Карточки
Тесты
Зави
Тест: Дисперсия числового набора
Дисперсия числового набора
В уроке «Отклонения» каждое значение ряда стало стрелкой от опоры — среднего арифметического, а сумма всех стрелок всегда оказывалась равной $0$. В этом уроке соберем из стрелок одно число, которое измеряет разброс, — дисперсию. Научимся вычислять ее по шагам, в том числе по таблице частот, и выясним, что с ней происходит при сдвиге и умножении значений.
Квадрат на стрелке не дает разбросу исчезнуть
Рассмотрим два ряда: $10$, $10$, $15$, $20$, $20$ и $10$, $15$, $15$, $15$, $20$. У обоих среднее арифметическое $15$, наименьшее значение $10$, наибольшее $20$, размах $10$. Но во втором ряду три значения из пяти совпадают со средним, а в первом от среднего отходят четыре значения из пяти. Какой ряд разбросан сильнее и как выразить это числом? Размах здесь не поможет: как мы видели в урока о размахе, он смотрит только на крайние значения. К этому вопросу вернемся в третьем разделе.
Попробуем отклонения. У первого ряда они равны $-5$, $-5$, $0$, $5$, $5$, а их сумма $-5-5+0+5+5 = 0$: стрелки влево и вправо уравновешивают друг друга. Сумма отклонений равна $0$ у любого ряда, поэтому разброс она не измеряет.
Вообразавр предлагает: «Постройте на каждой стрелке квадрат». Сторона квадрата — длина стрелки, а его площадь — квадрат отклонения: $(-5)^2 = 25$, $5^2 = 25$, $0^2 = 0$. Квадрат на стрелке влево такой же, как на стрелке вправо, — площадь не бывает отрицательной. Теперь ничего не гасится: общая площадь квадратов равна $25 + 25 + 0 + 25 + 25 = 100$.
Квадраты к тому же сильнее отзываются на дальние значения. Стрелка длиной $2$ дает квадрат площадью $4$, а стрелка длиной $6$ — площадью $36$, в девять раз больше. Значение, далекое от среднего, заметно увеличивает общую площадь.
Ошибка
Решавр пишет $(-5)^2 = -25$: «минус был — минус остался». Проверим умножением: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$, ведь произведение двух отрицательных чисел положительно. На схеме это видно сразу: на стрелке влево стоит обычный квадрат площадью $25$. Если бы квадраты левых стрелок считались отрицательными, они снова погасили бы правые: $-25-25+0+25+25 = 0$. Квадрат отклонения никогда не бывает отрицательным.
Четыре шага: от значений к средней площади квадрата
Общая площадь квадратов зависит от того, сколько в ряду значений: у длинного ряда она больше уже потому, что квадратов больше. Чтобы сравнивать любые ряды, берут среднюю площадь — делят общую площадь на число значений. Так получается дисперсия. Среднее арифметическое ряда коротко обозначают $\bar{x}$ (читается «икс с чертой»).
Определение
Дисперсия числового набора — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего. Обозначение: $D$. Если ряд состоит из $n$ значений $x_1$, $x_2$, …, $x_n$ и $\bar{x}$ — их среднее арифметическое, то
$$D = \frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \ldots + (x_n-\bar{x})^2}{n}$$
Алгоритм
- Найдите среднее арифметическое $\bar{x}$.
- Найдите отклонение каждого значения: $x_i-\bar{x}$.
- Возведите каждое отклонение в квадрат.
- Найдите среднее арифметическое квадратов: сложите их и разделите на число значений $n$.
Пример
Найдем дисперсию ряда $10$, $10$, $15$, $20$, $20$.
Шаг 1. Среднее: $(10 + 10 + 15 + 20 + 20) : 5 = 75 : 5 = 15$.
Шаг 2. Отклонения: $-5$, $-5$, $0$, $5$, $5$.
Шаг 3. Квадраты отклонений: $25$, $25$, $0$, $25$, $25$.
Шаг 4. Среднее квадратов: $(25 + 25 + 0 + 25 + 25) : 5 = 100 : 5 = 20$.
Ответ: $D = 20$.
| Значение | Отклонение от $15$ | Квадрат отклонения |
|---|---|---|
| $10$ | $-5$ | $25$ |
| $10$ | $-5$ | $25$ |
| $15$ | $0$ | $0$ |
| $20$ | $5$ | $25$ |
| $20$ | $5$ | $25$ |
| Сумма $75$, среднее $75 : 5 = 15$ | Сумма $0$ | Сумма $100$, $D = 100 : 5 = 20$ |
Обратите внимание на нулевой квадрат. Значение $15$ совпадает со средним, и площадь его квадрата равна $0$, но оно — полноправное значение ряда. Поэтому общую площадь делят на $5$, а не на $4$.
