7 класс Вероятность и статистика Описательная статистика

Разброс: наибольшее, наименьшее, размах

Содержание

В уроке «Среднее и медиана» вы находили середину ряда данных — среднее и медиану. Но при одной и той же середине значения могут лежать тесно или далеко друг от друга. В этом уроке опишем это числом: найдем наибольшее и наименьшее значения ряда и его размах и выясним, что меняет размах.

Вот вопрос, к которому мы вернемся в конце. В якутском городе Верхоянске 20 июня 2020 года термометр показал $+38$ °C — Всемирная метеорологическая организация признала это рекордом жары для Арктики. А в феврале 1892 года там же было $-67{,}8$ °C. Как одним числом сказать, насколько разбросана погода в Верхоянске, и честно ли такое число описывает обычный год?

Одна середина — разный разброс

До школы можно доехать двумя маршрутами. Время в пути по каждому записывали пять дней (в минутах). Маршрут А: $18$, $30$, $22$, $35$, $20$. Маршрут Б: $24$, $26$, $25$, $25$, $25$. Среднее у обоих одинаковое: $125 : 5 = 25$ минут. До начала уроков осталось $28$ минут. На какой маршрут можно рассчитывать?

Изобразим каждое значение кирпичиком на числовой оси: одно наблюдение — один кирпичик, как грузики в уроке о среднем и медиане. Кирпичики маршрута А положим на одну ось, кирпичики маршрута Б — на такую же ось под ней. Кирпичики одного ряда вместе образуют стенку.

Два маршрута с одним средним временем 25 минут: у маршрута А кирпичики разбросаны от 18 до 35, у маршрута Б лежат тесно от 24 до 26; правее черты 28 минут у А два кирпичика, у Б ни одного — Обе стенки уравновешены в точке $25$, но стенка маршрута А тянется от $18$ до $35$, а стенка маршрута Б — только от $24$ до $26$

Что видно на рисунке. Точка равновесия у обеих стенок одна — $25$ минут. Но кирпичики маршрута Б лежат тесно: этот маршрут ни разу не занял больше $26$ минут, на него можно рассчитывать. Кирпичики маршрута А разбросаны от $18$ до $35$: в два дня из пяти ($30$ и $35$ минут) с этим маршрутом вы бы опоздали.

Среднее и медиана отвечают на вопрос «где середина ряда». Чтобы понять, можно ли на эту середину положиться, нужна вторая характеристика — насколько значения разбросаны. Самый простой способ ее измерить — длина стенки от крайнего кирпичика до крайнего.

{"questions":[{"content":"Аня и Боря пять дней решали по одному тесту. Баллы Ани: $7$, $8$, $9$, $8$, $8$. Баллы Бори: $4$, $10$, $12$, $6$, $8$. Средний балл у обоих равен $8$. У кого результаты разбросаны сильнее?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["У Бори","У Ани","Сравнить нельзя, нужна медиана","Одинаково, потому что средние равны"],"explanations":["","У Ани баллы от $7$ до $9$, у Бори — от $4$ до $12$: разбросаны сильнее баллы Бори","Медиана тоже показывает центр. Разброс видно по тому, далеко ли друг от друга крайние значения","Среднее показывает центр ряда, а не разброс: при одном среднем ряд бывает кучным и разбросанным"],"answer":[0]}},"hints":["Среднее показывает центр ряда, но не говорит, насколько значения разбросаны.","Крайние значения Ани — $7$ и $9$, крайние значения Бори — $4$ и $12$: стенка кирпичиков Бори длиннее.","Ответ: у Бори."],"step":1},{"content":"Среднее время в пути до школы по маршруту А и по маршруту Б за пять дней одинаковое — $27$ минут. Какое утверждение обязательно верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Каждый день путь по любому маршруту занимает $27$ минут","Самый долгий путь у маршрутов одинаковый","Сумма времени в пути за пять дней у маршрутов одинаковая","На маршруты можно одинаково рассчитывать"],"explanations":["Среднее — не каждое значение: в отдельные дни путь бывает короче и длиннее","Наибольшие значения рядов с одинаковым средним могут быть разными","","Это зависит от разброса: при том же среднем один маршрут может занимать то $15$, то $40$ минут"],"answer":[2]}},"hints":["Среднее арифметическое — это сумма, деленная на число значений: сумма $=$ среднее $\\cdot$ число дней.","У обоих маршрутов сумма за пять дней равна $27 \\cdot 5 = 135$ минут. О каждом отдельном дне и о разбросе среднее ничего не говорит.","Ответ: сумма времени за пять дней у маршрутов одинаковая."],"step":1}],"mix":1}

Крайние кирпичики ищут на оси, а не в записи

Семь учеников прыгали в длину. Их результаты записали в том порядке, в каком они прыгали (в сантиметрах): $312$, $345$, $298$, $360$, $331$, $287$, $340$. Разложим кирпичики по оси и посмотрим, какие из них окажутся крайними.

