8 класс Вероятность и статистика Рассеивание данных

Задачи ЕГЭ на серии испытаний

Содержание

На уроках «Формула Бернулли» и «Наиболее вероятное число успехов» вы научились находить вероятность ровно $k$ успехов и вероятность «хотя бы одного». В экзаменационной задаче формулу никто не подсказывает: серию нужно узнать в тексте, записать $n$, $p$ и $k$ и понять, какие столбики просит условие. Разберем это по одной схеме.

Сначала узнаем серию в тексте

Тест из пяти вопросов, у каждого четыре варианта ответа и один верный. Ученик не готовился и отвечает наугад. Какова вероятность, что он угадает хотя бы три ответа? Ответ — в конце урока.

Каждый вопрос — шаг одного и того же дерева: «угадал» с вероятностью $\frac14$ или «не угадал» с вероятностью $\frac34$. Шагов пять, они не влияют друг на друга. Это серия, и все дерево сворачивается в шесть столбиков $P_5(0), \ldots, P_5(5)$. Задача сводится к тому, чтобы понять, какие столбики сложить.

Алгоритм

Проверить схему Бернулли: число испытаний $n$ известно заранее, испытания независимы, вероятность успеха $p$ в каждом одна и та же, исходов два.
Назвать успехом то, о чем спрашивают, и записать $n$, $p$, $q=1-p$.
Перевести слова условия в набор значений $k$.
Один столбик — формула Бернулли; несколько — сумма или единица минус остальные столбики.
Записать ответ десятичной дробью; округлять только по условию.

Как проверять условия шага 1 на практике. «Монету бросают 10 раз», «стрелок делает 5 выстрелов», «проверили 8 деталей» — число испытаний названо. Слова «независимо», «независимо от других» или сам сюжет (броски монеты, разные приборы) дают независимость. Одна вероятность для каждого шага — «каждое семя всходит с вероятностью $0{,}9$»; из большой партии вероятность брака для каждой детали считают одной и той же. Два исхода получаются, когда в каждом шаге следят за одним событием: попал или нет, бракованная деталь или нет.

Алгоритм из пяти шагов: проверить, что это серия; выбрать успех; перевести слова в набор k; взять столбик или сумму; записать ответ десятичной дробью. Если не серия, дерево со своими ветками. — Пять шагов: проверка серии, параметры, набор столбиков, формула, ответ

Шаг 1 пропускать нельзя. Если хотя бы одно условие нарушено, дерево уже не состоит из одинаковых развилок, и формула $P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k}$ дает неверное число.

{"questions":[{"content":"Разложите ситуации на две группы: где работает схема Бернулли, а где нет[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Схема Бернулли","Не схема Бернулли"],"items":[["Монету бросают 7 раз и считают орлов","Из большой партии с браком 2% проверяют 10 деталей","Стрелок с вероятностью попадания $0{,}8$ делает 5 выстрелов"],["Из 8 билетов, среди которых 2 выигрышных, берут 3 разных","Первым выстрелом стрелок попадает с вероятностью $0{,}9$, каждым следующим — на $0{,}1$ реже","Кубик бросают до тех пор, пока не выпадет шестерка"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Серия — одно и то же дерево-развилка, повторенное $n$ раз: число шагов заранее известно, шаги не влияют друг на друга, вероятность успеха одна и та же.","Проверьте каждую ситуацию по трем условиям: известно ли число шагов, меняется ли состав после шага, одна ли вероятность у всех шагов.","Схема Бернулли: монета, большая партия, стрелок с постоянной вероятностью. Остальные три — не схема."],"step":1},{"content":"Среди деталей брак встречается с вероятностью $0{,}05$ независимо. Проверили 8 деталей. Найдите вероятность того, что бракованных ровно 2. Чему равны параметры формулы Бернулли, если успехом считают брак?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$n = 8$, $p = 0{,}05$, $k = 2$","$n = 8$, $p = 0{,}05$, $k = 6$","$n = 8$, $p = 0{,}95$, $k = 2$","$n = 2$, $p = 0{,}05$, $k = 8$"],"explanations":["","Число 6 — это число годных деталей, а успехом считают брак: нужно $k = 2$","Вероятность $0{,}95$ у годной детали; успехом здесь считают брак, его вероятность $0{,}05$","Перепутаны число испытаний и число успехов: деталей 8, бракованных нужно 2"],"answer":[0]}},"hints":["$n$ — число проверенных деталей.","$p$ — вероятность брака, $k$ — нужное число бракованных.","Ответ: $n = 8$, $p = 0{,}05$, $k = 2$."],"step":1}],"mix":1}

Ровно k успехов — один столбик

Пример 1

Изделие получается высшего сорта с вероятностью $0{,}7$ независимо от других. Взяли 4 изделия. Найдите вероятность того, что ровно 3 из них высшего сорта.

