8 класс Вероятность и статистика Рассеивание данных

Стандартное отклонение числового набора

Содержание

В уроке «Дисперсия числового набора» вы научились находить дисперсию — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего. У нее есть неудобство: она измеряется не в тех единицах, что данные. В этом уроке вы узнаете, что такое стандартное отклонение, как его вычислить по дисперсии и по ряду, как понимать это число и как оно меняется при переводе единиц.

Дисперсия отвечает в квадратных минутах

Вернемся к двум маршрутам из урока «Разброс: наибольшее, наименьшее, размах». Время в пути за пять дней: по маршруту A — $18$, $30$, $22$, $35$, $20$ мин, по маршруту B — $24$, $26$, $25$, $25$, $25$ мин. Среднее у обоих маршрутов $25$ мин. В прошлом уроке нашли дисперсии: $D_A = 41{,}6$ мин$^2$ и $D_B = 0{,}4$ мин$^2$.

Хочется описать надежность маршрута одним числом, которое можно сказать словами: «время обычно отличается от $25$ минут примерно на столько-то минут». Дисперсия для этого не годится. Фраза «отличается на $41{,}6$ квадратной минуты» не имеет смысла: к минутам нельзя прибавить квадратные минуты, как к метрам нельзя прибавить квадратные метры.

Почему так вышло, видно на стрелках. Каждое отклонение — стрелка от опоры, то есть от среднего, и ее длина измеряется в минутах. Чтобы стрелки вправо и влево не гасили друг друга, на каждой стрелке построили квадрат. Дисперсия — средняя площадь этих квадратов, а площадь измеряется в квадратных единицах.

Квадраты на стрелках маршрута A (49, 25, 9, 25, 100) в среднем дают площадь 41,6 мин², а сторона такого квадрата — стандартное отклонение σ ≈ 6,4 мин, длина в минутах — Средний квадрат маршрута A имеет площадь $41{,}6$ мин$^2$, а его сторона — около $6{,}4$ мин: это уже длина стрелки

Выход подсказывает сам квадрат. Если известна площадь квадрата, его сторону находят квадратным корнем, и сторона измеряется уже в минутах. У квадрата площадью $41{,}6$ мин$^2$ сторона около $6{,}4$ мин — это длина типичной стрелки маршрута A.

{"questions":[{"content":"Время в пути записано в минутах. В каких единицах измеряются дисперсия и стандартное отклонение этого ряда?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Дисперсия — в $\\text{мин}^2$, стандартное отклонение — в минутах","Дисперсия — в минутах, стандартное отклонение — в $\\text{мин}^2$","И то и другое — в минутах","Обе величины не имеют единиц"],"explanations":["","Перепутаны: корень возвращает единицы данных, а не возводит их в квадрат.","Дисперсия считается по квадратам отклонений, поэтому ее единицы тоже в квадрате.","У обеих есть единицы: они выражают расстояния и площади в единицах данных."],"answer":[0]}},"hints":["Дисперсия — среднее квадратов отклонений: единицы возводятся в квадрат, $\\text{мин}^2$.","Стандартное отклонение — корень из дисперсии: единицы снова минуты."],"step":1}],"mix":1}

Сторона среднего квадрата и есть стандартное отклонение

Определение

Стандартное отклонение числового набора — квадратный корень из дисперсии. Его обозначают греческой буквой $\sigma$ («сигма»):

$$\sigma = \sqrt{D}$$

Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и данные.

Чтобы найти $\sigma$ по ряду, проходят весь путь от стрелок к квадратам и обратно к стороне: среднее → отклонения → квадраты отклонений → дисперсия → корень. Первые четыре шага знакомы по прошлому уроку, новый — только последний. Иксератопс записал вычисления для ряда $2$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $7$, $9$ в таблицу. Среднее ряда: $40 : 8 = 5$.

Значение	Отклонение (стрелка)	Квадрат отклонения
$2$	$-3$	$9$
$4$	$-1$	$1$
$4$	$-1$	$1$
$4$	$-1$	$1$
$5$	$0$	$0$
$5$	$0$	$0$
$7$	$2$	$4$
$9$	$4$	$16$
Сумма $40$	$0$	$32$

Пример 1

Задача. Найдите стандартное отклонение ряда $2$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $7$, $9$.

Решение. Среднее равно $40 : 8 = 5$. Сумма отклонений $0$ — проверка пройдена. Сумма квадратов отклонений по таблице равна $32$, значит, $D = 32 : 8 = 4$. Стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{4} = 2$, так как $2^2 = 4$.

Проверим смысл: значения отходят от среднего на $0$, $1$, $2$, $3$ и $4$ единицы, и типичная стрелка длиной $2$ лежит среди этих длин.

Ответ: $2$.

Чаще дисперсия не равна квадрату целого числа. Тогда корень находят подбором до десятых или на калькуляторе и пишут знак «≈».

Пример 2

Задача. Дисперсия времени в пути по маршруту A равна $41{,}6$ мин$^2$. Найдите стандартное отклонение и округлите до десятых.

Решение. $\sigma = \sqrt{41{,}6}$. Подберем целые: $6^2 = 36$, $7^2 = 49$, значит, $\sigma$ между $6$ и $7$. Подберем десятые: $6{,}4^2 = 40{,}96$, $6{,}5^2 = 42{,}25$, значит, $\sigma$ между $6{,}4$ и $6{,}5$. Чтобы округлить, проверим середину: $6{,}45^2 = 41{,}6025$ — это больше $41{,}6$, поэтому $\sigma$ меньше $6{,}45$ и округляется до $6{,}4$. Калькулятор дает то же: $\sqrt{41{,}6} = 6{,}449\ldots$

Ответ: $\sigma \approx 6{,}4$ мин.

Ошибка

Решавр нашел дисперсию маршрута A и записал: «стандартное отклонение равно $41{,}6$ мин». Корень он не извлек.

Проверка на числах. Все значения маршрута A лежат от $18$ до $35$ мин, самая длинная стрелка — $35-25 = 10$ мин. Типичная стрелка длиной $41{,}6$ мин в четыре с лишним раза длиннее самой длинной — так не бывает: если отложить ее от среднего, она уйдет до $66{,}6$ мин, далеко за все данные.

Где сломалось рассуждение. Дисперсия — площадь среднего квадрата, а не его сторона. Последний шаг, корень, пропущен. Подсказывают и единицы: у $D$ — мин$^2$, у $\sigma$ — минуты.

Ось 10–70 минут: скобка σ ≈ 6,4 мин от среднего 25 помещается среди данных 18–35, а скобка 41,6 мин уходит до 66,6, дальше всех данных, потому что 41,6 — площадь, а не длина — Скобка длиной $41{,}6$ мин уходит далеко за все значения маршрута: это площадь, а не длина стрелки. Верная скобка — $6{,}4$ мин

Интересный факт: откуда название

Скрыть

Название «стандартное отклонение» (по-английски standard deviation) предложил английский математик Карл Пирсон. В печати оно появилось в его статье 1894 года, там же Пирсон обозначил эту величину буквой $\sigma$. До этого ту же величину называли по-разному, например «средней квадратической ошибкой» (так ее называл еще Гаусс).

{"questions":[{"content":"Дисперсия роста учеников равна $25$ см$^2$. Решавр заявил: «Стандартное отклонение равно $25$ см». В чем его ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: в сантиметрах $D$ и $\\sigma$ совпадают","Нужно извлечь корень: стандартное отклонение равно $5$ см","Нужно разделить на $2$: получится $12{,}5$ см","Нужно возвести в квадрат: получится $625$"],"explanations":["$D$ в см$^2$ и $\\sigma$ в см — разные величины, они не совпадают даже по единицам.","","Стандартное отклонение — это корень, а не половина.","$D$ уже площадь: возведя ее в квадрат, получим $625$ см$^4$ — еще дальше от стороны. Нужен корень: сторона квадрата площадью $25$ равна $5$."],"answer":[1]}},"hints":["$\\sigma = \\sqrt{D}$, а не $D$.","$\\sqrt{25} = 5$, поэтому $\\sigma = 5$ см."],"step":1},{"content":"Для маршрута B дисперсия времени в пути равна $0{,}4$ мин$^2$. Найдите стандартное отклонение. Ответ округлите до десятых. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,6","0.6"]}},"hints":["$\\sigma = \\sqrt{0{,}4}$.","Подбор: $0{,}6^2 = 0{,}36$, $0{,}7^2 = 0{,}49$; середина: $0{,}65^2 = 0{,}4225 > 0{,}4$, значит, $\\sqrt{0{,}4} \\approx 0{,}6$.","$\\sigma \\approx 0{,}6$ мин. Ответ: $0{,}6$."],"step":1}],"mix":1}

Стандартное отклонение — длина типичной стрелки

Стандартное отклонение — сторона среднего квадрата, то есть длина типичной стрелки. Поэтому его читают так: значения ряда обычно отходят от среднего примерно на $\sigma$ — одни ближе, другие дальше.

Отложим $\sigma$ от среднего в обе стороны. Для маршрута A получится полоса от $25-6{,}4 = 18{,}6$ до $25 + 6{,}4 = 31{,}4$ мин: в нее попали $20$, $22$ и $30$ мин, а $18$ и $35$ мин лежат за ее краями. Для маршрута B полоса идет от $24{,}4$ до $25{,}6$ мин: в ней три значения по $25$ мин, а $24$ и $26$ мин — чуть снаружи.

Полоса «среднее ± σ» на одной шкале: у маршрута A шириной от 18,6 до 31,4 и σ ≈ 6,4 минуты, у маршрута B узкая от 24,4 до 25,6 и σ ≈ 0,6; в обеих полосах по 3 значения из 5 — Полоса «среднее $\pm\, \sigma$»: у маршрута A она шириной почти $13$ минут, у маршрута B — немногим больше минуты

Правило

Чем больше стандартное отклонение, тем дальше в среднем значения от среднего арифметического, то есть тем больше разброс.

$$\sigma \ge 0$$

Стандартное отклонение равно $0$ только тогда, когда все значения ряда одинаковые.

Почему это верно: если все значения равны среднему, стрелок нет, все квадраты нулевые, $D = 0$ и $\sigma = 0$. Если хотя бы одно значение отличается от среднего, у него есть стрелка и квадрат с положительной площадью, поэтому $D > 0$ и $\sigma > 0$.

Почему σ не меньше среднего расстояния до среднего

Скрыть

У маршрута A стрелки имеют длины $7$, $5$, $3$, $10$ и $5$ мин, их среднее $30 : 5 = 6$ мин, а $\sigma \approx 6{,}4$ мин. Разница возникает из-за квадратов: стрелка длиной $10$ дает квадрат площадью $100$, а вдвое более короткая стрелка $5$ — только $25$. Квадраты сильнее учитывают длинные стрелки, поэтому $\sigma$ никогда не бывает меньше среднего расстояния до среднего. Это разные меры, и называть $\sigma$ «средним отклонением» неверно.

Ошибка

Решавр сравнил два ряда: C — $29$, $31$, $29$, $31$ и E — $6$, $14$, $6$, $14$. Он нашел $\sigma_C = 1$ и $\sigma_E = 4$ и решил: «у E стандартное отклонение больше, значит, и значения у E больше».

Проверка на числах. Среднее ряда C равно $30$, ряда E — $10$. Все значения E меньше любого значения C, хотя $\sigma_E$ больше.

Где сломалось рассуждение. $\sigma$ — длина стрелок, а не место опоры. Если ко всем значениям ряда прибавить одно и то же число, опора сдвинется, а стрелки останутся прежними: как и дисперсия, $\sigma$ при сдвиге не меняется. Где лежат значения, показывает среднее, а насколько они разбросаны — $\sigma$.

Ряд E со средним 10 и σ = 4 и ряд C со средним 30 и σ = 1 на одной оси 0–35: широкая полоса E лежит левее узкой полосы C, σ говорит о ширине разброса, а не о том, где лежат значения — Полоса ряда E шире, но лежит левее: $\sigma$ говорит о разбросе, а не о величине значений

{"questions":[{"content":"Найдите стандартное отклонение ряда $5$, $5$, $5$, $5$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["Среднее равно $5$, все отклонения равны $0$.","$D = 0$, поэтому $\\sigma = \\sqrt{0} = 0$. Ответ: $0$."],"step":1},{"content":"Для ряда A среднее равно $20$, $\\sigma = 1$; для ряда B среднее равно $10$, $\\sigma = 3$. Решавр считает, что у B среднее больше, ведь у него больше $\\sigma$. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Среднее и разброс у рядов равны","Среднее и разброс больше у A","Среднее больше у A, а разброс больше у B","Среднее больше у B: $\\sigma$ у него больше"],"explanations":["Значения заданы разные: $20$ и $10$ для средних, $1$ и $3$ для $\\sigma$.","Разброс больше у B: у него $\\sigma = 3$, у A всего $1$.","","Стандартное отклонение показывает разброс, а не положение среднего."],"answer":[2]}},"hints":["Среднее и $\\sigma$ — разные величины.","Среднее у A больше ($20 > 10$), разброс больше у B ($3 > 1$)."],"step":1}],"mix":1}

При переводе единиц стрелки и квадраты растут по-разному

Одни и те же данные можно записать в разных единицах: время — в минутах или в секундах, рост — в сантиметрах или в миллиметрах. Посмотрим, что при этом происходит со стрелками и квадратами.

Пример 3

Задача. Рост пяти учеников (учебные данные): $154$, $158$, $160$, $162$, $166$ см. Найдите дисперсию и стандартное отклонение в сантиметрах и в миллиметрах.

Решение. Среднее: $800 : 5 = 160$ см. Отклонения: $-6$, $-2$, $0$, $2$, $6$ см; их квадраты: $36$, $4$, $0$, $4$, $36$. $D = 80 : 5 = 16$ см$^2$, $\sigma = \sqrt{16} = 4$ см.

В миллиметрах каждое значение и каждая стрелка в $10$ раз длиннее: $-60$, $-20$, $0$, $20$, $60$ мм. Квадраты в $10^2 = 100$ раз больше: $3600$, $400$, $0$, $400$, $3600$. $D = 8000 : 5 = 1600$ мм$^2$, $\sigma = \sqrt{1600} = 40$ мм.

Ответ: $D = 16$ см$^2$, $\sigma = 4$ см; $D = 1600$ мм$^2$, $\sigma = 40$ мм.

Правило

Если все значения ряда умножить на положительное число $k$, например перевести в другие единицы, то стандартное отклонение умножится на $k$, а дисперсия — на $k^2$:

$$\sigma \to k \cdot \sigma, \qquad D \to k^2 \cdot D$$

Почему это верно: каждая стрелка становится в $k$ раз длиннее, площадь квадрата на ней — в $k^2$ раз больше, значит, и средняя площадь $D$ растет в $k^2$ раз. Сторона среднего квадрата при этом растет в $k$ раз. В прошлом уроке вы видели частный случай: все значения умножили на $2$ — дисперсия выросла в $4$ раза.

Для маршрута A в секундах ($k = 60$) дисперсия равна $41{,}6 \cdot 3600 = 149\,760$ с$^2$. Число огромное, хотя разброс времени тот же. А стандартное отклонение просто выросло в $60$ раз: это те же «около $6{,}4$ минуты», записанные в секундах.

so-edinicy

Связь работает и в обратную сторону: если сжать все стрелки вдвое, не трогая среднее, $\sigma$ станет вдвое меньше, а $D$ — в $4$ раза меньше. Для маршрута A это ряд $21{,}5$; $27{,}5$; $23{,}5$; $30$; $22{,}5$ мин: среднее по-прежнему $25$ мин, $D = 10{,}4$ мин$^2$, а $\sigma \approx 3{,}2$ мин.

{"questions":[{"content":"Стандартное отклонение роста группы равно $3$ см. Чему оно равно в метрах? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,03","0.03"]}},"hints":["Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и данные.","$1$ см $= 0{,}01$ м, значит, $3$ см $= 0{,}03$ м. Ответ: $0{,}03$."],"step":1},{"content":"Рост учеников записан в метрах. Все значения перевели в сантиметры, то есть умножили на $100$. Как изменились стандартное отклонение $\\sigma$ и дисперсия $D$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sigma$ и $D$ увеличились в $100$ раз","$\\sigma$ увеличилось в $100$ раз, $D$ — в $10\\,000$ раз","$\\sigma$ увеличилось в $10$ раз, $D$ — в $100$ раз","$\\sigma$ и $D$ не изменились, ведь разброс тот же"],"explanations":["Дисперсия — площадь квадрата: сторона выросла в $100$ раз, площадь — в $100^2 = 10\\,000$ раз.","","Корень здесь лишний: стрелки выросли в $100$ раз, и $\\sigma$ вместе с ними.","Разброс по смыслу тот же, но числа зависят от единиц: в сантиметрах стрелки в $100$ раз длиннее."],"answer":[1]}},"hints":["Каждое отклонение — стрелка от среднего — стало в $100$ раз длиннее.","Сторона квадрата выросла в $100$ раз, значит, его площадь — в $100^2 = 10\\,000$ раз.","Ответ: $\\sigma$ увеличилось в $100$ раз, $D$ — в $10\\,000$ раз."],"step":1}],"mix":1}

Сравнивать разброс можно только в одних единицах

Теперь ответим на вопрос из начала урока. Оба маршрута измерены в минутах, поэтому их стандартные отклонения можно сравнивать. По маршруту A время обычно отличается от $25$ минут примерно на $6{,}4$ мин, по маршруту B — примерно на $0{,}6$ мин, меньше чем на минуту. Разброс у B примерно в $10$ раз меньше: на маршрут B можно рассчитывать.

Ошибка

Решавр сравнил рост и массу рюкзаков учеников: «у роста $\sigma = 4$ см, у массы $\sigma = 2$ кг, значит, рост разбросан вдвое сильнее».

Проверка на числах. Запишем рост в миллиметрах: $\sigma = 40$ мм, и «рост разбросан в $20$ раз сильнее». В метрах $\sigma = 0{,}04$ м, и теперь «рост разбросан в $50$ раз слабее». Данные одни и те же, а вывод меняется вместе с единицами — значит, такое сравнение ничего не говорит.

Где сломалось рассуждение. $\sigma$ — длина стрелки в единицах данных. Сантиметры и килограммы — разные величины, и сравнивать $4$ см с $2$ кг так же бессмысленно, как спрашивать, что больше: метр или килограмм.

Одна и та же длина σ роста записана как 4 см, 40 мм и 0,04 м, а сравнение с σ массы 2 кг даёт разные «ответы», поэтому оно бессмысленно — Одно и то же стандартное отклонение роста — $4$ см, $40$ мм или $0{,}04$ м; рядом с $2$ кг каждое из этих чисел дает свой «ответ»

Стандартные отклонения сравнивают у одной и той же величины, записанной в одних единицах: время двух маршрутов, рост учеников двух классов. Если единицы разные, например минуты и секунды, сначала переведите все в одни единицы.

{"questions":[{"content":"Стандартное отклонение роста учеников класса — $5$ см, массы их рюкзаков — $2$ кг. Решавр: «Рост разбросан в $2{,}5$ раза сильнее, ведь $5 : 2 = 2{,}5$». В чем его ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $5 > 2$, значит, рост разбросан сильнее","Сравнивать надо дисперсии: $25$ и $4$","Делить надо $2$ на $5$, а не $5$ на $2$","Сравнивать нельзя: в миллиметрах вышло бы $50 : 2 = 25$ раз"],"explanations":["Числа $5$ и $2$ записаны в разных единицах; в метрах рост дал бы $0{,}05$, и «вывод» перевернулся бы.","У дисперсий тоже разные единицы, см$^2$ и кг$^2$, такое сравнение так же бессмысленно.","Порядок деления не спасает: числа в сантиметрах и в килограммах сравнивать нельзя вообще.",""],"answer":[3]}},"hints":["$\\sigma$ измеряется в единицах данных: рост — в сантиметрах, масса — в килограммах.","В миллиметрах $\\sigma$ роста равно $50$, в метрах — $0{,}05$: «во сколько раз» меняется вместе с единицами.","Ответ: $\\sigma$ разных величин сравнивать нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Стандартное отклонение роста в классе 8А — $5$ см, в классе 8Б — $42$ мм. В каком классе рост разбросан сильнее?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["В 8Б: $42 > 5$","Одинаково: единицы разные, сравнивать нельзя","В 8Б: $42$ мм $= 42$ см","В 8А: $5$ см $= 50$ мм, а $50 > 42$"],"explanations":["Числа $42$ и $5$ записаны в разных единицах: миллиметры и сантиметры сравнивать «как есть» нельзя.","Рост — одна величина, ее можно перевести в одни единицы и сравнить.","Неверный перевод: в $1$ см десять миллиметров, $42$ мм — это $4{,}2$ см.",""],"answer":[3]}},"hints":["Это одна величина — рост, но единицы разные, поэтому сначала переведем в одни.","$5$ см $= 50$ мм, а $50 > 42$: сильнее разбросан рост в 8А."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Стандартное отклонение — главная мера разброса: одно число в тех же единицах, что и данные, говорит, насколько обычно значения отходят от среднего. По нему выбирают надежный маршрут, сравнивают стабильность результатов спортсменов или точность двух измерительных приборов. Чтобы вспомнить главное, представьте стрелки от опоры: на каждой стрелке квадрат, дисперсия — средняя площадь квадрата, а стандартное отклонение — его сторона, $\sigma = \sqrt{D}$. В следующем уроке модуля стрелки появятся сразу по двум осям: научимся читать диаграммы рассеивания.

Случай	Что происходит со стрелками и квадратами	Вывод
Нашли дисперсию	Средняя площадь квадратов, единицы в квадрате	$D$ в мин$^2$, см$^2$ — еще не ответ
Извлекли корень	Сторона среднего квадрата — типичная стрелка	$\sigma = \sqrt{D}$ в единицах данных
Все значения равны	Стрелок и квадратов нет	$\sigma = 0$
Все значения умножили на $k$	Стрелки в $k$ раз длиннее, квадраты в $k^2$ раз больше	$\sigma$ — в $k$ раз, $D$ — в $k^2$ раз
Ко всем значениям прибавили число	Опора сдвинулась, стрелки прежние	$\sigma$ не меняется
Разные величины	Стрелки в разных единицах	Сравнивать $\sigma$ нельзя

Часто задаваемые вопросы

Зачем стандартное отклонение, если есть дисперсия?

Дисперсия измеряется в квадратах единиц данных, и ее число трудно понять: «$41{,}6$ квадратной минуты» ничего не говорит. Стандартное отклонение — в тех же единицах, что и данные, его можно сравнить со значениями и средним: «время обычно отличается от $25$ минут примерно на $6$ с лишним минут».

Как извлечь корень без калькулятора?

Подберите два соседних целых числа, квадраты которых окружают дисперсию, затем так же подберите десятые. Чтобы округлить честно, возведите в квадрат середину, например $6{,}45$: если квадрат больше дисперсии, округляйте вниз, если меньше — вверх.

Может ли стандартное отклонение быть отрицательным?

Нет. Дисперсия — средняя площадь квадратов, она не бывает отрицательной, а квадратный корень — неотрицательное число. Стандартное отклонение равно $0$, только если все значения ряда одинаковые.

Верно ли, что все значения лежат в полосе «среднее $\pm\, \sigma$»?

Нет. Это типичное расстояние, а не граница: часть значений лежит дальше. У маршрута A в полосу от $18{,}6$ до $31{,}4$ мин попали три значения из пяти, а $18$ и $35$ мин оказались снаружи.

Меняется ли стандартное отклонение, если ко всем значениям прибавить одно число?

Нет. Все значения и опора сдвигаются на одно и то же число, длины стрелок не меняются, поэтому $D$ и $\sigma$ остаются прежними. Меняется только среднее.

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Тест: Стандартное отклонение числового набора

Пройти тест