Тест: 10.3.1

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Событие $A$ — «ученик выбрал физику», $B$ — «ученик выбрал информатику». Сопоставьте описание и выражение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Оба предмета","Только физика","Только информатика","Ни одного предмета"],"items":["$A\\cap B$","$A\\cap\\overline B$","$\\overline A\\cap B$","$\\overline{A\\cup B}$"]}},"instruction":"Сопоставьте описания и выражения","hints":["«И» означает пересечение; «не» означает противоположное событие.","Только физика — «$A$ произошло, $B$ нет»: запишите это через «и» и «не». Так же разберите «только информатика».","Ответ: оба предмета — $A\\cap B$; только физика — $A\\cap\\overline B$; только информатика — $\\overline A\\cap B$; ни одного — $\\overline{A\\cup B}$."],"step":1},{"id":"1","content":"Событие $A$ — «ученик выбрал химию», $B$ — «ученик выбрал биологию». Сопоставьте описание и выражение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Только биология","Ни одного предмета","Оба предмета","Только химия"],"items":["$\\overline A\\cap B$","$\\overline{A\\cup B}$","$A\\cap B$","$A\\cap\\overline B$"]}},"instruction":"Сопоставьте описания и выражения","hints":["«И» означает пересечение; «не» означает противоположное событие.","Только биология — «$B$ произошло, $A$ нет»: запишите это через «и» и «не». Так же разберите «только химия».","Ответ: только биология — $\\overline A\\cap B$; ни одного — $\\overline{A\\cup B}$; оба — $A\\cap B$; только химия — $A\\cap\\overline B$."],"step":1},{"id":"2","content":"Событие $A$ — «в магазине есть хлеб», событие $B$ — «в магазине есть сыр». Известно: $P(A)=0{,}45$, $P(B)=0{,}35$, $P(A\\cup B)=0{,}6$. Найдите $P(A\\cap B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["Формулу $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)$ можно прочитать наоборот: пересечение — это то, на сколько сумма превышает объединение.","$P(A\\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\\cup B)=0{,}45+0{,}35-0{,}6=0{,}2$.","Ответ: 0,2."],"step":1},{"id":"2","content":"Событие $A$ — «в кассе есть билеты на утренний сеанс», событие $B$ — «в кассе есть билеты на вечерний сеанс». Известно: $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}3$, $P(A\\cup B)=0{,}65$. Найдите $P(A\\cap B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,15","0.15"]}},"hints":["Формулу $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)$ можно прочитать наоборот: пересечение — это то, на сколько сумма превышает объединение.","$P(A\\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\\cup B)=0{,}5+0{,}3-0{,}65=0{,}15$.","Ответ: 0,15."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-1]]В таблице — число учеников класса: $A$ — «ученик занимается музыкой», $B$ — «ученик занимается рисованием». Случайно выбирают одного ученика. Найдите вероятность того, что он относится хотя бы к одной группе. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/15yjg7v9hz3a.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":["0,52","0.52"]}},"hints":["Всего учеников: $12+8+6+24=50$.","К хотя бы одной группе относятся все, кроме клетки «не $A$, не $B$»: $50-24=26$ человек.","$P=\\frac{26}{50}=0{,}52$. Ответ: 0,52."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-2]]В таблице — число учеников класса: $A$ — «ученик ходит в бассейн», $B$ — «ученик ходит на шахматы». Случайно выбирают одного ученика. Найдите вероятность того, что он относится хотя бы к одной группе. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hqm1wkaxxmhn.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":["0,6","0.6"]}},"hints":["Всего учеников: $15+10+5+20=50$.","К хотя бы одной группе относятся все, кроме клетки «не $A$, не $B$»: $50-20=30$ человек.","$P=\\frac{30}{50}=0{,}6$. Ответ: 0,6."],"step":1},{"id":"4","content":"Из карточек с номерами от 1 до 10 выбирают одну. Распределите пары событий по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Совместные","Несовместные"],"items":[["Номер четный и номер больше 5","Номер меньше 4 и номер кратен 3"],["Номер больше 7 и номер меньше 3","Номер равен 5 и номер четный"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Совместные события имеют хотя бы один общий исход, несовместные — ни одного.","Найдите по одному подходящему номеру для каждой пары. Если такого номера нет, пара несовместна.","У первой совместной пары общие 6, 8, 10; у второй — 3. У остальных общих номеров нет.","Ответ: совместные — «четный и больше 5», «меньше 4 и кратен 3»; несовместные — «больше 7 и меньше 3», «равен 5 и четный»."],"step":1},{"id":"4","content":"Из карточек с номерами от 1 до 12 выбирают одну. Распределите пары событий по группам.