Решение. 1) Изделий 4, каждое — отдельный шаг с той же вероятностью: серия.

2) Успех — высший сорт: $n=4$, $p=0{,}7$, $q=0{,}3$.

3) «Ровно 3» — один столбик, $k=3$.

4) Путей с тремя успехами $C_4^3=4$, каждый весит $0{,}7^3\cdot 0{,}3=0{,}1029$. $P_4(3)=4\cdot 0{,}1029=0{,}4116$.

Ответ: $0{,}4116$.

Почему все четыре пути весят одинаково? Вес пути — произведение вероятностей на его ветках, а от перестановки множителей произведение не меняется: в каждом пути три множителя $0{,}7$ и один множитель $0{,}3$. Поэтому вес одного пути умножают на число путей $C_4^3$.

Четыре пути с тремя успехами из четырех: УУУН, УУНУ, УНУУ, НУУУ. Каждый весит 0,7³·0,3 = 0,1029; путей C(4,3)=4; P4(3)=0,4116. — Четыре пути с тремя успехами весят одинаково: 4 · 0,1029 = 0,4116

Успехом называют то, о чем спрашивают, даже если это брак или промах. В задаче «найдите вероятность ровно двух бракованных деталей» успех — брак, и $p$ — вероятность брака, а не годной детали.

Обратите внимание

Если $p$ — обыкновенная дробь, например $\frac16$ для шестерки на кубике, считайте точно в дробях и округляйте только готовый ответ. Округление $\frac16\approx 0{,}17$ в начале решения сдвигает результат.

{"questions":[{"content":"Каждое семя всходит с вероятностью $0{,}9$ независимо от других. Посеяли 4 семени. Найдите вероятность того, что взойдут ровно 3. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,2916","0.2916"]}},"hints":["Серия из $n = 4$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}9$, $q = 0{,}1$; нужно ровно $k = 3$ успехов.","Число путей с $k$ успехами: $C_{4}^{3} = 4$; каждый путь весит $0{,}9^{3} \\cdot 0{,}1$.","$P_{4}(3) = C_{4}^{3} \\cdot 0{,}9^{3} \\cdot 0{,}1 = 0{,}2916$."],"step":1},{"content":"Кубик бросают 3 раза. Найдите вероятность того, что шестерка выпадет ровно один раз. Округлите до сотых. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,35","0.35"]}},"hints":["Успех — шестерка, $p = \\frac{1}{6}$, $q = \\frac{5}{6}$, $n = 3$, $k = 1$.","$P_3(1) = 3 \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^2 = \\frac{75}{216}$.","$\\frac{75}{216} \\approx 0{,}35$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Не менее и не более — несколько столбиков

Слова «не менее», «не более», «хотя бы» означают не один столбик, а несколько. Столбики — несовместные события: нельзя одновременно получить 3 и 4 успеха. Поэтому их вероятности складываются.

Слова условия	Набор значений $k$	Как считать
ровно $k$	$k$	один столбик $P_n(k)$
не менее $k$ (хотя бы $k$)	$k, k+1, \ldots, n$	сумма столбиков справа
не более $k$	$0, 1, \ldots, k$	сумма столбиков слева, начиная с нуля
более $k$	$k+1, \ldots, n$	сумма столбиков справа, без $k$
менее $k$	$0, \ldots, k-1$	сумма столбиков слева, без $k$

Правило

Вероятность того, что число успехов попадет в набор, равна сумме столбиков этого набора. Если в наборе много столбиков, удобнее вычесть из единицы остальные:

$$P(\text{не менее } k)=1-\bigl(P_n(0)+\ldots+P_n(k-1)\bigr)$$

Пример 2

Вероятность того, что покупатель расплатится картой, равна $0{,}3$. Покупатели расплачиваются независимо. Найдите вероятность того, что из 5 покупателей картой расплатятся не менее двух.

Решение. Серия: $n=5$, $p=0{,}3$, $q=0{,}7$. «Не менее двух» — это $k=2, 3, 4, 5$, четыре столбика. Остальных столбиков два: $k=0$ и $k=1$.

$P_5(0)=0{,}7^5=0{,}16807$; $P_5(1)=5\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7^4=0{,}36015$.

$P=1-(0{,}16807+0{,}36015)=1-0{,}52822=0{,}47178$.