Ошибка
Решавр ошибается двумя способами.
Первый: он берет не квадраты, а длины стрелок — модули отклонений: $(5 + 5 + 0 + 5 + 5) : 5 = 4$. Это средняя длина стрелки, а не средняя площадь квадрата: $4 \ne 20$. Такое число тоже говорит о разбросе, но это другая величина, не дисперсия.
Второй: он делит сумму квадратов только на число ненулевых квадратов: $100 : 4 = 25$. Проверка: значений в ряду пять, и нулевое отклонение — одно из них. Дисперсия — среднее всех пяти квадратов: $100 : 5 = 20$.
Размах одинаковый, а дисперсия разная
Вернемся к рядам из начала урока. Дисперсию первого ряда мы уже нашли: $D = 20$. Найдем дисперсию второго.
Пример
Найдем дисперсию ряда $10$, $15$, $15$, $15$, $20$.
Шаг 1. Среднее: $(10 + 15 + 15 + 15 + 20) : 5 = 75 : 5 = 15$.
Шаг 2. Отклонения: $-5$, $0$, $0$, $0$, $5$.
Шаг 3. Квадраты отклонений: $25$, $0$, $0$, $0$, $25$.
Шаг 4. Среднее квадратов: $(25 + 0 + 0 + 0 + 25) : 5 = 50 : 5 = 10$.
Ответ: $D = 10$.
Вот ответ на вопрос из начала урока. Среднее и размах у рядов одинаковые, а дисперсия первого ряда вдвое больше. Значит, значения первого ряда в среднем дальше от среднего арифметического — его разброс больше. Второй ряд стабильнее: три значения из пяти совпадают со средним, их квадраты нулевые.
Правило
Чем больше дисперсия, тем дальше в среднем значения ряда от среднего арифметического и тем больше разброс. Дисперсия учитывает каждое значение ряда, а размах — только наибольшее и наименьшее.
Так же сравним маршруты из урока о размахе. Время в пути на маршруте A — $18$, $30$, $22$, $35$, $20$ минут, на маршруте B — $24$, $26$, $25$, $25$, $25$ минут, среднее у обоих $25$ минут. Дисперсию маршрута B вы уже нашли в задании: $0{,}4$. Иксератопс посчитал дисперсию маршрута A: квадраты отклонений $49$, $25$, $9$, $100$, $25$, сумма $208$, $D = 208 : 5 = 41{,}6$ — в $104$ раза больше. На маршрут B можно положиться, на маршрут A — нет.
Что меняет дисперсию, а что нет
Дисперсия — средняя площадь квадратов, и три ее свойства видны без вычислений. Площадь не бывает отрицательной, поэтому $D \ge 0$ у любого ряда. Дисперсия равна $0$, только если все квадраты нулевые: каждое значение совпадает со средним, то есть все значения ряда одинаковы. У ряда $7$, $7$, $7$ стрелок нет совсем, и $D = 0$.
Прибавим к каждому значению ряда $10$, $10$, $15$, $20$, $20$ число $7$: получится $17$, $17$, $22$, $27$, $27$. Среднее тоже увеличится на $7$ и станет $22$, а отклонения останутся прежними: $-5$, $-5$, $0$, $5$, $5$. Стрелки переехали вправо вместе с опорой, квадраты те же, $D = 20$.
Теперь умножим каждое значение того же ряда на $2$: $20$, $20$, $30$, $40$, $40$. Среднее станет $30$, отклонения удвоятся: $-10$, $-10$, $0$, $10$, $10$. Сторона каждого квадрата выросла вдвое, а площадь — вчетверо: $10^2 = 100 = 4 \cdot 25$. Дисперсия: $(100 + 100 + 0 + 100 + 100) : 5 = 80 = 4 \cdot 20$.
Свойства дисперсии
- $D \ge 0$; $D = 0$ только тогда, когда все значения ряда одинаковы.
- Если к каждому значению прибавить одно и то же число (или вычесть его), дисперсия не изменится: отклонения прежние.
- Если каждое значение умножить на число $k$, дисперсия умножится на $k^2$: каждое отклонение умножается на $k$, а его квадрат — на $k^2$.
Повторяющиеся значения удобно считать по таблице частот
Если данные заданы таблицей частот, выписывать каждое значение отдельно не нужно. Значение, которое встречается $3$ раза, дает $3$ одинаковых квадрата, поэтому квадрат его отклонения умножают на частоту. Среднее находят так же, с учетом частот. Делят по-прежнему на число всех значений — сумму частот.
Пример
Учебные данные: ученики записали, сколько книг прочитали за лето. $2$ книги прочитал $1$ ученик, $3$ книги — $2$ ученика, $4$ книги — $4$ ученика, $5$ книг — $2$ ученика, $6$ книг — $1$ ученик. Найдем дисперсию числа книг.
Шаг 1. Всего значений: $1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10$. Среднее: $(2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1) : 10 = 40 : 10 = 4$.
Шаг 2. Отклонения: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$.
Шаг 3. Квадраты отклонений с учетом частот: $4 \cdot 1 = 4$, $1 \cdot 2 = 2$, $0 \cdot 4 = 0$, $1 \cdot 2 = 2$, $4 \cdot 1 = 4$, сумма $12$.
Шаг 4. $D = 12 : 10 = 1{,}2$.
Ответ: $D = 1{,}2$.
| Книг | Частота | Отклонение от $4$ | Квадрат | Квадрат $\cdot$ частота |
|---|---|---|---|---|
| $2$ | $1$ | $-2$ | $4$ | $4$ |
| $3$ | $2$ | $-1$ | $1$ | $2$ |
| $4$ | $4$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $2$ |
| $6$ | $1$ | $2$ | $4$ | $4$ |
| Итого | $10$ | $12$ |
Обратите внимание
Делят на сумму частот, а не на число строк таблицы. Строк здесь пять, а значений — десять: $12 : 5 = 2{,}4$ — неверно, $12 : 10 = 1{,}2$ — верно.
Вывод
Дисперсия собирает разброс всех значений ряда в одно число. Она различает ряды, у которых одинаковые среднее и размах, и помогает понять, на какой маршрут, прибор или результат можно положиться. Чтобы вспомнить главное, представьте стрелки от опоры: на каждой стрелке — квадрат, дисперсия — средняя площадь этих квадратов. Отсюда и алгоритм из четырех шагов, и свойства.
Остался один вопрос. Время в пути измеряется в минутах, а площадь квадрата со стороной в минутах — в «квадратных минутах»: дисперсия маршрута A равна $41{,}6$ мин². Что это значит и как вернуться к обычным минутам, узнаем в уроке про стандартное отклонение.
| Случай | Что происходит с квадратами | Дисперсия |
|---|---|---|
| Отклонение отрицательное | Квадрат на стрелке влево обычный, площадь положительна | $(-5)^2 = 25$ |
| Значение равно среднему | Квадрат нулевой, но значение считается | Делим на все $n$ значений |
| Значения далеко от среднего | Квадраты большие | Больше |
| Все значения одинаковы | Квадратов нет | $0$ |
| Ко всем значениям прибавили число | Квадраты переехали вместе с опорой | Не меняется |
| Все значения умножили на $k$ | Сторона в $k$ раз больше, площадь — в $k^2$ раз | Умножается на $k^2$ |
| Значение встречается $f$ раз | Его квадрат считаем $f$ раз | Делим на сумму частот |
Часто задаваемые вопросы
Модули тоже не гасят друг друга, и среднее модулей тоже описывает разброс, но это другая величина. Дисперсию определяют через квадраты: квадраты сильнее учитывают далекие от среднего значения, а из дисперсии в следующем уроке получим стандартное отклонение.
Нет. Дисперсия — среднее арифметическое квадратов, а квадрат любого числа неотрицателен. Если у вас получилась отрицательная дисперсия, ищите ошибку: скорее всего, квадрат отрицательного отклонения записан со знаком «минус».
Дисперсия — среднее арифметическое квадратов всех значений ряда. Значение, равное среднему, — тоже наблюдение, и его нулевой квадрат делает ряд стабильнее. Если его выбросить из деления, дисперсия получится больше настоящей.
Можно: дисперсия — средняя площадь квадрата, а не общая, поэтому она не растет только оттого, что значений стало больше. Важно, чтобы ряды были в одних единицах: время сравнивают со временем.
Каждое отклонение измеряется в минутах, а квадрат отклонения — в минутах, умноженных на минуты. Поэтому и среднее квадратов — в мин². Как получить меру разброса в обычных минутах, разберем в следующем уроке.
5
5
1
5