Ряд прыжков: наименьшее 287 и наибольшее 360 стоят в середине записи; первое число записи 312 и последнее 340 лежат внутри стенки — Крайние кирпичики стенки — $287$ и $360$, а в записи они стоят не первыми и не последними

Определение

Наибольшее значение ряда — самое большое число ряда данных. Наименьшее значение ряда — самое маленькое число ряда данных.

На числовой оси наименьшее значение — крайний левый кирпичик стенки, наибольшее — крайний правый.

Выстраивать весь ряд по порядку не обязательно. Достаточно один раз просмотреть его, держа в памяти самое большое и самое маленькое из уже просмотренных чисел, и сравнивать с ними каждое следующее.

Пример

Найдем наибольшее и наименьшее значения ряда прыжков $312$, $345$, $298$, $360$, $331$, $287$, $340$.

Просматриваем ряд и после каждого числа обновляем самое большое и самое маленькое из просмотренных (таблица ниже).

Ответ: наибольшее значение $360$ см, наименьшее $287$ см.

Просмотрели число	Самое большое пока	Самое маленькое пока
$312$	$312$	$312$
$345$	$345$	$312$
$298$	$345$	$298$
$360$	$360$	$298$
$331$	$360$	$298$
$287$	$360$	$287$
$340$	$360$	$287$

Так же ищут крайние значения в таблице: просматривают все клетки со значениями, а не только первую и последнюю. На столбиковой диаграмме наибольшему значению соответствует столбик, конец которого выше всех по шкале, наименьшему — столбик, конец которого ниже всех. Если есть столбики вниз от нуля, это самый длинный из них, а не самый короткий. Значения читают по шкале.

Ошибка

Решавр взял крайними первое и последнее число записи: «наименьшее $312$, наибольшее $340$».

Проверка на оси: в ряду есть $287$ — этот кирпичик лежит левее $312$, и есть $360$ — он лежит правее $340$. Значит, ни $312$, ни $340$ не крайние.

Где сломалось: ряд записан в порядке прыжков, а не по возрастанию. Первое и последнее число записи — края списка, а не края стенки. Брать их можно, только если ряд уже упорядочен.

{"questions":[{"content":"Число отжиманий у девяти семиклассников: $23$, $31$, $18$, $27$, $35$, $22$, $19$, $30$, $26$. Найдите наибольшее и наименьшее значения ряда. Наибольшее: [[input-1]] Наименьшее: [[input-2]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"35"},"input-2":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Просмотрите ряд от начала до конца и запоминайте самое большое и самое маленькое число из уже просмотренных.","Самое большое число ряда — $35$, самое маленькое — $18$. Они стоят не на краях записи.","Ответ: наибольшее $35$, наименьшее $18$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]На диаграмме показана температура воздуха утром в каждый день недели. Наименьшее значение температуры за неделю равно [[fill_choice-1]] °C.","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/7cylaaxxixsa.svg"},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-3$","$2$","$6$","$-6$"],"answer":3}},"hints":["Наименьшее значение — то, которое ниже всех по шкале. Столбики вниз от нуля — отрицательные температуры.","Ниже всех опускается конец столбика четверга — самого длинного из столбиков вниз: $-6$ °C. Самый короткий столбик (пятница, $2$ °C) — не наименьшее значение: он выше нуля.","Ответ: $-6$ °C."],"step":1}],"mix":1}

Размах — длина стенки

Вернемся к прыжкам. Стенка кирпичиков тянется от $287$ до $360$. Ее длина $360-287 = 73$ см: на столько лучший прыжок длиннее худшего. Эту длину называют размахом ряда.

Определение

Размах ряда — разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда:

$$\text{размах} = \text{наибольшее}-\text{наименьшее}$$

На оси размах — длина стенки от крайнего левого кирпичика до крайнего правого. Коротко размах иногда обозначают буквой $R$.

Размах — это длина, поэтому он не бывает отрицательным. Размах равен $0$ только тогда, когда все значения одинаковые: все кирпичики лежат в одной точке. Измеряют размах в тех же единицах, что и данные: в сантиметрах, минутах, градусах. У маршрутов из первого раздела размахи $35-18 = 17$ минут и $26-24 = 2$ минуты — теперь разница в разбросе выражена числом.

Труднее, когда среди значений есть отрицательные. Температура воздуха в полдень за неделю была такой: $-12$, $-5$, $-8$, $3$, $-1$, $-15$, $2$ °C.

Размах через ноль: кирпичики от −15 до 3, часть ниже нуля 15 и часть выше нуля 3 складываются в размах 18 градусов, а запись 15 − 3 = 12 перечеркнута — От $-15$ до $0$ — $15$ делений, от $0$ до $3$ — еще $3$: длина стенки $18$ °C

Пример

Найдем размах температур $-12$, $-5$, $-8$, $3$, $-1$, $-15$, $2$ °C.

Наибольшее значение — $3$. Наименьшее — $-15$: из отрицательных чисел меньше то, которое дальше от нуля, на оси оно левее всех.

Размах: $3-(-15) = 3 + 15 = 18$ °C.

Проверка по оси: от $-15$ до $0$ — $15$ делений, от $0$ до $3$ — еще $3$, всего $18$.

Ответ: $18$ °C.

Ошибка

Решавр нашел размах так: $15-3 = 12$ °C.

Проверка на оси: только от $-15$ до $0$ уже $15$ делений, и еще $3$ деления до отметки $3$. Стенка длиной $18$, а не $12$.

Где сломалось: Решавр вычитал числа без знаков, как будто $-15$ и $3$ лежат по одну сторону от нуля. Когда края стенки лежат по разные стороны от нуля, части ниже и выше нуля складываются.

{"questions":[{"content":"Решавр нашел размах ряда $12$, $7$, $19$, $4$, $15$, $16$ так: $16-12=4$. Чему на самом деле равен размах?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$12$","$7$","$4$","$15$"],"explanations":["$16-4$: наименьшее найдено верно, но вместо наибольшего $19$ взято последнее число записи","$19-12$: наибольшее найдено верно, но вычтено первое число записи, а не наименьшее $4$","Это ответ Решавра: из последнего числа записи вычтено первое, а ряд не упорядочен",""],"answer":[3]}},"hints":["Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда, а не между последним и первым числом записи.","Наибольшее значение — $19$, наименьшее — $4$.","Ответ: $19-4=15$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Масса пяти арбузов (в килограммах): $7{,}4$, $5{,}9$, $8{,}3$, $6{,}1$, $7{,}0$. Найдите размах ряда в килограммах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["2,4","2.4"]}},"hints":["Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда.","Наибольшее значение — $8{,}3$, наименьшее — $5{,}9$.","Ответ: $8{,}3-5{,}9=2{,}4$ кг."],"step":1},{"content":"Температура воздуха в полночь за шесть дней: $-9$, $-2$, $4$, $-11$, $1$, $-6$ °C. Найдите размах ряда в градусах.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$15$","$13$","$7$","$-15$"],"explanations":["","$4-(-9)$: наименьшим взяли первое отрицательное число ряда, а самое маленькое — $-11$","Вычли числа без знаков: $11-4$. От $-11$ до $0$ уже $11$ делений, и еще $4$ до отметки $4$","Из наименьшего вычли наибольшее: $-11-4$. Размах — длина стенки, он не бывает отрицательным"],"answer":[0]}},"hints":["Наибольшее значение — $4$, наименьшее — $-11$ (на оси оно левее всех).","От $-11$ до $0$ — $11$ делений, от $0$ до $4$ — еще $4$. Это и есть разность: $4-(-11)=4+11$.","Ответ: $15$ °C."],"step":1}],"mix":1}

Что удлиняет стенку, а что нет

Возьмем ряд $12$, $14$, $15$, $17$, $18$, $20$. Его размах $20-12 = 8$. Добавим к ряду число $16$. Кирпичик ляжет между $15$ и $17$, внутрь стенки. Края прежние, размах по-прежнему $8$. Теперь вместо $16$ добавим $25$. Этот кирпичик ляжет правее $20$ и станет новым краем: размах $25-12 = 13$. Стенка выросла на $5$ — ровно на столько, на сколько кирпичик вышел за прежний край.

Новый кирпичик внутри стенки (16) не меняет размах 8; за правым краем (25) стенка вырастает на 5, размах 13 — Кирпичик $16$ лег внутрь стенки — размах прежний, $8$. Кирпичик $25$ лег за край — размах вырос до $13$

Прибавим теперь ко всем числам исходного ряда по $5$: получим $17$, $19$, $20$, $22$, $23$, $25$. Вся стенка переехала вправо, а ее длина та же: $25-17 = 8$. Среднее и медиана переехали вместе с кирпичиками: у исходного ряда они равны $16$, у нового — $21$.

Правило

Размах меняется, только когда меняется наибольшее или наименьшее значение.

Новое значение между наименьшим и наибольшим размах не меняет.
Новое значение за краем увеличивает размах на столько, на сколько оно вышло за край.
Если убрать крайнее значение, размах может уменьшиться.
Если ко всем значениям прибавить одно и то же число или из всех вычесть одно и то же число, размах не изменится, а среднее и медиана сдвинутся на это число.

Ошибка

Решавр рассуждает: «Добавили к ряду число — значений стало больше, значит, и разброс стал больше».

Проверка на числах: к ряду $12$, $14$, $15$, $17$, $18$, $20$ добавили $16$. Размах был $20-12 = 8$ и остался $20-12 = 8$.

Где сломалось: размах смотрит только на два крайних кирпичика. Сколько кирпичиков лежит внутри стенки, на ее длину не влияет.

Пример

За неделю размах температур составил $17$ °C, самая низкая температура была $-4$ °C. Какой была самая высокая температура?

Размах — длина стенки, а ее левый край известен. Значит, правый край лежит на $17$ делений правее: наибольшее $=$ наименьшее $+$ размах.

$-4 + 17 = 13$ °C.

Проверка: $13-(-4) = 13 + 4 = 17$.

Ответ: $13$ °C.

rr-stenka

{"questions":[{"content":"Дан ряд $23$, $27$, $25$, $31$, $29$. С ним по отдельности сделали шесть изменений. Распределите их по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Размах изменится","Размах не изменится"],"items":[["Добавили число $35$","Добавили число $20$","Убрали число $31$"],["Добавили число $26$","Убрали число $27$","Ко всем числам прибавили $5$"]]}},"hints":["Размах — длина стенки от крайнего кирпичика до крайнего. Он меняется, только если меняется наибольшее или наименьшее значение.","Сейчас наименьшее $23$, наибольшее $31$. Числа $35$ и $20$ выходят за края, а без $31$ наибольшим станет $29$.","Числа $26$ и $27$ лежат внутри стенки. Если прибавить $5$ ко всем числам, оба края сдвинутся на $5$, длина стенки та же.","Ответ: изменится — добавили $35$, добавили $20$, убрали $31$; не изменится — добавили $26$, убрали $27$, прибавили $5$ ко всем."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"За неделю самая высокая температура была $9$ °C, а размах температур составил $23$ °C. Какой была самая низкая температура? Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-14","−14"]}},"hints":["Размах $=$ наибольшее $-$ наименьшее, поэтому наименьшее $=$ наибольшее $-$ размах.","$9-23=-14$: от $9$ нужно спуститься по шкале на $23$ деления, ниже нуля.","Ответ: $-14$ °C."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Каждому из $25$ учеников класса добавили по $4$ балла за проект. Что произошло с размахом баллов и со средним баллом класса?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Размах вырос на $4$, среднее не изменилось","Ничего не изменилось","Размах не изменился, среднее выросло на $4$","Размах и среднее выросли на $4$"],"explanations":["Перепутали, что сдвигается: наибольшее и наименьшее выросли на $4$ оба, и их разность прежняя, а среднее сдвинулось вместе со всеми значениями","Среднее сдвигается вместе со всеми значениями: сумма баллов выросла на $25 \\cdot 4 = 100$","","Наибольшее и наименьшее выросли на $4$ оба, поэтому их разность не изменилась"],"answer":[2]}},"hints":["Если ко всем значениям прибавить одно число, вся стенка кирпичиков сдвигается целиком.","Наибольшее и наименьшее выросли на $4$, их разность прежняя. Сумма баллов выросла на $25 \\cdot 4$, значит, среднее выросло на $4$.","Ответ: размах не изменился, среднее выросло на $4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Выброс растягивает стенку

Пять учеников пробежали $60$ м за $9{,}1$, $9{,}4$, $9{,}0$, $9{,}6$, $9{,}3$ с. Шестой споткнулся и пробежал за $15{,}8$ с: его кирпичик лег далеко от остальных.

Выброс 15,8 растянул стенку с 0,6 до 6,8 секунды, а флажок медианы почти не сдвинулся: с 9,3 на 9,35 — Отброшенный кирпичик $15{,}8$ удлинил стенку с $0{,}6$ до $6{,}8$ с, а медиана сдвинулась только с $9{,}3$ до $9{,}35$ с

Пример

Как изменятся размах и медиана, если к ряду $9{,}1$, $9{,}4$, $9{,}0$, $9{,}6$, $9{,}3$ с добавить $15{,}8$ с?

Новый ряд по возрастанию: $9{,}0$, $9{,}1$, $9{,}3$, $9{,}4$, $9{,}6$, $15{,}8$.

Было: размах $9{,}6-9{,}0 = 0{,}6$ с, медиана $9{,}3$ с. Стало: размах $15{,}8-9{,}0 = 6{,}8$ с, медиана $(9{,}3 + 9{,}4) : 2 = 9{,}35$ с.

Ответ: размах вырос с $0{,}6$ до $6{,}8$ с, медиана — с $9{,}3$ до $9{,}35$ с.

Напомним: выброс — значение, которое сильно отличается от остальных значений ряда. Выброс лежит далеко от остальных кирпичиков, поэтому обычно сам становится краем стенки, и размах на него реагирует очень сильно: здесь размах вырос на $6{,}2$ с, среднее — на $1{,}09$ с (с $9{,}28$ до $62{,}2 : 6 \approx 10{,}37$ с), а медиана — всего на $0{,}05$ с. Среднее и размах выброс сдвигает заметно, медиану — почти нет. Поэтому, если размах ряда неожиданно большой, стоит проверить, нет ли в нем выброса.

У модели стенки есть граница: размах видит только ее края. У рядов $10$, $10$, $10$, $10$, $20$ и $10$, $12$, $15$, $18$, $20$ размах одинаковый — $10$. Насколько кучно лежат значения внутри стенки, размах не показывает. Для этого есть другие меры разброса, их изучают в 8 классе.

Два ряда с одинаковым размахом 10: у первого четыре кирпичика на 10 и один на 20 (кучно, один далеко), у второго кирпичики разбросаны по всей стенке; размах этой разницы не видит — Размах у обоих рядов $10$, а кирпичики внутри стенки лежат по-разному: кучно с одним выбросом и вразброс

Теперь вернемся к Верхоянску. Возьмем ряд всех температур, измеренных там за историю наблюдений. Его крайние значения — рекорды $-67{,}8$ °C (февраль 1892 года) и $+38$ °C (20 июня 2020 года), размах $38-(-67{,}8) = 38 + 67{,}8 = 105{,}8$ °C. Это не ошибки измерений: такие морозы и такая жара в Верхоянске действительно были. Но размах видит только два крайних кирпичика, а за сто с лишним лет наблюдений крайними стали два самых исключительных дня. Поэтому $105{,}8$ °C описывает границы всей истории наблюдений, а не обычный год. Об обычном годе честнее говорит размах среднемесячных температур. В Верхоянске в среднем в январе около $-44{,}7$ °C, в июле около $+16{,}5$ °C, размах $16{,}5-(-44{,}7) = 61{,}2$ °C. В Сочи самый холодный месяц — январь, около $+6{,}3$ °C, самый теплый — август, около $+24{,}3$ °C, размах $18$ °C — в три с лишним раза меньше, чем в Верхоянске.

Средние месячные температуры Верхоянска и Сочи на одной шкале от −50 до 30 градусов: размах Верхоянска 61,2 градуса, Сочи 18 градусов, стенка Верхоянска в три с лишним раза длиннее — Среднемесячные температуры на одной шкале: стенка Верхоянска длиной $61{,}2$ °C больше стенки Сочи ($18$ °C) более чем в три раза