Ответ: $0{,}47178$.

Ошибка

Стрелок попадает с вероятностью $0{,}8$ и делает 4 выстрела. Найдите вероятность того, что он попадет не менее трех раз. Решавр пишет: $P_4(3)=4\cdot 0{,}8^3\cdot 0{,}2=0{,}4096$.

Проверка на числах. Посчитаем все столбики: $P_4(0)=0{,}0016$, $P_4(1)=0{,}0256$, $P_4(2)=0{,}1536$, $P_4(3)=0{,}4096$, $P_4(4)=0{,}4096$. Не менее трех — это $0{,}4096+0{,}4096=0{,}8192$, вдвое больше ответа Решавра.

Где сломалось рассуждение. Слова «не менее трех» прочитаны как «ровно три». Четыре попадания из четырех — тоже «не менее трех», а этот столбик потерян.

Две диаграммы P4(k) при p=0,8: слева закрашен только k=3 (0,4096), столбик k=4 потерян; справа закрашены k=3 и k=4, сумма 0,8192. — «Не менее трех» — два столбика, 0,4096 + 0,4096 = 0,8192; один столбик дает только половину

Пример с «не более»

Скрыть

Семя не всходит с вероятностью $0{,}2$ независимо от других. Посеяли 5 семян. Найдите вероятность того, что не взойдут не более одного.

Решение. Успех — семя не взошло: $n=5$, $p=0{,}2$, $q=0{,}8$. «Не более одного» — это $k=0$ и $k=1$; столбик $k=0$ легко забыть, а он тоже подходит: «ни одного» меньше, чем «один».

$P_5(0)=0{,}8^5=0{,}32768$; $P_5(1)=5\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^4=0{,}4096$; сумма $0{,}73728$.

Ответ: $0{,}73728$.

{"questions":[{"content":"Монету бросают 5 раз, $k$ — число орлов. Сопоставьте условие и набор значений $k$[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["ровно два орла","не менее двух орлов","не более двух орлов","менее двух орлов"],"items":["$k = 2$","$k = 2, 3, 4, 5$","$k = 0, 1, 2$","$k = 0, 1$","$k = 3, 4, 5$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Представьте шесть столбиков $k = 0, 1, \\ldots, 5$ и закрашивайте нужные.","«Не менее двух» — два и больше, «не более двух» — два и меньше; «менее двух» число 2 не включает.","Ровно два — $k = 2$; не менее двух — $k = 2, 3, 4, 5$; не более двух — $k = 0, 1, 2$; менее двух — $k = 0, 1$. Набор $k = 3, 4, 5$ лишний: это «более двух»."],"step":1},{"content":"Решавр искал вероятность того, что при четырех бросках монеты орел выпадет не менее трех раз, и записал: «$P_4(3) = 0{,}25$». Как исправить решение?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нужно $2 \\cdot P_4(3) = 0{,}5$","Нужно $P_4(3) \\cdot P_4(4)$","Нужно $P_4(3) + P_4(4) = 0{,}3125$","Нужно $1-P_4(3) = 0{,}75$"],"explanations":["Столбик $k = 4$ весит $0{,}0625$, а не столько же, сколько $k = 3$; удвоение не объединяет случаи","Вероятности несовместных случаев складывают, а не перемножают","","Дополнение к «не менее трех» — это «не более двух», а не «не ровно три»"],"answer":[2]}},"hints":["«Не менее трех» — это $k = 3$ и $k = 4$.","$P_4(3) = 0{,}25$, $P_4(4) = 0{,}0625$.","$0{,}25 + 0{,}0625 = 0{,}3125$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В серии из трех независимых испытаний вероятность успеха равна $0{,}2$. Найдите вероятность того, что успехов будет не более одного. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,896","0.896"]}},"hints":["Серия: $n = 3$, $p = 0{,}2$, $q = 0{,}8$. Событие распадается на несовместные случаи $k = 0, 1$.","Каждое слагаемое — по формуле Бернулли: $P_{3}(0) = 0{,}8^{3} = 0{,}512$; $P_{3}(1) = C_{3}^{1} \\cdot 0{,}2 \\cdot 0{,}8^{2} = 0{,}384$.","$P_{3}(0) + P_{3}(1) = 0{,}512 + 0{,}384 = 0{,}896$."],"step":1}],"mix":1}

Хотя бы один — все столбики, кроме нулевого

«Хотя бы один» — частный случай «не менее»: $k=1, 2, \ldots, n$. Складывать $n$ столбиков долго. Зато оставшийся столбик один — $k=0$, «ни одного успеха», и на дереве ему соответствует единственный путь из одних неуспехов. Его вес $q^n$.

Правило

Вероятность хотя бы одного успеха в серии из $n$ испытаний:

$$P(\text{хотя бы один})=1-q^n$$

Пример 3

Стрелок попадает с вероятностью $0{,}4$ и делает 3 выстрела. Найдите вероятность того, что он попадет хотя бы один раз.

Решение. Серия: $n=3$, $p=0{,}4$, $q=0{,}6$. Противоположный случай — ни одного попадания: $P_3(0)=0{,}6^3=0{,}216$.

$P=1-0{,}216=0{,}784$.

Проверка. Сумма трех столбиков $P_3(1)+P_3(2)+P_3(3)=0{,}432+0{,}288+0{,}064=0{,}784$ — то же число.

Ответ: $0{,}784$.

Диаграмма P3(k) при p=0,4: 0,216; 0,432; 0,288; 0,064. Столбик k=0 отделен, k=1..3 объединены скобкой «хотя бы один»; 1 − 0,216 = 0,784. Замечание np = 1,2 не вероятность. — Хотя бы одно попадание — все столбики, кроме k = 0: 1 − 0,216 = 0,784

Произведение $np=3\cdot 0{,}4=1{,}2$ на роль ответа не годится: вероятность не бывает больше единицы. Так ошибаются, когда складывают вероятности попаданий по отдельным выстрелам, не замечая, что эти события совместны.

Тот же прием работает для «не менее двух»: остальные столбики — $k=0$ и $k=1$, и $P=1-P_n(0)-P_n(1)$. Так был решен пример 2 из прошлого раздела.

{"questions":[{"content":"Два прибора работают независимо, каждый исправен с вероятностью $0{,}9$. Найдите вероятность того, что исправен хотя бы один. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,99","0.99"]}},"hints":["Событие противоположно тому, что не работает ни один прибор: $k = 0$ исправных.","Вероятность «ни одного исправного»: $P_2(0) = 0{,}1^2 = 0{,}01$.","$1-0{,}01 = 0{,}99$."],"step":1},{"content":"Пять приборов работают независимо, каждый отказывает с вероятностью $0{,}1$. Найдите вероятность того, что откажут не менее двух приборов. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,08146","0.08146"]}},"hints":["Проще считать через дополнение: событие противоположно тому, что успехов $k = 0, 1$.","Вероятности: $P_{5}(0) = 0{,}59049$; $P_{5}(1) = 0{,}32805$.","$1-0{,}91854 = 0{,}08146$."],"step":1}],"mix":1}

Когда серии нет и ответ на вопрос о тесте

В 10 деталях 3 бракованные. Наугад берут 3 разные детали. Какова вероятность, что бракованная ровно одна? Хочется применить формулу с $p=0{,}3$: $3\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7^2=0{,}441$. Но первая деталь бракованная с вероятностью $\frac{3}{10}$, а после нее вторая — уже с вероятностью $\frac29$. Шаги неодинаковы. Подсчет через сочетания дает $\frac{C_3^1\cdot C_7^2}{C_{10}^3}=\frac{63}{120}=0{,}525$, а не $0{,}441$.

Вторая ловушка — вероятность, которая меняется от шага к шагу. Стрелок устает: первым выстрелом попадает с вероятностью $0{,}9$, вторым — $0{,}8$, третьим — $0{,}7$. Пути с двумя попаданиями теперь весят по-разному: $0{,}9\cdot 0{,}8\cdot 0{,}3=0{,}216$, $0{,}9\cdot 0{,}2\cdot 0{,}7=0{,}126$, $0{,}1\cdot 0{,}8\cdot 0{,}7=0{,}056$. Умножить один вес на $C_3^2$ нельзя — складываем три разных пути: $0{,}398$.

Две панели: без возвращения (из 10 деталей 3 брака) вероятности второго шага меняются: 2/9, 7/9, 3/9, 6/9; и шаги с вероятностями 0,9, 0,8, 0,7. Серии нет. — Формулы Бернулли нет, если шаги дерева неодинаковы: выбор без возвращения или меняющаяся вероятность

Важно

Формулу Бернулли нельзя применять, если объекты выбирают без возвращения из небольшого набора или если вероятность успеха меняется от шага к шагу. Тогда строят дерево со своими вероятностями на каждой ветке. Если же партия большая и сказано «вероятность брака $0{,}02$», каждую деталь считают отдельным одинаковым шагом.

