Тест: Дисперсия числового набора

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Отклонения значений ряда от среднего равны $-3$, $-1$, $0$, $1$, $3$. Найдите дисперсию ряда. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Квадраты отклонений: $9$, $1$, $0$, $1$, $9$.","Среднее квадратов: $20 : 5 = 4$. Ответ: $4$."],"step":1},{"id":"1","content":"Отклонения значений ряда от среднего равны $-2$, $-2$, $1$, $3$. Найдите дисперсию ряда. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["4,5","4.5"]}},"hints":["Квадраты отклонений: $4$, $4$, $1$, $9$.","Среднее квадратов: $18 : 4 = 4{,}5$. Ответ: $4{,}5$."],"step":1},{"id":"2","content":"Дисперсия ряда $4$, $6$, $8$, $10$ равна $5$. К каждому значению прибавили $20$. Чему равна дисперсия нового ряда? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Среднее сдвигается на столько же.","Отклонения от среднего не меняются, значит, дисперсия тоже.","Ответ: $5$."],"step":1},{"id":"2","content":"Дисперсия ряда $2$, $3$, $3$, $4$ равна $0{,}5$. От каждого значения вычли $1$. Чему равна дисперсия нового ряда? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,5","0.5"]}},"hints":["Среднее сдвигается на столько же.","Отклонения от среднего не меняются, значит, дисперсия тоже.","Ответ: $0{,}5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Учебные данные (баллы за задание): значение $2$ встречается $1$ раз; значение $5$ встречается $2$ раза; значение $8$ встречается $1$ раз. Найдите дисперсию. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["4,5","4.5"]}},"hints":["Всего значений: 4. Среднее: $5$.","Квадраты отклонений с учетом частот: $9\\cdot 1$, $0\\cdot 2$, $9\\cdot 1$.","Среднее: $18 : 4 = 4{,}5$. Ответ: $4{,}5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Учебные данные (число решенных задач): значение $2$ встречается $1$ раз; значение $4$ встречается $3$ раза; значение $6$ встречается $1$ раз. Найдите дисперсию. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["1,6","1.6"]}},"hints":["Всего значений: 5. Среднее: $4$.","Квадраты отклонений с учетом частот: $4\\cdot 1$, $0\\cdot 3$, $4\\cdot 1$.","Среднее: $8 : 5 = 1{,}6$. Ответ: $1{,}6$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сумма квадратов отклонений $4$ значений ряда от их среднего равна $36$. Дисперсия ряда равна [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$36$","$0$","$9$","$18$"],"answer":2}},"hints":["Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений: сумму квадратов делят на число значений.","$36 : 4 = 9$. Ответ: $9$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сумма квадратов отклонений $6$ значений ряда от их среднего равна $42$. Дисперсия ряда равна [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$21$","$7$","$0$","$42$"],"answer":1}},"hints":["Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений: сумму квадратов делят на число значений.","$42 : 6 = 7$. Ответ: $7$."],"step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите ряд и его дисперсию. Одно число лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$5$, $5$, $5$, $5$","$4$, $6$, $4$, $6$","$3$, $7$, $3$, $7$","$1$, $9$, $1$, $9$"],"items":["$0$","$1$","$4$","$16$","$2$"]}},"instruction":"Соотнесите ряд и дисперсию","hints":["Среднее каждого ряда — посередине между двумя его значениями: отклонения равны $\\pm d$.","Квадрат каждого отклонения равен $d^2$, поэтому $D = d^2$: $0$, $1$, $4$, $16$.","Число $2$ — среднее модулей отклонений одного из рядов, а не среднее квадратов: оно лишнее."],"step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите ряд и его дисперсию. Одно число лишнее.