Среднее и медиана: когда среднее обманывает

{"questions":[{"content":"На доске стоят одинаковые грузики на отметках $2$, $3$ и $10$. Где нужно поставить опору, чтобы доска была в равновесии?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5$","$3$","$6$","$15$"],"explanations":["","$3$ — средний грузик по порядку. Но грузик на $10$ далеко справа и перевешивает: справа излишек $10-3 = 7$, а слева недостача только $1$.","$6$ — середина между крайними отметками $2$ и $10$. Но два грузика из трех слева, и доска перевесит влево: слева недостача $4 + 3 = 7$, справа излишек $4$.","$15$ — это сумма $2 + 3 + 10$. Ее нужно разделить на количество грузиков: $15 : 3 = 5$."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите среднее арифметическое чисел $7$, $9$, $12$, $16$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Сумма: $7 + 9 + 12 + 16 = 44$.","Чисел четыре: $44 : 4 = 11$."],"step":1},{"content":"Среднее арифметическое трех чисел равно $8$. Два из них — $5$ и $9$. Найдите третье число.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Сумма = среднее · количество: $8 \\cdot 3 = 24$.","Третье число: $24-5-9 = 10$."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Девять учеников встали в очередь по росту. Медиана роста — это рост ученика, который стоит…[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["На $5$-м месте","На $4$-м месте","Между $4$-м и $5$-м местами","На $9$-м месте"],"explanations":["","Слева от $4$-го места три ученика, а справа — пять. Середина там, где с обеих сторон по четыре: это $5$-е место.","Полусумму двух средних берут при четном количестве. Девять — нечетное число, посередине стоит один ученик.","На $9$-м месте стоит самый высокий ученик — это наибольшее значение, а не середина."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите медиану ряда $14$, $3$, $8$, $11$, $6$, $20$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["9,5","9.5"]}},"hints":["Упорядочим: $3$, $6$, $8$, $11$, $14$, $20$.","Чисел шесть, посередине $8$ и $11$.","$(8 + 11) : 2 = 9{,}5$"],"step":1},{"content":"Ученик искал медиану ряда $7$, $2$, $9$, $4$, $5$ и записал: «Посередине стоит $9$, значит, медиана равна $9$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ряд не упорядочен, медиана равна $5$","Нужна полусумма, медиана равна $6{,}5$","Нужно среднее, медиана равна $5{,}4$","Ошибки нет, медиана равна $9$"],"explanations":["","Полусумму двух чисел $(9 + 4) : 2$ берут при четном количестве значений, а здесь их пять. К тому же сначала нужно упорядочить ряд: $2$, $4$, $5$, $7$, $9$.","$5{,}4$ — это среднее: $27 : 5$. Медиана — другая характеристика: середина упорядоченного ряда.","$9$ — наибольшее число ряда. В очереди $2$, $4$, $5$, $7$, $9$ посередине оказывается $5$."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"К ряду $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ добавили число $50$. Что изменится сильнее?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Среднее: оно станет $12{,}5$, а медиана $5{,}5$","Медиана: она станет $50$, а среднее $12{,}5$","Одинаково: оба станут $8{,}5$","Ничего: оба останутся равны $5$"],"explanations":["","$50$ встанет в конец очереди. Посередине окажутся $5$ и $6$, медиана $5{,}5$.","Среднее стало $75 : 6 = 12{,}5$, а медиана $(5 + 6) : 2 = 5{,}5$ — изменились по-разному. Далекий грузик сдвигает опору гораздо сильнее, чем середину очереди.","Среднее зависит от каждого значения: сумма выросла с $25$ до $75$, и среднее стало $12{,}5$."],"answer":[0]}}},{"content":"Ряд: $2$, $3$, $3$, $4$, $38$. Среднее равно [[input-1]], медиана равна [[input-2]].","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":"10"},"input-2":{"type":"input","inline":1,"answer":"3"}},"instruction":"Заполните пропуски","hints":["Сумма: $2 + 3 + 3 + 4 + 38 = 50$, значений пять.","Среднее $50 : 5 = 10$. Ряд уже упорядочен, посередине $3$-е число: $3$.","Выброс $38$ поднял среднее выше всех остальных значений, а медиана осталась $3$."],"step":1},{"content":"В ряду $4$, $6$, $7$, $9$, $10$ наибольшее число заменили на $100$. Медиана при этом [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["не изменится","увеличится","уменьшится"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Число $100$ остается последним в очереди: $4$, $6$, $7$, $9$, $100$.","Посередине по-прежнему $7$. Медиана не изменится, а среднее вырастет с $7{,}2$ до $25{,}2$."