Карточки
Тесты
Зави
Случайная величина и закон распределения
Случайная величина и закон распределения
Вы уже умеете находить вероятность события: событие либо наступает, либо нет. Но часто нас интересует не «да или нет», а число: сколько орлов выпало, какая сумма очков, сколько бракованных деталей. В этом уроке введем случайную величину и ее закон распределения — таблицу, которая показывает, какие значения величина принимает и с какими вероятностями.
Число, которое зависит от исхода
Бросим две монеты и посчитаем, сколько выпало орлов. Может получиться 0, 1 или 2. Какое из этих чисел будет выпадать чаще всего? Многие отвечают: «все одинаково, ведь вариантов три». Запомним этот вопрос — ответ получим в конце урока.
Посмотрим, что здесь происходит. У опыта есть исходы: ОО, ОР, РО, РР. Каждому исходу мы ставим в соответствие число — количество орлов. Исход ОР дает 1, исход ОО дает 2, исход РР дает 0. До опыта мы не знаем, какое число получится, но знаем, какие числа возможны.
Определение
Случайная величина — это число, значение которого определяется исходом случайного опыта. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X$, $Y$, $Z$.
Чем величина отличается от события? Событие — это утверждение об исходе: «выпало два орла». Оно наступает или нет. Величина — это число: «число орлов». Из величины легко получить события: «$X=2$», «$X\ge 1$». Обратно не всегда получится: в нашем опыте ответа «два орла не выпали» мало — X может быть и 0, и 1.
Какие значения и с какой вероятностью
Возьмем игральный кубик, на гранях которого написаны числа $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $3$. Пусть $X$ — число на верхней грани. Исходов шесть, все грани выпадают одинаково часто. Значение $1$ дают три грани, значение $2$ — две, значение $3$ — одна.
| Значение $x_i$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| Сколько граней | $3$ | $2$ | $1$ |
| Вероятность $p_i$ | $\frac{3}{6}=\frac12$ | $\frac{2}{6}=\frac13$ | $\frac16$ |
В этом уроке рассматриваем только величины с конечным числом возможных значений.
Определение
Закон распределения случайной величины $X$ с конечным числом значений — это перечень всех ее значений $x_1, x_2, \dots, x_n$ вместе с вероятностями $p_i=P(X=x_i)$. Обычно его записывают таблицей: в верхней строке — значения, в нижней — вероятности.
По таблице можно найти вероятность любого события, связанного с $X$. Событие «$X\ge 2$» наступает, если $X=2$ или $X=3$. Эти события несовместны: величина не может принять сразу два значения. Поэтому вероятности складываются: $P(X\ge 2)=\frac13+\frac16=\frac12$.
Вероятности как гирьки на оси
Таблицу удобно нарисовать. Отметим значения величины на числовой оси, а над каждым значением поставим столбик — гирьку, масса которой равна вероятности этого значения. Для нашего кубика над точкой $1$ стоит гирька $\frac12$, над точкой $2$ — гирька $\frac13$, над точкой $3$ — гирька $\frac16$.
Что видно на рисунке. Высокая гирька — значение, которое выпадает часто. Над точками, где гирек нет, вероятность равна нулю: например, $X$ никогда не равно $4$. Чтобы найти $P(X\ge 2)$, достаточно снять с оси все гирьки, стоящие на $2$ и правее, и сложить их массы.
Эта картина пригодится во всем модуле. В следующем уроке мы найдем точку, в которой такие весы находятся в равновесии, а затем будем измерять, насколько широко гирьки разбросаны вдоль оси.
Вся масса гирек равна единице
Сложим гирьки кубика: $\frac12+\frac13+\frac16=1$. Это не случайность. События $X=x_1$, $X=x_2$, …, $X=x_n$ попарно несовместны, а вместе покрывают все исходы опыта: при любом исходе величина принимает ровно одно значение из таблицы. Значит, сумма их вероятностей равна вероятности достоверного события, то есть $1$.
Правило
В законе распределения каждая вероятность лежит от $0$ до $1$, а сумма всех вероятностей равна $1$:
$$0\le p_i\le 1,\qquad p_1+p_2+\dots+p_n=1$$
На языке весов: у нас есть ровно одна единица «массы вероятности», и закон распределения показывает, как она разложена по значениям. Гирька не может быть легче нуля, а все гирьки вместе весят ровно $1$. Отсюда способ найти недостающую вероятность: вычесть из $1$ все известные.
Правило
Вероятность события о величине — сумма вероятностей подходящих значений. Иногда проще вычесть из $1$ сумму остальных: $P(X>a)=1-P(X\le a)$.
Пример: $X=1,2,3,4$ с вероятностями $0{,}2$; $0{,}1$; $0{,}4$; $0{,}3$. Тогда $P(X>2)=0{,}4+0{,}3=0{,}7$ и $1-P(X\le 2)=1-0{,}3=0{,}7$.
Пример 1
Закон распределения величины $X$ задан таблицей: значения $0$, $1$, $2$, $3$; вероятности $0{,}1$; $0{,}35$; $p$; $0{,}25$. Найдите $p$ и $P(X\ge 2)$.
