Тест: 10.3.4

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Событие $A$ — «в мешке есть красные яблоки», событие $B$ — «в мешке есть зеленые яблоки», $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\\cap B)=0{,}25$. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Независимы: произведение и пересечение равны $0{,}2$","Зависимы: произведение $0{,}2$, пересечение $0{,}25$","Зависимы: произведение $0{,}25$, пересечение $0{,}2$","Независимы: произведение и пересечение равны $0{,}25$"],"explanations":["$0{,}2$ — это произведение, а пересечение по условию равно $0{,}25$; пересечение нельзя заменять произведением","","Вывод верный, но величины переставлены: произведение равно $0{,}2$, пересечение — $0{,}25$","Пересечение равно $0{,}25$, но произведение $P(A)P(B)=0{,}2$ — оно получено умножением, а не взято из условия"],"answer":[1]}},"hints":["События независимы, если $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$. Найдем произведение.","$P(A)\\cdot P(B)=0{,}4\\cdot 0{,}5=0{,}2$.","Это не равно $0{,}25$, значит события зависимы."],"step":1},{"id":"1","content":"Событие $A$ — «сотрудник знает английский», событие $B$ — «сотрудник знает немецкий», $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\\cap B)=0{,}3$. Что верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Зависимы: пересечение $0{,}3$ меньше $P(A)=0{,}6$","Независимы: произведение $0{,}3$ равно пересечению $0{,}3$","Зависимы: пересечение $0{,}3$ не равно нулю","Независимы: пересечение $0{,}3$ равно $0{,}6-0{,}3$"],"explanations":["Пересечение всегда не больше каждой из вероятностей, это не признак зависимости","","Ненулевое пересечение говорит только о том, что события совместны, а независимость проверяют произведением","Разность $0{,}6-0{,}3$ не имеет отношения к критерию, нужно сравнить пересечение с произведением"],"answer":[1]}},"hints":["События независимы, если $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$. Найдем произведение.","$P(A)\\cdot P(B)=0{,}6\\cdot 0{,}5=0{,}3$.","Это равно $P(A\\cap B)=0{,}3$, значит события независимы."],"step":1},{"id":"2","content":"События $A$ — «в классе выбран мальчик» и $B$ — «выбранный ученик пришел на олимпиаду» независимы, $P(A)=0{,}2$, $P(B)=0{,}9$. Найдите вероятность того, что произойдут оба события. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,18","0.18"]}},"hints":["Для независимых событий $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$.","$P(A\\cap B)=0{,}2\\cdot 0{,}9$.","Ответ: 0,18."],"step":1},{"id":"2","content":"События $A$ — «в среду будет дождь» и $B$ — «в среду опоздает автобус» независимы, $P(A)=0{,}35$, $P(B)=0{,}4$. Найдите вероятность того, что произойдут оба события. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,14","0.14"]}},"hints":["Для независимых событий $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$.","$P(A\\cap B)=0{,}35\\cdot 0{,}4$.","Ответ: 0,14."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте данные о событиях $A$ и $B$ и вывод о них[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\\cap B)=0{,}2$","$P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\\cap B)=0$","$P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\\cap B)=0{,}4$"],"items":["События независимы","События несовместны","События совместны, но зависимы","События противоположны"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Независимость проверяют равенством $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$; у несовместных событий $P(A\\cap B)=0$.","Для каждой строки найдите произведение $P(A)\\cdot P(B)$ и сравните его с $P(A\\cap B)$.","Ответ: 1) события независимы; 2) события несовместны; 3) события совместны, но зависимы."