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$10$, $10$, $10$, $10$","$9$, $11$, $9$, $11$","$8$, $12$, $8$, $12$","$7$, $13$, $7$, $13$"],"items":["$0$","$1$","$4$","$9$","$3$"]}},"instruction":"Соотнесите ряд и дисперсию","hints":["Среднее каждого ряда — посередине между двумя его значениями: отклонения равны $\\pm d$.","Квадрат каждого отклонения равен $d^2$, поэтому $D = d^2$: $0$, $1$, $4$, $9$.","Число $3$ — среднее модулей отклонений одного из рядов, а не среднее квадратов: оно лишнее."],"step":1},{"id":"6","content":"Ряд A: $10$, $12$, $15$, $18$, $20$. Ряд B: $10$, $14$, $15$, $16$, $20$. Среднее и размах у рядов равны. Какой ряд разбросаннее?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Одинаково: размах и среднее равны","Ряд B: у него больше сумма модулей отклонений","Ряд B: у него дисперсия больше","Ряд A: у него дисперсия больше"],"explanations":["Размах и среднее не учитывают положение внутренних значений; дисперсия — учитывает.","Сумма модулей отклонений у ряда B тоже меньше: он ближе к среднему, и дисперсия у него меньше.","Перепутали: чем больше дисперсия, тем больше разброс; больше она у ряда A.",""],"answer":[3]}},"hints":["Дисперсия A: $13{,}6$.","Дисперсия B: $10{,}4$.","Больше дисперсия у ряда A: разброс больше у него."],"step":1},{"id":"6","content":"Ряд A: $5$, $9$, $10$, $11$, $15$. Ряд B: $5$, $5$, $10$, $15$, $15$. Среднее и размах у рядов равны. Какой ряд разбросаннее?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ряд A: у него дисперсия больше","Ряд B: у него дисперсия больше","Одинаково: размах и среднее равны","Ряд A: у него больше сумма модулей отклонений"],"explanations":["Перепутали: чем больше дисперсия, тем больше разброс; больше она у ряда B.","","Размах и среднее не учитывают положение внутренних значений; дисперсия — учитывает.","Сумма модулей отклонений у ряда A тоже меньше: он ближе к среднему, и дисперсия у него меньше."],"answer":[1]}},"hints":["Дисперсия A: $10{,}4$.","Дисперсия B: $20$.","Больше дисперсия у ряда B: разброс больше у него."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр находит дисперсию ряда $3$, $4$, $7$, $10$, $11$ (среднее $7$). Он складывает модули отклонений: $4 + 3 + 0 + 3 + 4 = 14$, делит на $5$ и получает $2{,}8$. Верна ли дисперсия $2{,}8$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нет: нужно брать квадраты отклонений, дисперсия равна $10$","Нет: нужно сложить сами отклонения, выйдет $0$","Нет: нужно поделить $14$ на $4$, получится $3{,}5$","Да: модуль отклонения — то же, что его квадрат"],"explanations":["","Сумма отклонений даст $0$; дисперсию считают по квадратам.","Дело не в делителе: сначала нужно возвести отклонения в квадрат.","Модуль $4$ и квадрат $16$ — разные числа."],"answer":[0]}},"hints":["Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений, а не модулей.","Квадраты: $16$, $9$, $0$, $9$, $16$; среднее $50 : 5 = 10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр находит дисперсию ряда $3$, $5$, $9$, $11$ (среднее $7$). Отклонения: $-4$, $-2$, $2$, $4$. Он складывает их модули: $4 + 2 + 2 + 4 = 12$, делит на $4$ и получает $3$. Верна ли дисперсия $3$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Нет: нужно сложить сами отклонения, выйдет $0$","Нет: нужно поделить $12$ на $3$, получится $4$","Да: модуль отклонения — то же, что его квадрат","Нет: нужно брать квадраты отклонений, дисперсия равна $10$"],"explanations":["Сумма отклонений всегда $0$; дисперсию считают по квадратам.","Дело не в делителе: сначала нужно возвести отклонения в квадрат.","Модуль $4$ и квадрат $16$ — разные числа.",""],"answer":[3]}},"hints":["Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений, а не модулей.","Квадраты: $16$, $4$, $4$, $16$, сумма $40$; среднее $40 : 4 = 10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр считает дисперсию ряда $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ (среднее $8$). Сумма квадратов отклонений равна $40$. Значение $8$ совпадает со средним, его квадрат равен $0$, и Решавр его не считает: делит $40$ на $4$ и получает $10$. Верно ли?