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Совместные","Несовместные"],"items":[["Номер нечетный и номер больше 4","Номер меньше 6 и номер кратен 4"],["Номер больше 9 и номер меньше 4","Номер равен 8 и номер нечетный"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Совместные события имеют хотя бы один общий исход, несовместные — ни одного.","Найдите по одному подходящему номеру для каждой пары. Если такого номера нет, пара несовместна.","У первой совместной пары общие 5, 7, 9, 11; у второй — 4. У остальных общих номеров нет.","Ответ: совместные — «нечетный и больше 4», «меньше 6 и кратен 4»; несовместные — «больше 9 и меньше 4», «равен 8 и нечетный»."],"step":1},{"id":"5","content":"Событие $A$ — «автобус пришел вовремя», событие $B$ — «в автобусе есть свободные места». Каким выражением записывается событие «не произошло ни $A$, ни $B$»?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\overline{A}\\cup\\overline{B}$","$\\overline{A\\cap B}$","$A\\cup B$","$\\overline{A\\cup B}$"],"explanations":["Это «не произошло хотя бы одно из двух», то есть не наступило $A$ или не наступило $B$","Это «$A$ и $B$ не произошли одновременно»: подойдет и случай, когда произошло одно из них","Это «произошло хотя бы одно из двух» — противоположное событие",""],"answer":[3]}},"hints":["Событие «ни $A$, ни $B$» означает, что не произошло ни одно из двух.","Это отрицание события «произошло хотя бы одно из двух», то есть $A\\cup B$.","Ответ: $\\overline{A\\cup B}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Событие $A$ — «в тесте верно решена первая задача», событие $B$ — «в тесте верно решена вторая задача». Каким выражением записывается событие «не произошло ни $A$, ни $B$»?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$A\\cup B$","$\\overline{A\\cap B}$","$\\overline{A\\cup B}$","$\\overline{A}\\cup\\overline{B}$"],"explanations":["Это «произошло хотя бы одно из двух» — противоположное событие","Это «$A$ и $B$ не произошли одновременно»: подойдет и случай, когда произошло одно из них","","Это «не произошло хотя бы одно из двух», то есть не наступило $A$ или не наступило $B$"],"answer":[2]}},"hints":["Событие «ни $A$, ни $B$» означает, что не произошло ни одно из двух.","Это отрицание события «произошло хотя бы одно из двух», то есть $A\\cup B$.","Ответ: $\\overline{A\\cup B}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Событие $A$ — «случайно выбранный сотрудник приехал на работу на машине», событие $B$ — «случайно выбранный сотрудник пользуется метро». Известно: $P(A)=0{,}55$, $P(B)=0{,}35$, $P(A\\cap B)=0{,}15$. Найдите вероятность того, что не произойдет ни $A$, ни $B$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,25","0.25"]}},"hints":["«Ни $A$, ни $B$» — событие, противоположное событию «$A$ или $B$».","$P(A\\cup B)=0{,}55+0{,}35-0{,}15=0{,}75$.","$P(\\overline{A\\cup B})=1-0{,}75=0{,}25$. Ответ: 0,25."],"step":1},{"id":"6","content":"Событие $A$ — «в кафе есть свободные столики внутри», событие $B$ — «в кафе есть свободные столики на улице». Известно: $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\\cap B)=0{,}3$. Найдите вероятность того, что не произойдет ни $A$, ни $B$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["«Ни $A$, ни $B$» — событие, противоположное событию «$A$ или $B$».","$P(A\\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}3=0{,}8$.","$P(\\overline{A\\cup B})=1-0{,}8=0{,}2$. Ответ: 0,2."],"step":1},{"id":"7","content":"В коробке 20 карточек с номерами от 1 до 20. Наугад берут одну. Найдите вероятность того, что номер карточки делится на 2 или на 5. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,6","0.6"]}},"hints":["Количество карточек с номерами, делящимися на 2: 10; на 5: 4.","Количество карточек с номерами, делящимися на оба числа (на 10): 2. Их посчитали дважды, поэтому $10+4-2=12$.","$P=\\frac{12}{20}=0{,}6$. Ответ: 0,6."],"step":1},{"id":"7","content":"В коробке 40 карточек с номерами от 1 до 40. Наугад берут одну. Найдите вероятность того, что номер карточки делится на 3 или на 4. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,5","0.5"]}},"hints":["Количество карточек с номерами, делящимися на 3: 13; на 4: 10.","Количество карточек с номерами, делящимися на оба числа (на 12): 3. Их посчитали дважды, поэтому $13+10-3=20$.","$P=\\frac{20}{40}=0{,}5$. Ответ: 0,5."],"step":1},{"id":"8","content":"В классе 60% учеников читают фантастику, 50% учеников читают детективы, а 30% — и то, и другое. Сколько процентов учеников относятся ровно к одной из этих двух групп? Ответ запишите числом без знака %. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Нарисуйте две области: ученики $A$ и ученики $B$; общая часть — те, кто в обеих группах.","«Только $A$»: $60-30=30$%; «только $B$»: $50-30=20$%.","Вместе $30+20=50$%. Ответ: 50."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В классе 70% учеников занимаются спортом, 45% учеников посещают кружок, а 25% — и то, и другое. Сколько процентов учеников относятся ровно к одной из этих двух групп? Ответ запишите числом без знака %. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"65"}},"hints":["Нарисуйте две области: ученики $A$ и ученики $B$; общая часть — те, кто в обеих группах.","«Только $A$»: $70-25=45$%; «только $B$»: $45-25=20$%.","Вместе $45+20=65$%. Ответ: 65."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В группе 55% учеников изучают английский, 35% — немецкий, 50% — ровно один из этих языков. Решавр сложил 55% и 35% и заявил, что хотя бы один язык изучают 90%. В чем ошибка Решавра? Выберите верный вывод.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Общая часть учтена дважды; обоих 40%, хотя бы одного 50%","Ошибки нет, общих учеников нет; обоих 0%, хотя бы одного 90%","Общая часть учтена дважды; обоих 20%, хотя бы одного 70%","Ошибки нет, 90% верно; обоих 20%, хотя бы одного 90%"],"explanations":["Разность 90 − 50 = 40 учитывает общую часть дважды; ее надо разделить на 2","При нулевом пересечении ровно один язык изучали бы 90%, а по условию — 50%","","Сумма 90% учитывает общую часть дважды; вычтите 20%"],"answer":[2]}},"hints":["Сумма долей изучающих языки учитывает тех, кто изучает ровно один язык, один раз, а изучающих оба — дважды.","Обозначим долю изучающих оба языка через x%. Тогда 55 + 35 = 50 + 2x, откуда x = 20.","Хотя бы один язык изучают 55 + 35 − 20 = 70%. Ответ: общая часть учтена дважды; обоих 20%, хотя бы одного 70%."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В группе 45% учеников занимаются плаванием, 40% — теннисом, 55% — ровно одним из этих видов спорта. Решавр сложил 45% и 40% и заявил, что хотя бы одним видом занимаются 85%. В чем ошибка Решавра? Выберите верный вывод.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Общая часть учтена дважды; обоих 30%, хотя бы одного 55%","Ошибки нет, общих учеников нет; обоих 0%, хотя бы одного 85%","Общая часть учтена дважды; обоих 15%, хотя бы одного 70%","Ошибки нет, 85% верно; обоих 15%, хотя бы одного 85%"],"explanations":["Разность 85 − 55 = 30 учитывает общую часть дважды; ее надо разделить на 2","При нулевом пересечении ровно одним видом занимались бы 85%, а по условию — 55%","","Сумма 85% учитывает общую часть дважды; вычтите 15%"],"answer":[2]}},"hints":["Сумма долей занимающихся учитывает тех, кто занимается ровно одним видом, один раз, а занимающихся обоими — дважды.","Обозначим долю занимающихся обоими видами через x%. Тогда 45 + 40 = 55 + 2x, откуда x = 15.","Хотя бы одним видом занимаются 45 + 40 − 15 = 70%. Ответ: общая часть учтена дважды; обоих 15%, хотя бы одного 70%."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Известно $P(A)=0{,}65$, $P(B)=0{,}55$. Выберите все значения $P(A\\cap B)$, при которых такой набор вероятностей возможен.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$0{,}40$","$0{,}10$","$0{,}20$","$0{,}60$"],"explanations":["","Объединение было бы 0,65 + 0,55 − 0,10 = 1,10, больше 1","","Пересечение 0,60 больше вероятности B = 0,55"],"answer":[0,2]}},"hints":["Разложите поле на четыре части. Доли $P(A)-c$, $P(B)-c$, $c$ и $1-P(A)-P(B)+c$ не могут быть отрицательными.","Из условия для пустой части: $c\\ge 0{,}2$. Общая часть не больше меньшего события: $c\\le 0{,}55$.","Ответ: $0{,}20$ и $0{,}40$. Для них четыре доли равны соответственно 0,45; 0,35; 0,20; 0 и 0,25; 0,15; 0,40; 0,20."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Известно $P(A)=0{,}75$, $P(B)=0{,}60$. Выберите все значения $P(A\\cap B)$, при которых такой набор вероятностей возможен.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$0{,}50$","$0{,}35$","$0{,}25$","$0{,}65$"],"explanations":["","","Объединение было бы 0,75 + 0,60 − 0,25 = 1,10, больше 1","Пересечение 0,65 больше вероятности B = 0,60"],"answer":[0,1]}},"hints":["Разложите поле на четыре части. Доли $P(A)-c$, $P(B)-c$, $c$ и $1-P(A)-P(B)+c$ не могут быть отрицательными.","Из условия для пустой части: $c\\ge 0{,}35$. Общая часть не больше меньшего события: $c\\le 0{,}60$.","Ответ: $0{,}35$ и $0{,}50$. Для них четыре доли равны соответственно 0,40; 0,25; 0,35; 0 и 0,25; 0,10; 0,50; 0,15."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>