Формула полной вероятности

{"questions":[{"content":"Деталь с равной вероятностью может быть изготовлена в цехе 1, цехе 2 или цехе 3, и других цехов нет. Какое утверждение верно для событий $H_1$, $H_2$, $H_3$ («изготовлена в цехе 1, 2, 3»)?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Они совместны","Они образуют полную группу","Сумма их вероятностей больше 1","Сумма их вероятностей меньше 1"],"explanations":["Одна деталь изготовлена в одном цехе, поэтому события несовместны","","Вероятности делят единицу между цехами, их сумма равна 1","Других цехов нет, значит сумма равна 1"],"answer":[1]}},"hints":["Каждая деталь изготовлена ровно в одном цехе: события не пересекаются и вместе покрывают все исходы.","Значит, $P(H_1)+P(H_2)+P(H_3)=1$, и каждая вероятность по условию равна $\\frac13$.","Ответ: события образуют полную группу, сумма вероятностей равна 1."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Цех А изготавливает 60% всех изделий, остальные изготавливает цех Б. Доля бракованных среди изделий цеха А равна $0{,}05$, а среди изделий цеха Б — $0{,}1$. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие бракованное? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gfy3raodxwo9.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["0,07","0.07"]}},"hints":["Гипотезы: $H_1$ — изделие цеха А, $H_2$ — изделие цеха Б; их веса $0{,}6$ и $0{,}4$ в сумме дают 1.","Вклад каждой гипотезы: вес умножаем на долю свойства: $0{,}6\\cdot 0{,}05$ и $0{,}4\\cdot 0{,}1$.","$P(A)=0{,}03+0{,}04=0{,}07$. Ответ: 0,07."],"step":1},{"content":"Завод «Заря» и завод «Восток» выпускают одинаковые лампы в отношении 1 : 3. Доля брака у завода «Заря» равна $0{,}08$, у завода «Восток» — $0{,}04$. Какова вероятность того, что случайно выбранная лампа бракованная? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,05","0.05"]}},"hints":["Всего 4 части: вес завода «Заря» — $\\frac{1}{4}=0{,}25$, вес завода «Восток» — $0{,}75$.","$P(A)=0{,}25\\cdot 0{,}08+0{,}75\\cdot 0{,}04$.","Ответ: 0,05."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"$P(A)=P(H_1)\\cdot P(A\\mid H_1)+[[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$P(H_2)$","$P(H_2)\\cdot P(A\\mid H_2)$","$P(A\\mid H_2)$","$P(H_1\\cup H_2)$"],"answer":1}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["Каждый путь к $A$ вносит вклад «вес гипотезы, умноженный на долю $A$ внутри нее».","Остается вклад второй гипотезы.","Ответ: $P(H_2)\\cdot P(A\\mid H_2)$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В первой урне 5 шаров, из них 3 красных; во второй — 5 шаров, из них 1 красный. Урну выбирают по жребию с равными шансами, затем из выбранной наугад вынимают шар. Найдите вероятность того, что шар красный. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lkrrhy9ys9hj.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["0,4","0.4"]}},"hints":["Гипотезы: выбрана урна 1 (вес $0{,}5$) или урна 2 (вес $0{,}5$).","Доли красных: $0{,}6$ и $0{,}2$. Пути к красному шару: $0{,}5\\cdot 0{,}6$ и $0{,}5\\cdot 0{,}2$.","$P=0{,}3+0{,}1=0{,}4$. Ответ: 0,4."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Товар поступает из трех магазинов, и других магазинов нет. Какой набор вероятностей может быть весами гипотез $P(H_1)$, $P(H_2)$, $P(H_3)$ полной группы?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0{,}5, 0{,}3, 0{,}3$","$0{,}5, 0{,}3, 0{,}2$","$0{,}4, 0{,}3, 0{,}2$","$0{,}6, 0{,}5, -0{,}1$"],"explanations":["Сумма весов равна $1{,}1$, а полная группа должна давать 1: гипотезы охватывают поле с наложением","","Сумма весов равна $0{,}9$, а полная группа должна давать 1: часть поля не охвачена гипотезами","Сумма равна 1, но вероятность не бывает отрицательной"],"answer":[1]}},"hints":["Гипотезы полной группы покрывают все исходы без наложения, поэтому сумма их вероятностей равна 1.","Найдите сумму для каждого набора и проверьте, что все числа неотрицательны.","Ответ: набор $0{,}5, 0{,}3, 0{,}2$."],"step":1},{"content":"В первом магазине доля брака $0{,}02$, во втором — $0{,}06$; первый магазин продает 90% товара. Решавр нашел вероятность купить бракованный товар так: $(0{,}02+0{,}06):2=0{,}04$. В чем его ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Забыты веса: верно $0{,}9\\cdot 0{,}02+0{,}1\\cdot 0{,}06=0{,}024$","Доли надо сложить: верно $0{,}02+0{,}06=0{,}08$","Перепутаны веса: верно $0{,}1\\cdot 0{,}02+0{,}9\\cdot 0{,}06=0{,}056$","Ошибки нет: при двух гипотезах доли усредняют"],"answer":[0],"explanations":["","Сумма долей не вероятность: она даже больше каждой доли. Каждую долю нужно умножить на вес своей комнаты","Вес $0{,}9$ принадлежит первому магазину, и умножать его надо на долю брака первого магазина, $0{,}02$","Простое среднее подходит для весов $0{,}5$ и $0{,}5$, а здесь веса $0{,}9$ и $0{,}1$"]}},"hints":["Комнаты поля разного размера: первая занимает $0{,}9$ поля, вторая — $0{,}1$.","Вклад комнаты — вес, умноженный на долю брака в ней.","$0{,}9\\cdot 0{,}02+0{,}1\\cdot 0{,}06=0{,}018+0{,}006=0{,}024$, а не $0{,}04$."],"step":1},{"content":"Доля брака у фирмы «Альфа» равна $0{,}03$, у фирмы «Бета» — $0{,}07$; изделия обоих производителей поступают в продажу в разных количествах. Какое из значений может быть вероятностью того, что случайно купленное изделие бракованное?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$0{,}015$","$0{,}14$","$0{,}1$","$0{,}046$"],"explanations":["Вероятность меньше обеих долей ($0{,}03$ и $0{,}07$): полная вероятность лежит между ними","Вероятность вдвое больше большей доли ($0{,}07$): взвешенная сумма не может ее превысить","Это сумма долей $0{,}03+0{,}07$ — веса не учтены, и ответ больше обеих долей",""],"answer":[3]}},"hints":["Полная вероятность — взвешенная сумма долей, веса неотрицательны и дают 1.","Взвешенное среднее не меньше $0{,}03$ и не больше $0{,}07$.","Из предложенных чисел в промежуток от $0{,}03$ до $0{,}07$ попадает только $0{,}046$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Завод получает детали с трех цехов: с первого 50%, со второго 30%, с третьего 20%. Доли брака в цехах равны $0{,}02$, $0{,}04$ и $0{,}05$. Какова вероятность того, что случайно взятая деталь бракованная? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,032","0.032"]}},"hints":["Веса цехов: $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$ — в сумме 1.","Три пути к браку: $0{,}5\\cdot 0{,}02 + 0{,}3\\cdot 0{,}04 + 0{,}2\\cdot 0{,}05$.","$P(A)=0{,}01 + 0{,}012 + 0{,}01=0{,}032$. Ответ: 0,032."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Цех В изготавливает 40% изделий, остальные — цех Г. У цеха Г доля брака равна $0{,}06$. Во всей продукции доля брака равна $0{,}05$. Найдите долю брака у цеха В. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,035","0.035"]}},"hints":["Формула: $P(A)=P(H_1)\\cdot P(A\\mid H_1)+P(H_2)\\cdot P(A\\mid H_2)$, где $P(H_1)=0{,}4$, $P(H_2)=0{,}6$.","Вклад цеха Г: $0{,}6\\cdot 0{,}06=0{,}036$; на цех В приходится $0{,}05-0{,}036=0{,}014$.","Доля брака у цеха В: $0{,}014:0{,}4=0{,}035$. Ответ: 0,035."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Поставщик А дает 40% товара, брак у него $0{,}05$; поставщик Б — остальной товар, брак $0{,}02$. Найдите вероятность того, что случайно выбранный товар бракованный.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Гипотезы: $H_1$ — товар от А, $H_2$ — товар от Б","Веса гипотез $H_1$ и $H_2$: $P(H_1)=0{,}4$, $P(H_2)=1-0{,}4=0{,}6$","Вклады: веса умножаем на доли брака $0{,}05$ и $0{,}02$","Складываем вклады: получаем $P(A)=0{,}032$","Проверяем: $P(A)=0{,}032$ лежит между долями брака"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала назовите комнаты поля — без них нечего взвешивать.","Что нужно знать, чтобы найти вклад? А чтобы проверить ответ?","Порядок: гипотезы → веса → вклады → сумма → проверка."],"step":1}],"mix":1}