{"questions":[{"content":"Пять учеников собрали кубик-головоломку за $42$, $45$, $44$, $47$, $43$ с. Шестой ученик собирал его $90$ с. Как изменились размах и медиана, когда к ряду добавили его результат?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Размах вырос с $5$ до $48$ с, медиана — с $44$ до $44{,}5$ с","Размах вырос с $5$ до $48$ с, медиана — с $44$ до $90$ с","Размах вырос с $5$ до $48$ с, медиана — с $44$ до $\\approx 51{,}8$ с","Размах не изменился, медиана выросла до $44{,}5$ с"],"explanations":["","Медиана — середина очереди, а не последнее значение: выброс встал в конец, середина сдвинулась на полместа","$51{,}8$ — среднее нового ряда, а не медиана. Среднее, как и размах, сильно реагирует на выброс, медиана — нет","Выброс стал новым наибольшим значением: стенка удлинилась до $90-42=48$"],"answer":[0]}},"hints":["Выброс $90$ встает на край стенки: наибольшим значением становится $90$.","Размах был $47-42=5$, стал $90-42=48$. Медиана была $44$; в новом ряду $42$, $43$, $44$, $45$, $47$, $90$ посередине стоят $44$ и $45$, медиана $(44+45):2=44{,}5$.","Ответ: размах вырос с $5$ до $48$ с, медиана — с $44$ до $44{,}5$ с."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Время (в минутах), которое Петя тратил на домашнее задание пять дней: $30$, $31$, $30$, $32$, $45$. Время Вани: $30$, $34$, $38$, $41$, $45$. Какое утверждение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["У Пети размах меньше, потому что почти все его значения около $30$ минут","Размахи равны, но значения Пети, кроме одного, лежат кучно, а значения Вани — вразброс","Размахи равны, значит, значения у мальчиков разбросаны одинаково","У Вани размах больше, потому что среди его значений нет одинаковых"],"explanations":["Размах Пети $45-30=15$, как и у Вани: крайние кирпичики у них одинаковые, а кучность размах не учитывает","","Размах видит только два крайних значения. Внутри стенки кирпичики Пети лежат тесно, а кирпичики Вани — вразброс","Размах Вани $45-30=15$, как и у Пети: размах зависит только от наибольшего и наименьшего значений"],"answer":[1]}},"hints":["Размах — длина стенки от крайнего кирпичика до крайнего. Что лежит внутри стенки, он не показывает.","У обоих размах $45-30=15$ минут. Четыре значения Пети лежат от $30$ до $32$, одно — $45$; значения Вани разбросаны по всей стенке.","Ответ: размахи равны, но значения Пети, кроме одного, лежат кучно, а значения Вани — вразброс."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Среднее и медиана показывают, где середина ряда, а размах — насколько ряд разбросан: это длина стенки кирпичиков от наименьшего значения до наибольшего, и по ней видно, можно ли положиться на среднее. Чтобы вспомнить главное, представьте стенку: края ищут на оси, а не в записи, через ноль части складываются, кирпичик внутри стенку не удлиняет, а выброс растягивает ее. В следующем уроке модуля научимся читать таблицы и столбиковые диаграммы.

Случай	Что происходит со стенкой	Размах
Ряд записан не по порядку	Крайние кирпичики могут стоять в середине записи	Наибольшее − наименьшее, а не последнее − первое
Есть отрицательные значения	Стенка проходит через ноль, части складываются	$3-(-15) = 18$
Новое значение между краями	Кирпичик ложится внутрь, края прежние	Не меняется
Новое значение за краем, выброс	Стенка удлиняется	Растет
Ко всем значениям прибавили одно число	Стенка переезжает целиком	Не меняется

Часто задаваемые вопросы

Зачем размах, если есть среднее?

Среднее показывает центр ряда, а размах — разброс. Время в пути $25$ минут в среднем бывает и стабильным, и скачущим от $18$ до $35$ минут: размах подсказывает, можно ли положиться на среднее.

Может ли размах быть отрицательным?

Нет: наибольшее не меньше наименьшего. Отрицательное число получается, если из наименьшего вычли наибольшее. Размах равен $0$, только если все значения одинаковые.

Как не ошибиться с отрицательными числами?

Наименьшее среди отрицательных — число, которое дальше от нуля. Вычитайте его со знаком: $3-(-15) = 3 + 15$. Проверка по оси: если края по разные стороны от нуля, размах — сумма расстояний от нуля до краев.

Почему размах так сильно зависит от одного значения?

Размах вычисляют только по двум крайним значениям, а выброс обычно и становится одним из них. Поэтому один необычный результат может увеличить размах в несколько раз.

Награды за урок