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Медиана","Среднее"],"items":[["Сколько обычно стоит квартира в районе, где есть несколько очень дорогих домов","Сколько минут обычно ждут автобус, если раз в месяц автобус задерживается на час","Какой доход у типичной семьи в городе"],["Сколько воды взять в поход на всех, если известен средний расход на одного человека","Какова общая масса восьми пассажиров лифта, если известна их средняя масса","Сколько всего рыбы поймают за неделю, если известен средний улов за день"]]}},"instruction":"Распределите вопросы по характеристике, которая лучше на них отвечает","hints":["Вопрос про «обычно» и «типичный», а в данных есть выбросы, — медиана.","Вопрос про «всего» и «на всех» — среднее: сумма = среднее · количество."],"step":1},{"content":"В обувном магазине средняя цена кроссовок $9$ тысяч рублей, медианная — $6$ тысяч. Какое утверждение верно наверняка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Хотя бы половина моделей стоит не дороже $6$ тысяч","Половина моделей стоит дороже $9$ тысяч","Большинство моделей стоят около $9$ тысяч","Самая дешевая модель стоит $6$ тысяч"],"explanations":["","Пополам ряд делит медиана, а она равна $6$, а не $9$. Среднее не говорит, сколько значений больше него.","Среднее не говорит, как у большинства. Здесь оно больше медианы — значит, есть несколько очень дорогих моделей.","$6$ тысяч — середина очереди цен, а не ее начало. Самая дешевая модель стоит не больше $6$ тысяч."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"В таблице записано, сколько учеников получили каждую оценку: «3» — $5$ учеников, «4» — $10$, «5» — $5$. На что нужно разделить сумму всех оценок, чтобы найти среднее?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["На $20$","На $3$","На $12$","На $10$"],"explanations":["","$3$ — число разных оценок (столбцов таблицы). Делить нужно на количество значений, то есть на всех учеников: $5 + 10 + 5 = 20$.","$12$ — сумма оценок $3 + 4 + 5$, а не количество значений.","$10$ — частота одной оценки. Всего учеников $5 + 10 + 5 = 20$."],"answer":[0]}}},{"content":"Пятнадцать учеников записали, сколько уроков пропустили за четверть: $0$ уроков — $6$ учеников, $1$ урок — $4$, $2$ урока — $2$, $3$ урока — $1$, $8$ уроков — $2$ ученика. Медиана равна [[input-1]], среднее равно [[input-2]].","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":"1"},"input-2":{"type":"input","inline":1,"answer":["1,8","1.8"]}},"instruction":"Заполните пропуски","hints":["Учеников $15$, середина очереди — $8$-е место.","Места $1$–$6$ — по $0$ уроков, $7$–$10$ — по $1$ уроку. Медиана $1$.","Сумма: $0 \\cdot 6 + 1 \\cdot 4 + 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 1 + 8 \\cdot 2 = 27$.","Среднее: $27 : 15 = 1{,}8$. Двое учеников с $8$ пропусками — выбросы, поэтому среднее больше медианы."],"step":1},{"content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Сложить частоты — найти, сколько всего значений","Найти номер места посередине очереди","Посчитать, какое значение стоит на этом месте"]}},"instruction":"Расставьте шаги нахождения медианы по таблице по порядку","hints":["Чтобы найти середину очереди, нужно знать ее длину — сумму частот.","Зная номер середины, отсчитываем места по частотам."],"step":1}],"mix":1}