$. Уберем этот лишний слой.
Теорема
Для любых двух событий $A$ и $B$ вероятность объединения равна сумме их вероятностей без вероятности пересечения:
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
Почему формула верна для любых событий
Скрыть
Разобьем объединение $A\cup B$ на три непересекающиеся части: «только $A$», «только $B$», «$A$ и $B$». Область вне объединения в этот подсчет не входит. Тогда $P(A)=P(\text{только }A)+P(A\cap B)$ и $P(B)=P(\text{только }B)+P(A\cap B)$.
Объединение состоит из трех частей ровно по одному разу: $P(A\cup B)=P(\text{только }A)+P(\text{только }B)+P(A\cap B)$.
Сумма $P(A)+P(B)$ содержит $P(A\cap B)$ два раза — на один больше, чем нужно. Вычитаем его и получаем формулу. Здесь мы складываем вероятности несовместных частей, поэтому опираемся только на правило 8 класса.
Пример
Задача 1. Вероятность того, что в июльский день будет жарко, равна $0{,}7$, что будет гроза — $0{,}45$, что будет и жарко, и гроза — $0{,}3$. Найдите вероятность того, что день будет жарким или грозовым.
$P(A\cup B)=0{,}7+0{,}45-0{,}3=0{,}85$. Проверка смысла: ответ не меньше большей из вероятностей $0{,}7$ и не больше 1.
Задача 2. Известно $P(A)=0{,}65$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\cup B)=0{,}9$. Найдите $P(A\cap B)$.
Прочитаем формулу наоборот: пересечение — это превышение суммы над объединением. $P(A\cap B)=0{,}65+0{,}5-0{,}9=0{,}25$.
Ответ: $0{,}85$; $0{,}25$.
Проверьте формулу сами. В интерактиве вероятность $A$ равна $0{,}6$. Задайте вероятность $B$ первым ползунком, затем, не меняя ее, двигайте ползунок пересечения. Если поставить пересечение вне допустимых границ, модель покажет ближайшее допустимое значение и объяснит почему. При неизменных $P(A)$ и $P(B)$ чем больше пересечение, тем меньше объединение. Следите, как меняются закрашенная область и три строки: сумма $P(A)+P(B)$, вероятность объединения по формуле и вероятность «ни $A$, ни $B$».
Правило 8 класса — частный случай новой формулы
Что будет, если области $A$ и $B$ не пересекаются? Тогда общих клеток нет, ничего не закрашено дважды, и вычитать нечего: $P(A\cap B)=0$. Такие события называют несовместными, а события, у которых есть общие исходы, — совместными. Для несовместных формула превращается в знакомое правило сложения.
Правило
Если события $A$ и $B$ несовместны, то $A\cap B$ невозможно, $P(A\cap B)=0$ и
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
Пример
Бросают кубик. $A$ — «выпала 1», $B$ — «выпало четное число». Общих исходов нет, события несовместны.
$P(A\cup B)=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Проверка по клеткам: подходят 1, 2, 4, 6 — четыре клетки из шести.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
Перед тем как складывать, всегда задавайте вопрос: есть ли у событий общие исходы? Если есть хотя бы один — нужна общая формула.
Данные в процентах и таблица на четыре клетки
В задачах часто дают проценты. Процент — это та же доля поля: все поле — 100%. Удобно разложить поле на четыре клетки таблицы: «$A$ и $B$», «только $A$», «только $B$», «ни $A$, ни $B$». Запишем «только $A$» как $A\cap\overline{B}$ (произошло $A$ и не произошло $B$), а «только $B$» — как $\overline{A}\cap B$.
Пример
В поселке у 64% семей есть собака, у 30% — кошка, у 18% — и собака, и кошка. Какой процент семей не держит ни собаки, ни кошки?
Хотя бы одно животное: $64+30-18=76$ (%). Ни собаки, ни кошки: $100-76=24$ (%).
Заполним таблицу: только собака — $64-18=46$, только кошка — $30-18=12$, обе — 18, ни одной — 24. Сумма $46+12+18+24=100$ — проверка сошлась.
Ответ: 24%.
Вернемся к вопросу из начала. Фантастику читают 60%, детективы — 50%. Объединение не может быть больше 100%, поэтому по формуле $0{,}6+0{,}5-P(A\cap B)\le 1$, то есть $P(A\cap B)\ge 0{,}1$ — не менее 10%.
Значит, хотя бы 10% учеников читают и то и другое. Каждый ученик читает хотя бы один из двух жанров тогда и только тогда, когда оба жанра читают ровно 10% учеников. При этом ровно один жанр читают 90%. Если общих читателей больше, найдутся ученики, которые не читают ни того, ни другого. Из одних этих данных ответ «все читают» не следует.
Итак, и то и другое читают от 10% до 50% учеников: больше 50% быть не может, потому что общая часть не превышает меньшего события.
Правило
Общая часть не больше каждого из событий, а пустая часть поля неотрицательна: объединение не больше 1. Поэтому пересечение лежит между двумя границами:
Нижняя граница следует из «объединение не больше 1» и работает, когда сумма больше 1; верхняя — потому что общая часть входит в каждое событие.
$$\max(0;\,P(A)+P(B)-1)\le P(A\cap B)\le\min(P(A);\,P(B))$$
Повышенная сложность: три события
Скрыть
Для трех событий слоев больше. Сумма $P(A)+P(B)+P(C)$ считает попарные пересечения дважды — их вычитают ($A\cap B$, $A\cap C$, $B\cap C$). Но тогда клетки, где пересекаются все три области ($A\cap B\cap C$), сначала посчитаны три раза, а потом три раза вычтены — их добавляют обратно:
Проверка на кубике: $A$ — 1, 2, 3; $B$ — 2, 4, 6; $C$ — 3, 6. По клеткам объединение — 1, 2, 3, 4, 6, пять клеток. По формуле: $3+3+2-1-1-1+0=5$ клеток.
Вывод
Формула вероятности объединения нужна в любой задаче со словами «хотя бы одно», «или», «ни …, ни …». Она же помогает найти пересечение, если известны остальные три величины, и оценить пересечение снизу.
Чтобы вспомнить главное, представьте поле, где события закрашены двумя цветами.
В следующем уроке поле начнет сужаться: узнаем, как меняется вероятность, когда известно, что одно событие уже произошло.
Часто задаваемые вопросы
Вычитается доля клеток, закрашенных дважды, — это и есть $P(A\cap B)$. Из одних $P(A)$ и $P(B)$ нельзя найти общую часть. Например, при $P(A)=P(B)=0{,}5$ события могут совпадать или не иметь общих исходов; пересечение тогда равно $0{,}5$ или $0$, а произведение в обоих случаях равно $0{,}25$. В общем случае пересечение дают в условии или находят по таблице.
Да. Для них $P(A\cap B)=0$, и формула сама превращается в правило сложения. Поэтому общую формулу можно применять всегда, а короткую — только когда общих исходов точно нет.
Вероятность объединения не меньше большей из $P(A)$ и $P(B)$ и не больше 1. Вероятность пересечения не больше меньшей из них и не меньше $P(A)+P(B)-1$. Если ответ выходит за эти границы, где-то ошибка.
«Ни $A$, ни $B$» — не произошло ни одно событие: это $\overline{A\cup B}$, пустые клетки поля. «Не оба сразу» — $\overline{A\cap B}$: подходят все клетки, кроме двухцветных. Событие «ни $A$, ни $B$» всегда содержится в событии «не оба сразу»; второе дополнительно включает исходы, в которых произошло ровно одно из событий. Если $A=B$, эти два события совпадают.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий