8 класс Вероятность и статистика Рассеивание данных

Отклонение от среднего: знак, сумма, выброс

Содержание

Вы уже умеете находить среднее арифметическое и размах ряда. Среднее показывает, где центр данных, а размах — только расстояние между крайними значениями. В этом уроке разберем, как описать положение каждого значения относительно среднего: что такое отклонение, что значит его знак, чему равна сумма отклонений и как по отклонению заметить выброс.

Одно среднее — разные ряды

Вспомним два маршрута до школы из урока о размахе. Время в пути записывали пять дней (в минутах). Маршрут A: $18$, $30$, $22$, $35$, $20$. Маршрут B: $24$, $26$, $25$, $25$, $25$. Сумма у обоих рядов $125$, среднее одинаковое: $125 : 5 = 25$ минут.

Но в один из дней маршрут A занял $35$ минут — на $10$ минут дольше среднего. Это случайность или для этого маршрута обычное дело? А если бы на $10$ минут задержался маршрут B? Чтобы ответить, мало знать среднее: нужно видеть, насколько далеко от него лежит каждое значение.

Два маршрута на одной оси 15–40 минут с одной опорой в 25: точки маршрута A далеко от опоры, точки маршрута B почти на ней — Опора одна — $25$ минут, но точки маршрута A лежат далеко от нее, а точки маршрута B — почти на ней

Представим числовую ось как доску качелей, а значения — как одинаковые грузики на ней. Среднее арифметическое — точка опоры, на которой доска в равновесии. На рисунке опора у обоих маршрутов в одном месте, а картина разная: точки B прижались к опоре, точки A разбежались от нее влево и вправо. Размах это тоже покажет ($17$ и $2$ минуты), но он смотрит только на два крайних значения. Нам нужна характеристика каждого дня.

Проведем от опоры к каждой точке стрелку. Стрелка покажет сразу две вещи: в какую сторону от среднего лежит значение и как далеко.

{"questions":[{"content":"Ряд P: $8$, $12$, $9$, $11$. Ряд Q: $2$, $18$, $5$, $15$. Среднее арифметическое у обоих рядов равно $10$. Представьте значения точками на числовой оси, а среднее — точкой опоры. Какой вывод верен?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Значения ряда Q лежат дальше от среднего, хотя средние равны","Среднее у ряда Q больше, потому что в нем есть значение $18$","Ряды одинаково разбросаны: в каждом два значения меньше $10$ и два больше","Значения обоих рядов одинаково далеки от среднего, раз средние равны"],"explanations":["","Большое значение $18$ уравновешено малым $2$: сумма Q равна $40$, среднее $40 : 4 = 10$, как у P.","Важно не только, с какой стороны от среднего значение, но и как далеко: $2$ дальше от $10$, чем $9$.","Среднее показывает, где опора, но не то, как далеко от нее стоят значения: у Q точки в $5$–$8$ единицах от $10$, у P — в $1$–$2$."],"answer":[0]}},"hints":["Отметьте на оси точку $10$ и значения каждого ряда.","Значения P лежат в $1$–$2$ единицах от $10$, значения Q — в $5$–$8$ единицах.","Средние равны, но значения Q лежат дальше от среднего."],"step":1}],"mix":1}

Стрелка от среднего к значению

Возьмем маршрут A и среднее $25$. В первый день дорога заняла $18$ минут: значение лежит левее опоры на $7$ минут. Запишем это разностью «значение минус среднее»: $18-25 = -7$. Во второй день $30$ минут: $30-25 = 5$, значение правее опоры на $5$. Длинный день $35$ минут дает $35-25 = 10$.

Знак разности сам говорит, куда смотрит стрелка: минус — влево, к меньшим значениям, плюс — вправо. А число без знака — длина стрелки, то есть расстояние от значения до среднего.

Стрелки от среднего 25 к значениям маршрута A: стрелка идет от среднего к значению, знак показывает направление, длина — расстояние — Стрелка идет от среднего к значению: вправо — плюс, влево — минус, длина — расстояние до среднего

Определение

Отклонение значения от среднего — разность между значением и средним арифметическим ряда.

Значения ряда обозначают $x_1$, $x_2$, …, $x_n$, а среднее арифметическое кратко записывают $\bar{x}$ (читается «икс с чертой»). Тогда отклонение значения $x_i$ равно

$$x_i-\bar{x}$$

Значение больше среднего — отклонение положительное, меньше — отрицательное, равно среднему — отклонение равно $0$. Модуль отклонения — расстояние от значения до среднего на оси.

День	Время, мин	Отклонение, мин	Стрелка
1	$18$	$18-25 = -7$	влево, длина 7
2	$30$	$30-25 = 5$	вправо, длина 5
4	$35$	$35-25 = 10$	вправо, длина 10

Из определения сразу получается обратное действие: значение равно среднему плюс отклонение, $x_i = \bar{x} + (x_i-\bar{x})$. Если среднее $25$, а отклонение $-4$, то значение равно $25 + (-4) = 21$: от опоры отходим на $4$ влево.

Пример

Учебные данные: средняя температура за неделю равна $-2$ °C. В понедельник было $-5$ °C, во вторник $1$ °C. Найдите отклонения этих значений от среднего. Какая температура была в среду, если ее отклонение от среднего равно $4$?

Понедельник: $-5-(-2) = -5 + 2 = -3$. Значение меньше среднего, стрелка смотрит влево, длина $3$.

Вторник: $1-(-2) = 1 + 2 = 3$. Значение больше среднего, стрелка вправо, длина тоже $3$: оба дня одинаково далеки от среднего, но по разные стороны.

Среда: значение равно среднему плюс отклонение: $-2 + 4 = 2$.

Ответ: $-3$ °C и $3$ °C; в среду было $2$ °C.

Обратите внимание

Порядок вычитания важен: из значения вычитают среднее, а не наоборот. Если поменять порядок, получится $25-18 = 7$, и стрелка, которая смотрит влево, окажется направлена вправо.

{"questions":[{"content":"Среднее время в пути равно $25$ минутам. Один из дней занял $20$ минут. Какое утверждение об отклонении этого значения верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отклонение равно $45$","Отклонение равно $-5$, значение меньше среднего","Отклонение равно $5$: отклонение не бывает отрицательным","Отклонение равно $-20$"],"explanations":["$45$ — это сумма значения и среднего; отклонение находят вычитанием.","","Отклонение хранит знак: меньше среднего значит минус.","Отклонение — разность значения и среднего, а не само значение со знаком."],"answer":[1]}},"hints":["$20 < 25$: значение лежит левее среднего.","$20-25 = -5$: отклонение отрицательное, равно $-5$."],"step":1},{"content":"Среднее арифметическое ряда равно $40$. Соотнесите значение ряда и его отклонение от среднего.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$33$","$47$","$40$","$49$"],"items":["$-7$","$7$","$0$","$9$","$-9$"]}},"instruction":"Соотнесите значение и отклонение","hints":["Отклонение — значение минус среднее.","$33-40 = -7$, $47-40 = 7$, $40-40 = 0$, $49-40 = 9$.","Ответ: $33 \\to -7$, $47 \\to 7$, $40 \\to 0$, $49 \\to 9$; число $-9$ лишнее."],"step":1},{"content":"Среднее арифметическое ряда равно $8$. Отклонение одного из значений равно $-3$. Чему равно это значение? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Отклонение = значение $-$ среднее, поэтому значение = среднее + отклонение.","$8 + (-3) = 5$. Ответ: $5$."],"step":1}],"mix":1}

Стрелки уравновешивают друг друга

Найдем отклонения всех пяти дней маршрута A: $-7$, $5$, $-3$, $10$, $-5$. Сложим их: $-7 + 5-3 + 10-5 = 0$. Посмотрим на это как на качели. Стрелки влево имеют длины $7$, $3$ и $5$ — в сумме $15$. Стрелки вправо — $5$ и $10$, тоже $15$. Левая и правая стороны уравновешены, поэтому опора и стоит именно в $25$.

Стрелки влево 7, 3, 5 и вправо 5, 10, приставленные друг к другу от опоры 25, дают ленты одной длины 15: сумма отклонений равна нулю — Стрелки влево в сумме $15$ минут, вправо — тоже $15$: сумма отклонений равна $0$

Свойство

Сумма отклонений всех значений ряда от его среднего арифметического равна нулю:

$$(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\ldots+(x_n-\bar{x}) = 0$$

Почему это верно для любого ряда? Раскроем скобки: в сумме отклонений все значения складываются, а среднее вычитается $n$ раз. Получаем $(x_1 + x_2 + \ldots + x_n)-n \cdot \bar{x}$. Но среднее и есть сумма, деленная на $n$, поэтому $n \cdot \bar{x}$ равно сумме значений. Разность равна $0$. Для маршрута A: $125-5 \cdot 25 = 0$.

Свойство работает как проверка. Если сумма отклонений вышла не равной $0$, в вычислениях есть ошибка: неверно найдено среднее или потерян знак у какого-то отклонения. Еще оно позволяет восстановить пропущенное: последнее отклонение равно сумме остальных с противоположным знаком.

Пример

Среднее арифметическое пяти значений равно $12$. Отклонения четырех значений от среднего: $3$, $-5$, $2$, $-1$. Найдите пятое значение.

Сумма известных отклонений: $3-5 + 2-1 = -1$. Сумма всех пяти должна быть $0$, значит, пятое отклонение равно $1$.

Пятое значение: $12 + 1 = 13$.

Проверка: значения $15$, $7$, $14$, $11$, $13$, их сумма $60$, среднее $60 : 5 = 12$.

Ответ: $13$.

Ошибка

Решавр нашел отклонения ряда $2$, $5$, $6$, $9$, $13$ от среднего $7$, но рассудил так: «Отклонение — это расстояние, а расстояние не бывает отрицательным». Он записал $5$, $2$, $1$, $2$, $6$ и получил сумму отклонений $16$.

Проверим на числах. Если бы сумма отклонений была $16$, то сумма значений равнялась бы $5 \cdot 7 + 16 = 51$. А на самом деле $2 + 5 + 6 + 9 + 13 = 35$. Значит, $16$ — не сумма отклонений.

Где сломалось рассуждение: Решавр сложил длины стрелок, а не сами отклонения. Расстояние — это модуль отклонения, а отклонение хранит направление. Со знаками: $-5-2-1 + 2 + 6 = 0$. Убрав минусы, Решавр развернул все стрелки вправо — и качели перестали быть в равновесии.

Две панели на оси 0–15 с рядом 2, 5, 6, 9, 13 и опорой 7: со знаками стрелки уравновешены и сумма 0; без знаков все стрелки смотрят вправо, доска наклонена, сумма 16 — Со знаками стрелки уравновешены и сумма $0$; без знаков все стрелки смотрят вправо, сумма $16$ — опора уже не в равновесии

ot-strelki

{"questions":[{"content":"Маршрут B за пять дней: $24$, $26$, $25$, $25$, $25$ минут, среднее равно $25$. Чему равна сумма отклонений всех пяти значений от среднего? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["Отклонения: $-1$, $1$, $0$, $0$, $0$.","Сумма: $-1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 0$.","Сумма отклонений от среднего арифметического всегда равна $0$. Ответ: $0$."],"step":1},{"content":"Отклонения четырех значений ряда от среднего равны $-6$, $4$, $-1$, $5$. Отклонение пятого значения не записано. Найдите его. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Сумма всех пяти отклонений равна $0$.","Сумма известных: $-6 + 4-1 + 5 = 2$.","Пятое отклонение: $0-2 = -2$. Ответ: $-2$."],"step":1},{"content":"Решавр считает сумму отклонений ряда $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ (среднее $8$). Он записал отклонения $-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$ и сложил их модули: сумма отклонений равна $12$. В чем его ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нужно складывать отклонения со знаками: сумма равна $0$","Ошибки нет: сумма отклонений равна $12$","Сумма отклонений должна быть равна среднему, то есть $8$","Отклонения найдены неверно: должны быть все положительные"],"explanations":["","Модули — это расстояния, а отклонение хранит знак; со знаками сумма $0$.","Среднее и сумма отклонений — разные величины; сумма всегда $0$.","Отклонения найдены верно: значения левее среднего дают минус."],"answer":[0]}},"hints":["Отклонения сложены с их знаками: $-4-2 + 0 + 2 + 4$.","Положительные и отрицательные гасят друг друга: сумма равна $0$."],"step":1}],"mix":1}

Длинная стрелка — повод присмотреться

Учебные данные: шесть учеников пробежали $60$ м за $9{,}1$; $9{,}4$; $9{,}0$; $9{,}6$; $9{,}3$ и $16{,}0$ с. Сумма $62{,}4$ с, среднее $62{,}4 : 6 = 10{,}4$ с.

Отклонения: $-1{,}3$; $-1$; $-1{,}4$; $-0{,}8$; $-1{,}1$ и $5{,}6$. Пять стрелок короткие и смотрят влево, одна длинная — вправо. Сумма пяти левых: $1{,}3 + 1 + 1{,}4 + 0{,}8 + 1{,}1 = 5{,}6$ — ровно длина правой. Одна далекая точка уравновешивает все остальные.

Одна длинная стрелка вправо +5,6 до выброса 16,0 уравновешивает пять коротких стрелок влево в сумме 5,6; выброс тянет среднее 10,4 правее всех обычных точек — Одна длинная стрелка $+5{,}6$ уравновешивает пять коротких: выброс тянет среднее к себе

Так выглядит выброс, который вы встречали в уроке о среднем: значение, которое сильно отличается от остальных значений ряда. На языке стрелок у выброса отклонение по модулю намного больше, чем у других значений. Выброс сдвигает опору в свою сторону, поэтому среднее $10{,}4$ с оказалось больше времени каждого из пяти обычных бегунов.

Строгой границы «с какого отклонения начинается выброс» нет. Длинная стрелка — сигнал проверить данные: не ошибка ли записи, не особый ли случай (ученик споткнулся). Ищут при этом самое далекое значение, то есть отклонение, наибольшее по модулю. Оно может быть и у наименьшего значения — тогда длинная стрелка смотрит влево.

{"questions":[{"content":"Учебные данные: время забега пяти учеников на $60$ м (в секундах): $9{,}0$; $9{,}2$; $9{,}4$; $9{,}2$; $14{,}2$. Среднее арифметическое пяти значений равно $10{,}2$ с. У какого значения отклонение от среднего по модулю наибольшее?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10{,}2$ с","$9{,}0$ с","$14{,}2$ с","$9{,}4$ с"],"explanations":["Это среднее, а не значение ряда: среднего в ряду нет.","У него отклонение $-1{,}2$ — это не самое далекое значение.","","Это значение ближе всех к среднему: отклонение $-0{,}8$."],"answer":[2]}},"hints":["Найдите отклонения: $9{,}0-10{,}2 = -1{,}2$; $9{,}2-10{,}2 = -1$; $9{,}4-10{,}2 = -0{,}8$.","Для $14{,}2$: $14{,}2-10{,}2 = 4$ — намного больше остальных.","Ответ: $14{,}2$ с."],"step":1},{"content":"Учебные данные: рост пяти учеников — $148$, $152$, $143$, $155$, $152$ см, среднее арифметическое равно $150$ см. На сколько сантиметров рост самого далекого от среднего ученика отличается от среднего? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Отклонения: $-2$, $2$, $-7$, $5$, $2$.","Самое большое по модулю: $-7$ (рост $143$ см).","Отличается на $7$ см. Ответ: $7$."],"step":1},{"content":"Учебные данные: число прочитанных страниц за шесть дней — $22$, $25$, $3$, $24$, $26$, $20$. Среднее арифметическое равно $20$. Распределите значения по знаку их отклонения от среднего.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Отклонение положительное","Отклонение отрицательное","Отклонение равно нулю"],"items":[["$22$","$25$","$24$","$26$"],["$3$"],["$20$"]]}},"instruction":"Распределите значения по группам","hints":["Отклонение — значение минус среднее: $22-20 = 2$, $3-20 = -17$, $20-20 = 0$.","Плюс у $22$, $25$, $24$, $26$; минус только у $3$; ноль у $20$.","Одно далекое значение $3$ сдвинуло среднее влево, поэтому почти все остальные оказались правее него."],"step":1}],"mix":1}

Почему стрелки нельзя просто сложить

Вернемся к маршрутам. Отклонения маршрута A: $-7$, $5$, $-3$, $10$, $-5$. Отклонения маршрута B: $-1$, $1$, $0$, $0$, $0$. Стрелки A длинные, стрелки B почти незаметны. А суммы отклонений одинаковые: у обоих рядов $0$.

Маршруты A и B на общей опоре 25: стрелки разной длины, у A длинные, у B короткие, а сумма отклонений у обоих равна нулю, поэтому по ней разброс не сравнить — Стрелки разной длины, а сумма отклонений у обоих маршрутов одна — $0$: по ней разброс не сравнить

Так будет с любыми двумя рядами: сумма отклонений от среднего всегда $0$, потому что стрелки влево гасят стрелки вправо. Значит, по сумме нельзя понять, какой ряд разбросан сильнее.

Теперь можно ответить на вопрос из начала урока. Остальные четыре дня маршрута A отходят от среднего на $3$–$7$ минут, так что отход на $10$ лишь немного длиннее самой длинной из других стрелок: для A это обычный разброс. У маршрута B ни одна стрелка не длиннее $1$ минуты, и задержка на $10$ минут была бы в десять раз длиннее любой из них — явный выброс.

Остался вопрос: как описать разброс одним числом, чтобы оно говорило, насколько длинные стрелки у ряда в целом? Складывать отклонения бесполезно — плюсы гасят минусы. Нужен способ, при котором стрелки не уничтожают друг друга. Его построим в следующем уроке.

{"questions":[{"content":"Ряд C: $46$, $54$, $50$, $49$, $51$. Ряд D: $35$, $62$, $50$, $41$, $62$. Среднее арифметическое у обоих рядов равно $50$. Какой вывод об отклонениях верен?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["У D сумма отклонений больше, чем у C","У ряда C все значения отклоняются от среднего не больше чем на $4$","У ряда C есть отрицательные отклонения, а у D нет","Отклонения у C и D одинаковые, ведь средние равны"],"explanations":["У любого ряда сумма отклонений равна $0$: больше быть не может.","","Отрицательные отклонения есть у обоих: у C это $-4$ и $-1$, у D — $-15$ и $-9$.","Среднее одно, но значения лежат на разных расстояниях от него."],"answer":[1]}},"hints":["У ряда C отклонения: $-4$, $4$, $0$, $-1$, $1$.","У D: $-15$, $12$, $0$, $-9$, $12$ — отклонения намного больше."],"step":1},{"content":"Иксератопс нашел средние двух рядов и отклонения от них. У ряда P сумма отклонений равна $0$, у ряда Q — тоже $0$. Отсюда следует, что [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["все значения каждого ряда равны его среднему","разброс у рядов P и Q одинаковый","средние рядов P и Q равны","о разбросе рядов это ничего не говорит"],"answer":3}},"hints":["Сумма отклонений от среднего равна $0$ у любого ряда.","Значит, совпадение сумм ничего не говорит о том, как далеко значения от среднего.","Ответ: о разбросе рядов это ничего не говорит."],"explanation":"Сумма отклонений от среднего равна $0$ для любого ряда: стрелки влево и вправо уравновешены. Например, у рядов $7$, $7$, $7$ и $1$, $7$, $13$ суммы отклонений обе равны $0$, хотя второй разбросан сильнее; а у рядов $1$, $2$, $3$ и $10$, $20$, $30$ суммы равны $0$, а средние разные ($2$ и $20$). Поэтому из равенства сумм не следует ни одинаковый разброс, ни равенство средних.","step":1}],"mix":1}

Вывод

Отклонение отвечает на вопрос, где лежит одно значение относительно среднего: в какую сторону и как далеко. Это нужно, когда среднего мало, — чтобы понять, насколько надежен маршрут, обычен ли результат, нет ли в данных ошибки. Чтобы быстро вспомнить главное, представьте качели: опора — среднее, от нее к каждому значению идет стрелка.

Часто задаваемые вопросы

Чем отклонение отличается от расстояния до среднего?

Расстояние — это модуль отклонения: оно показывает только, как далеко значение от среднего. Отклонение хранит еще и направление: знак минус значит, что значение меньше среднего. У значений $18$ и $32$ при среднем $25$ расстояние одинаковое, $7$, а отклонения разные: $-7$ и $7$.

Может ли модуль отклонения быть больше самого значения?

Может. Если среднее равно $20$, а значение $3$, отклонение равно $3-20 = -17$, и его модуль $17$ больше значения $3$. Отклонение сравнивает значение со средним, а не с нулем.

Зачем считать сумму отклонений, если заранее известно, что она равна нулю?

Для проверки. Если среднее найдено с ошибкой или у какого-то отклонения потерян знак, сумма получится не $0$. Еще по сумме $0$ можно найти пропущенное отклонение, а через него и пропущенное значение.

Если у значения большое отклонение, его нужно выбросить из данных?

Не обязательно. Большое отклонение — повод проверить значение: это может быть ошибка записи, а может быть настоящий особый случай. Выброс честно показывает, что такое бывает. Решение принимают, разобравшись, откуда он взялся.

Отклонение считают только от среднего арифметического?

В этом уроке и в следующих — да: отклонение — разность между значением и средним арифметическим ряда. Именно от среднего сумма отклонений равна нулю; от другого числа, например от медианы, она обычно не равна нулю.

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Тест: Отклонение от среднего

Пройти тест