Проверьте себя на коротких условиях: для каждого определите, что просит задача — один столбик, несколько, все кроме нулевого — или серии нет совсем.

ege5-serii-ispytanij-bn-seriya

Задача

Вернемся к тесту из начала урока: 5 вопросов, у каждого 4 варианта, ученик угадывает. Найдите вероятность того, что он угадает не менее трех ответов. Округлите до тысячных.

Решение. Серия: $n=5$, $p=\frac14$, $q=\frac34$. «Не менее трех» — $k=3, 4, 5$, три столбика.

$P_5(3)=10\cdot\frac{1}{64}\cdot\frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$; $P_5(4)=5\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac34=\frac{15}{1024}$; $P_5(5)=\frac{1}{1024}$.

Сумма: $\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0{,}104$.

Ответ: $\approx 0{,}104$. Угадыванием набрать не менее трех верных ответов из пяти удается примерно в одном случае из десяти.

{"questions":[{"content":"В классе 10 мальчиков и 15 девочек. К доске подряд вызывают трех разных учеников. Можно ли найти вероятность ровно двух мальчиков по формуле Бернулли?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да: число вызванных учеников известно","Нет: мальчиков меньше, чем девочек","Нет: после каждого вызова состав оставшихся учеников меняется, испытания зависимы","Да: исходов два, мальчик или девочка"],"explanations":["Фиксированное $n$ не заменяет независимость и постоянство $p$","Формула Бернулли подходит для любой постоянной $p$; неравенство долей не мешает","","Два исхода — только одно из условий; независимость при вызове без возвращения нарушена"],"answer":[2]}},"hints":["Вызванных не возвращают в класс: состав меняется.","Значит, вероятность мальчика у следующего ученика другая.","Ответ: нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В тесте 4 вопроса, у каждого 4 варианта ответа и один верный. Ученик угадывает наугад. Найдите вероятность того, что он угадает ровно два ответа. Округлите до сотых. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,21","0.21"]}},"hints":["Успех — угаданный ответ, $p = \\frac{1}{4}$, $q = \\frac{3}{4}$, $n = 4$, $k = 2$.","$P_4(2) = C_4^2 \\cdot \\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^2 = 6 \\cdot \\frac{9}{256} = \\frac{54}{256}$.","$\\frac{54}{256} \\approx 0{,}21$."],"step":1},{"content":"Каждая из 6 лампочек гирлянды перегорает за год с вероятностью $0{,}1$ независимо от других. Найдите вероятность того, что за год перегорят не менее двух лампочек.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Лампочек 6, они независимы, вероятность у всех $0{,}1$ — это серия: $n=6$, $p=0{,}1$, $q=0{,}9$","Для $n=6$ «не менее двух» — это $k=2, \\ldots, 6$, поэтому берем дополнение $k=0, 1$","Столбики дополнения: $P_6(0)=0{,}531441$, $P_6(1)=0{,}354294$","Значит, $1-(P_6(0)+P_6(1))=1-0{,}885735=0{,}114265$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Пока не ясно, что это серия, формулой Бернулли пользоваться нельзя.","Что нужно знать, чтобы выписать набор $k$?","Порядок: серия и параметры → набор $k$ и дополнение → два столбика → ответ."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на серии испытаний решаются по одной схеме: проверить, что дерево состоит из одинаковых шагов, записать $n$, $p$, $q$ и перевести слова условия в набор столбиков. В экзаменационной задаче почти вся трудность — в шагах 1 и 3: проверить серию и выписать набор $k$; формула остается той же. Таблица поможет вспомнить главное:

Часто задаваемые вопросы

Когда считать сумму столбиков, а когда через дополнение?

Выбирайте тот набор, в котором меньше столбиков. «Не менее четырех из пяти» — два столбика, их проще сложить. «Не менее двух из пяти» — четыре столбика, а в дополнении два, поэтому удобнее $1-P_5(0)-P_5(1)$.

Чем «не менее» отличается от «более»?

«Не менее трех» включает сам столбик $k=3$, а «более трех» — нет: это $k=4, 5, \ldots$. Перед вычислением выпишите набор $k$ явно, тогда граница не потеряется.

Можно ли применять формулу, если детали берут из партии без возвращения?

Если партия маленькая, нельзя: после каждой детали состав меняется, и вероятность следующего успеха другая. Если в условии дана вероятность брака для любой детали, партию считают большой, и формула работает.

Нужно ли округлять ответ?

Только если об этом сказано в условии. Иначе записывают точное значение десятичной дробью. Если округлять нужно, промежуточные вычисления ведут точно, в обыкновенных дробях.

Награды за урок