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте данные о событиях $A$ и $B$ и вывод о них[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$, $P(A\\cap B)=0{,}1$","$P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\\cap B)=0{,}3$","$P(A)=0{,}2$, $P(B)=0{,}7$, $P(A\\cap B)=0$"],"items":["События совместны, но зависимы","События независимы","События несовместны","События противоположны"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Независимость проверяют равенством $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$; у несовместных событий $P(A\\cap B)=0$.","Для каждой строки найдите произведение $P(A)\\cdot P(B)$ и сравните его с $P(A\\cap B)$.","Ответ: 1) события совместны, но зависимы; 2) события независимы; 3) события несовместны."],"step":1},{"id":"4","content":"Равновероятно выбирают один из 100 объектов. $A$ — «дефект покраски», $B$ — «дефект сварки». Таблица: <table><tr><th></th><th>B</th><th>Не B</th></tr><tr><td>A</td><td>0</td><td>20</td></tr><tr><td>Не A</td><td>30</td><td>50</td></tr></table> Решавр рассуждает: «Вместе эти события не встречаются и друг на друга не влияют, значит, они независимы и $P(A\\cap B)=0{,}2\\cdot 0{,}3=0{,}06$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: по таблице $P(A\\cap B)=0{,}06$","Верно, что события независимы, но $P(A\\cap B)=0$","Несовместны: $P(A\\cap B)=0\\ne 0{,}06$, события зависимы","Ошибка в арифметике: $0{,}2\\cdot 0{,}3$ не равно $0{,}06$"],"explanations":["В таблице на пересечении $A$ и $B$ стоит 0, а $0{,}06$ — только произведение вероятностей","При $P(A\\cap B)=0$ и положительных $P(A)$, $P(B)$ равенство $P(A\\cap B)=P(A)P(B)$ не выполнено, значит, независимости нет","","Произведение посчитано верно; неверно само применение формулы произведения к несовместным событиям"],"answer":[2]}},"hints":["Найдите по таблице $P(A)$, $P(B)$ и число объектов в пересечении $A\\cap B$.","$P(A)=0{,}2$, $P(B)=0{,}3$, а в пересечении 0 объектов, то есть $P(A\\cap B)=0$.","Произведение $0{,}06\\ne 0$: критерий независимости не выполнен. Если произошло $B$, то $A$ уже невозможно, поэтому шанс $A$ изменился."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Равновероятно выбирают один из 120 объектов. $A$ — «записан на кружок шахмат», $B$ — «записан на кружок хора». Таблица: <table><tr><th></th><th>B</th><th>Не B</th></tr><tr><td>A</td><td>0</td><td>36</td></tr><tr><td>Не A</td><td>48</td><td>36</td></tr></table> Решавр рассуждает: «Вместе эти события не встречаются и друг на друга не влияют, значит, они независимы и $P(A\\cap B)=0{,}3\\cdot 0{,}4=0{,}12$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Верно, что события независимы, но $P(A\\cap B)=0$","Ошибки нет: по таблице $P(A\\cap B)=0{,}12$","Ошибка в арифметике: $0{,}3\\cdot 0{,}4$ не равно $0{,}12$","Несовместны: $P(A\\cap B)=0\\ne 0{,}12$, события зависимы"],"explanations":["При $P(A\\cap B)=0$ и положительных $P(A)$, $P(B)$ равенство $P(A\\cap B)=P(A)P(B)$ не выполнено, значит, независимости нет","В таблице на пересечении $A$ и $B$ стоит 0, а $0{,}12$ — только произведение вероятностей","Произведение посчитано верно; неверно само применение формулы произведения к несовместным событиям",""],"answer":[3]}},"hints":["Найдите по таблице $P(A)$, $P(B)$ и число объектов в пересечении $A\\cap B$.","$P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}4$, а в пересечении 0 объектов, то есть $P(A\\cap B)=0$.","Произведение $0{,}12\\ne 0$: критерий независимости не выполнен. Если произошло $B$, то $A$ уже невозможно, поэтому шанс $A$ изменился."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"События $A$ — «сервер А работает» и $B$ — «сервер Б перегружен» независимы, $P(A)=0{,}35$, $P(B)=0{,}6$. Найдите вероятность того, что $A$ не произойдет, а $B$ произойдет. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["0,39","0.39"]}},"hints":["Если $A$ и $B$ независимы, то независимы и $\\overline{A}$ с $B$: знание о $B$ не меняет шанса $A$, значит, не меняет и шанса «не $A$».","$P(\\overline{A})=1-0{,}35=0{,}65$.","$P(\\overline{A}\\cap B)=0{,}65\\cdot 0{,}6=0{,}39$. Ответ: 0,39."],"step":1},{"id":"5","content":"События $A$ — «первая лампа перегорела» и $B$ — «вторая лампа исправна» независимы, $P(A)=0{,}2$, $P(B)=0{,}5$. Найдите вероятность того, что $A$ не произойдет, а $B$ произойдет. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,4","0.4"]}},"hints":["Если $A$ и $B$ независимы, то независимы и $\\overline{A}$ с $B$: знание о $B$ не меняет шанса $A$, значит, не меняет и шанса «не $A$».","$P(\\overline{A})=1-0{,}2=0{,}8$.","$P(\\overline{A}\\cap B)=0{,}8\\cdot 0{,}5=0{,}4$. Ответ: 0,4."],"step":1},{"id":"6","content":"Для независимых событий $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$. Расположите по порядку шаги нахождения $P(A\\cup B)$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["События независимы, поэтому $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$","Тогда $P(A\\cap B)=0{,}4\\cdot 0{,}5=0{,}2$","Подставим в $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)$: $0{,}4+0{,}5-0{,}2$","Значит, $P(A\\cup B)=0{,}7$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Для объединения нужно пересечение, а для независимых событий оно равно произведению.","Сначала найдите $P(A\\cap B)=0{,}4\\cdot 0{,}5$, затем подставьте в формулу объединения.","Ответ: 0,7."],"step":1},{"id":"6","content":"Для независимых событий $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}6$. Расположите по порядку шаги нахождения $P(A\\cup B)$.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["События независимы, поэтому $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$","Тогда $P(A\\cap B)=0{,}3\\cdot 0{,}6=0{,}18$","Подставим в $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)$: $0{,}3+0{,}6-0{,}18$","Значит, $P(A\\cup B)=0{,}72$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Для объединения нужно пересечение, а для независимых событий оно равно произведению.","Сначала найдите $P(A\\cap B)=0{,}3\\cdot 0{,}6$, затем подставьте в формулу объединения.","Ответ: 0,72."],"step":1},{"id":"7","content":"Из карточек с номерами от 1 до 8 равновероятно выбирают одну. Событие $A$: номер из множества $\\{1,2,3,4\\}$; $B$: из $\\{1,2,5,6\\}$; $C$: из $\\{1,2,7,8\\}$. Как связаны эти события?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Попарно независимы, но не независимы в совокупности","Попарно несовместны","Независимы в совокупности","Хотя бы одна пара зависима"],"explanations":["","Номера 1 и 2 входят в каждую пару событий.","Для тройки $1/4\\ne(1/2)^3$.","У каждой пары пересечение имеет вероятность $1/4=(1/2)^2$."],"answer":[0]}},"hints":["Каждое событие содержит четыре номера из восьми. Выпишите каждое парное пересечение и тройное.","Все три парных пересечения равны $\\{1,2\\}$: их вероятность $2/8=1/4=(1/2)(1/2)$. Пары независимы.","Тройное пересечение тоже $\\{1,2\\}$: $P(A\\cap B\\cap C)=1/4\\ne1/8$. Независимости в совокупности нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Из карточек с номерами от 1 до 8 равновероятно выбирают одну. Событие $A$: номер из множества $\\{1,2,3,4\\}$; $B$: из $\\{1,2,5,6\\}$; $C$: из $\\{1,3,5,7\\}$. Как связаны эти события?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Попарно независимы, но не независимы в совокупности","Попарно несовместны","Хотя бы одна пара зависима","Независимы в совокупности"],"explanations":["Здесь выполнено и равенство для тройки: $1/8=(1/2)^3$.","В каждом парном пересечении есть два номера.","У каждой пары пересечение имеет вероятность $1/4=(1/2)^2$.",""],"answer":[3]}},"hints":["Каждое событие содержит четыре номера из восьми. Выпишите каждое парное пересечение и тройное.","Парные пересечения: $\\{1,2\\}$, $\\{1,3\\}$, $\\{1,5\\}$. Вероятность каждого $2/8=1/4=(1/2)(1/2)$.","Тройное пересечение $\\{1\\}$ имеет вероятность $1/8=(1/2)^3$. Все пары и тройка удовлетворяют критерию: события независимы в совокупности."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Три независимых узла станка работают. Вероятности безотказной работы равны $0{,}9$, $0{,}8$ и $0{,}7$, отказы независимы. Найдите вероятность того, что работают все три. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,504","0.504"]}},"hints":["Для независимых событий вероятность пересечения — произведение вероятностей.","$P=0{,}9\\cdot 0{,}8\\cdot 0{,}7$.","Ответ: 0,504."],"step":1},{"id":"8","content":"Три независимые линии связи работают. Вероятности безотказной работы равны $0{,}95$, $0{,}9$ и $0{,}8$, отказы независимы. Найдите вероятность того, что работают все три. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,684","0.684"]}},"hints":["Для независимых событий вероятность пересечения — произведение вероятностей.","$P=0{,}95\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}8$.","Ответ: 0,684."],"step":1},{"id":"9","content":"Распределите пары событий на независимые и зависимые.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Независимые события","Зависимые события"],"items":[["Бросают монету и кубик: выпал орел; выпала шестерка","Бросают два кубика: сумма равна 7; на первом кубике выпала единица","Двое стрелков стреляют по разным мишеням: первый попал; второй попал"],["Бросают два кубика: сумма равна 12; на первом кубике выпала шестерка","Из колоды вынимают две карты подряд без возвращения: первая — туз; вторая — туз","Бросают кубик: выпало число 6; выпало четное число"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Для независимых событий знание об одном не меняет шанс другого; проверяйте равенством $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$, а не на глаз.","Несовместные события с положительными вероятностями зависимы: $P(A\\cap B)=0$, а $P(A)P(B)>0$. Для карт без возвращения вторая карта зависит от первой. Остальные пары проверяйте равенством $P(A\\cap B)=P(A)P(B)$.","Разбор ловушек. Сумма 7 и единица на первом кубике: $\\frac1{36}=\\frac16\\cdot\\frac16$, независимы, хотя события «связаны на вид». Сумма 12 и шестерка: $\\frac1{36}\\ne\\frac1{36}\\cdot\\frac16$, зависимы. Выпала 6 и четное: $\\frac16\\ne\\frac16\\cdot\\frac12$, зависимы. Ответ: Бросают монету и кубик: выпал орел; выпала шестерка; Бросают два кубика: сумма равна 7; на первом кубике выпала единица; Двое стрелков стреляют по разным мишеням: первый попал; второй попал — независимые; остальные — зависимые."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Распределите пары событий на независимые и зависимые.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Независимые события","Зависимые события"],"items":[["Бросают две монеты: на первой орел; на второй решка","Бросают два кубика: сумма равна 7; на втором кубике выпала шестерка","Бросают кубик: выпало четное число; выпало число, кратное 3"],["Бросают два кубика: сумма равна 8; на первом кубике выпала шестерка","В урне 3 красных и 2 синих шара; наугад вынимают два без возвращения: первый красный; второй красный","Бросают кубик: выпало число больше 3; выпало число 2"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Для независимых событий знание об одном не меняет шанс другого; проверяйте равенством $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$, а не на глаз.","Несовместные события с положительными вероятностями зависимы: $P(A\\cap B)=0$, а $P(A)P(B)>0$. Для урны с 3 красными и 2 синими шарами при двух извлечениях без возвращения $P(A)=P(B)=\\frac35$, но $P(A\\cap B)=\\frac35\\cdot\\frac24=\\frac3{10}\\ne\\frac9{25}$. Остальные пары проверяйте равенством $P(A\\cap B)=P(A)P(B)$.","Разбор ловушек. Сумма 7 и шестерка на втором кубике: $\\frac1{36}=\\frac16\\cdot\\frac16$, независимы. Сумма 8 и шестерка на первом: $\\frac1{36}\\ne\\frac5{36}\\cdot\\frac16$, зависимы. Четное и кратное 3: $\\frac16=\\frac12\\cdot\\frac13$, независимы. Ответ: Бросают две монеты: на первой орел; на второй решка; Бросают два кубика: сумма равна 7; на втором кубике выпала шестерка; Бросают кубик: выпало четное число; выпало число, кратное 3 — независимые; остальные — зависимые."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"События $A$ — «исправен первый узел станка» и $B$ — «исправен второй узел станка» независимы, $P(A)=0{,}9$, $P(B)=0{,}8$. Найдите вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,98","0.98"]}},"hints":["«Хотя бы одно» противоположно событию «не произошло ни $A$, ни $B$»; для независимых событий вероятности противоположных тоже перемножаются.","$P(\\overline{A}\\cap\\overline{B})=(1-0{,}9)(1-0{,}8)=0{,}02$.","$P=1-0{,}02=0{,}98$. Ответ: 0,98."],"step":1},{"id":"10","content":"События $A$ — «сработал первый датчик» и $B$ — «сработал второй датчик» независимы, $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}7$. Найдите вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,88","0.88"]}},"hints":["«Хотя бы одно» противоположно событию «не произошло ни $A$, ни $B$»; для независимых событий вероятности противоположных тоже перемножаются.","$P(\\overline{A}\\cap\\overline{B})=(1-0{,}6)(1-0{,}7)=0{,}12$.","$P=1-0{,}12=0{,}88$. Ответ: 0,88."],"step":1}]}</textarea></pre></div>