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Нет: делить нужно на среднее, на $8$","Нет: значение $8$ тоже входит в ряд, делят на все $5$ значений; дисперсия равна $8$","Нет: делить нужно на $2$, на число крайних значений","Да: нулевой квадрат ничего не добавляет, его можно не считать"],"explanations":["Среднее ряда не участвует в делении: его уже вычли в отклонениях.","","Деление идет на количество всех значений ряда, а не крайних.","Значение $8$ — одно из пяти значений ряда; делят на все $5$: $40 : 5 = 8$."],"answer":[1]}},"hints":["Значение $8$ — одно из пяти значений ряда, даже если его квадрат равен $0$.","Делят на все $5$ значений: $40 : 5 = 8$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр считает дисперсию ряда $1$, $5$, $6$, $7$, $11$ (среднее $6$). Сумма квадратов отклонений равна $52$. Значение $6$ совпадает со средним, его квадрат равен $0$, и Решавр его не считает: делит $52$ на $4$ и получает $13$. Верно ли?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Да: нулевой квадрат ничего не добавляет, его можно не считать","Нет: делить нужно на размах, на $10$","Нет: значение $6$ тоже входит в ряд, делят на все $5$ значений; дисперсия равна $10{,}4$","Нет: делить нужно на среднее, на $6$"],"explanations":["Значение $6$ — одно из пяти значений ряда; делят на все $5$: $52 : 5 = 10{,}4$.","Размах в формуле дисперсии не участвует: делят на количество значений.","","Среднее уже вычли в отклонениях; делят на количество значений."],"answer":[2]}},"hints":["Значение $6$ — одно из пяти значений ряда, даже если его квадрат равен $0$.","Делят на все $5$ значений: $52 : 5 = 10{,}4$."],"step":1},{"id":"9","content":"Ряд состоит из двух значений: $10$ и $x$, где $x > 10$. Дисперсия ряда равна $4$. Найдите $x$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Среднее: $(10 + x) : 2$; отклонения равны по модулю: каждое равно половине разности $x-10$.","Дисперсия равна квадрату отклонения: $4 = d^2$, значит, $d = 2$ и $x-10 = 4$.","Ответ: $x = 14$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Ряд состоит из двух значений: $8$ и $x$, где $x > 8$. Дисперсия ряда равна $25$. Найдите $x$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Среднее: $(8 + x) : 2$; отклонения равны по модулю: каждое равно половине разности $x-8$.","Дисперсия равна квадрату отклонения: $25 = d^2$, значит, $d = 5$ и $x-8 = 10$.","Ответ: $x = 18$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Дисперсия ряда $4$, $6$, $8$, $10$ равна $5$. Каждое значение увеличили в $3$ раза, а затем к каждому прибавили $5$. Чему равна дисперсия нового ряда? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["Сдвиг дисперсию не меняет, значит, важно только умножение.","Отклонения умножаются на $3$, квадраты отклонений — на $3^2 = 9$.","$5 \\cdot 9 = 45$. Ответ: $45$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Дисперсия ряда $2$, $3$, $3$, $4$ равна $0{,}5$. Каждое значение увеличили в $4$ раза, а затем из каждого вычли $1$. Чему равна дисперсия нового ряда? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Сдвиг дисперсию не меняет, значит, важно только умножение.","Отклонения умножаются на $4$, квадраты отклонений — на $4^2 = 16$.","$0{,}5 \\cdot 16 = 8$. Ответ: $8$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>