Решение. Сумма вероятностей равна $1$: $0{,}1+0{,}35+p+0{,}25=1$, откуда $p=1-0{,}7=0{,}3$.
Событие $X\ge 2$ — это $X=2$ или $X=3$: $P(X\ge 2)=0{,}3+0{,}25=0{,}55$.
Проверка: $0{,}1+0{,}35+0{,}3+0{,}25=1$, все числа от $0$ до $1$.
Ответ: $p=0{,}3$; $P(X\ge 2)=0{,}55$.
Ошибка
Как ошибаются. Ученик записал закон: значения $1$, $2$, $3$ с вероятностями $0{,}2$; $0{,}5$; $0{,}4$. Каждое число лежит между $0$ и $1$, и ученик решает, что таблица верна.
Проверка сложением: $0{,}2+0{,}5+0{,}4=1{,}1$. Гирьки весят больше единицы — так не бывает.
Где сломалось рассуждение. Проверено только одно условие из двух. Вероятность каждого значения в отдельности может быть правдоподобной, но вместе они описывают все исходы, поэтому их сумма обязана быть ровно $1$. Если сумма меньше $1$, возможно, пропущено значение или занижена одна из вероятностей. Если сумма больше $1$, проверьте, не завышены ли вероятности и не учтено ли какое-то значение дважды.
Проверьте себя в модели: ответьте на вопросы и сравните сумму вероятностей с единицей.
Как построить закон по условию задачи
Чаще всего таблицу не дают готовой — ее нужно построить. Если опыт представлен конечным набором равновозможных исходов, план такой: перечислить исходы, для каждого найти значение величины, сосчитать исходы с каждым значением и разделить на общее число исходов.
Пример 2
В коробке $3$ белых и $2$ черных шара. Наугад вынимают два шара. $X$ — число белых шаров среди вынутых. Постройте закон распределения $X$.
Решение. Равновозможные исходы — пары шаров. Их $C_5^2=10$.
$X=0$: оба шара черные — $1$ пара. $X=1$: один белый и один черный — $3\cdot 2=6$ пар. $X=2$: оба белые — $C_3^2=3$ пары.
Вероятности: $P(X=0)=0{,}1$, $P(X=1)=0{,}6$, $P(X=2)=0{,}3$.
Проверка: $1+6+3=10$ пар, $0{,}1+0{,}6+0{,}3=1$.
Ответ: значения $0$; $1$; $2$, вероятности $0{,}1$; $0{,}6$; $0{,}3$.
Вернемся к вопросу из начала урока. Две монеты, $X$ — число орлов. Равновозможных исходов четыре: ОО, ОР, РО, РР. Значение $0$ дает только РР, значение $2$ — только ОО, а значение $1$ дают сразу два исхода: ОР и РО. Получаем закон: $P(X=0)=0{,}25$, $P(X=1)=0{,}5$, $P(X=2)=0{,}25$.
Ответ на вопрос из начала: чаще всего выпадает ровно один орел, с вероятностью $0{,}5$ — вдвое чаще, чем ноль или два орла.
Ошибка
Как ошибаются. «Значений три — $0$, $1$, $2$, — значит, каждое имеет вероятность $\frac13$».
Проверка на исходах: из четырех равновозможных исходов значение $0$ дает один, то есть $P(X=0)=\frac14$, а не $\frac13$.
Где сломалось рассуждение. В этом опыте равновозможны четыре исхода, но не три значения величины. Разные значения собирают разное число исходов, поэтому делить нужно на число исходов, а не на число значений.
Следующий урок
В уроке «Математическое ожидание» мы найдем точку оси, в которой весы с гирьками вероятностей находятся в равновесии. Это число называют математическим ожиданием и обозначают $E(X)$ (в части учебников — $M(X)$).
Вывод
Случайная величина — это число, которое определяется исходом опыта. Ее закон распределения — таблица значений и их вероятностей. Он позволяет найти вероятность любого события вида $X=a$, $X\ge a$, $X<a$: нужно сложить вероятности подходящих значений. Чтобы вспомнить главное, представьте гирьки на оси.
Часто задаваемые вопросы
Событие — утверждение об исходе опыта, оно наступает или не наступает. Случайная величина — число, которое зависит от исхода. Из величины получают события: «$X=2$», «$X>1$».
События «$X$ принимает значение $x_1$», …, «$X$ принимает значение $x_n$» попарно несовместны и вместе охватывают все исходы. Поэтому их вероятности в сумме дают вероятность достоверного события, то есть $1$.
Может, но обычно такие значения в таблицу не пишут: величина их не принимает. Отрицательной вероятность быть не может, а больше $1$ — тоже не может.
Нет. Значениями могут быть любые числа: выигрыш $-50$ или $100$ рублей, рост, время. В этом модуле мы рассматриваем величины, у которых значений конечное число, — их удобно записать таблицей.
Только если значения действительно равновозможны, как у обычного кубика. В общем случае нет: у числа орлов при двух бросках значения $0$, $1$, $2$ имеют вероятности $0{,}25$, $0{,}5$, $0{,}25$. Считать нужно исходы, а не значения.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий