Формула Байеса (углубленный)

{"questions":[{"content":"Болезнью страдают 2% людей. Тест дает положительный результат у 80% больных и у 10% здоровых. Сколько человек из 1000 получат положительный результат? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"114"}},"hints":["Больных $1000\\cdot 0{,}02=20$, здоровых 980.","Положительный результат: $20\\cdot 0{,}8=16$ у больных и $980\\cdot 0{,}1=98$ у здоровых.","Всего $16+98=114$. Ответ: 114."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Болезнью страдают 10% людей. Тест дает положительный результат у 90% больных и у 10% здоровых. Человек получил положительный результат. Какова вероятность того, что он болен? Рассуждайте на группе из 1000 человек. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kc6evntcb1cq.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":["0,5","0.5"]}},"hints":["Из 1000 человек больны $1000\\cdot 0{,}1=100$, здоровы 900.","Положительный результат у $100\\cdot 0{,}9=90$ больных и у $900\\cdot 0{,}1=90$ здоровых — всего 180 человек.","Больных среди положительных: $\\frac{90}{180}=0{,}5$. Ответ: 0,5."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги метода частот для задачи «тест положителен — какова вероятность болезни» по порядку[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Найти больных и здоровых среди 1000 человек: 20 и 980","Найти положительных в группах: 80% от 20 и 10% от 980","Сложить числа положительных: 16 и 98","Разделить 16 на 114"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Положительные результаты считают отдельно у больных и у здоровых — значит, сначала нужны сами группы.","Новое поле — все люди с положительным результатом: его размер — сумма по двум группам.","Порядок: группы → положительные в каждой группе → их сумма → доля больных в этой сумме."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Пусть $H$ — «человек болен», $A$ — «тест положителен». Соотнесите запись и ее смысл[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$P(H)$","$P(A\\vert H)$","$P(H\\vert A)$","$P(A)$"],"items":["доля больных среди всех людей","доля положительных результатов среди больных","доля больных среди людей с положительным результатом","доля положительных результатов среди всех людей","доля здоровых среди людей с положительным результатом"]}},"instruction":"Соотнесите запись и ее смысл","hints":["После черты стоит условие: до него сужается поле. Перед чертой — то, долю чего ищут внутри нового поля.","В $P(A\\vert H)$ поле сужено до больных, в $P(H\\vert A)$ — до людей с положительным результатом.","Ответ: P(H) — больные среди всех; P(A | H) — положительные среди больных; P(H | A) — больные среди положительных; P(A) — положительные среди всех."],"step":1},{"content":"Болезнь есть у 1% людей, тест положителен у больных с вероятностью $0{,}5$ и у здоровых с вероятностью $0{,}05$. Что стоит в знаменателе формулы Байеса при вычислении вероятности болезни после положительного теста?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0{,}5$","$0{,}01$","$0{,}0545$","$0{,}005$"],"explanations":["Это вероятность положительного результата только у больных","Это вероятность болезни до теста, а не вероятность положительного результата","","Это вероятность быть больным и получить положительный результат; в знаменателе нужны еще и здоровые с положительным результатом"],"answer":[2]}},"hints":["В знаменателе стоит вероятность того, что наблюдаемое событие (положительный тест) вообще произошло.","Это полная вероятность: $0{,}01\\cdot 0{,}5+0{,}99\\cdot 0{,}05$ — вычислите сумму.","Ответ: $0{,}0545$."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"$P(H\\mid A)=\\dfrac{[[fill_choice-1]]}{P(A)}$, где $P(A)$ — полная вероятность события $A$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$P(H)+P(A\\mid H)$","$P(H\\mid A)$","$P(A\\mid H)$","$P(H)\\cdot P(A\\mid H)$"],"answer":3}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["Что останется в поле, если оставить только исходы события $A$? Сколько из них приходится на гипотезу $H$?","Путь через $H$ на дереве — два шага: сначала выбрана гипотеза, потом внутри нее наступило $A$. Что нужно перемножить?","Ответ: $P(H)\\cdot P(A\\mid H)$ — вес гипотезы на долю $A$ внутри нее."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Первый цех изготавливает 60% деталей, остальные — второй цех. Доля брака у первого цеха равна $0{,}02$, у второго цеха — $0{,}05$. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что ее изготовил первый цех. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/srvoyuux7mf8.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["0,375","0.375"]}},"hints":["Вклады в полную вероятность брака: $0{,}6\\cdot 0{,}02=0{,}012$ и $0{,}4\\cdot 0{,}05=0{,}02$.","Знаменатель — полная вероятность брака: $P(A)=0{,}012+0{,}02=0{,}032$.","$P(H_1\\mid A)=\\frac{0{,}012}{0{,}032}=0{,}375$. Ответ: 0,375."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Болезнь есть у 1% людей. Тест положителен у больного с вероятностью $0{,}99$ и у здорового с вероятностью $0{,}04$. Пусть $H$ — «человек болен», $A$ — «тест положителен». Чему равна $P(H\\mid A)$ и как она соотносится с $P(A\\mid H)$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/2ppwd31k96pi.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$P(H\\mid A)=0{,}01$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}99$","$P(H\\mid A)=0{,}99$, равно $P(A\\mid H)=0{,}99$","$P(H\\mid A)=0{,}96$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}99$","$P(H\\mid A)=0{,}2$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}99$"],"explanations":["$0{,}01$ — вероятность болезни до теста, а после положительного результата она изменилась","$P(A\\mid H)$ — точность теста; доля больных среди положительных равна $0{,}2$, это другое число","$0{,}96$ — доля здоровых с отрицательным результатом, а не больных среди положительных",""],"answer":[3]}},"hints":["Представьте 1000 человек: сколько больных и сколько здоровых получат положительный результат? Какую долю составляют больные?","$P(H\\mid A)=\\frac{0{,}01\\cdot 0{,}99}{0{,}01\\cdot 0{,}99+0{,}99\\cdot 0{,}04}$ — вычислите дробь.","Ответ: $P(H\\mid A)=0{,}2$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}99$."],"step":1},{"content":"Болезнью страдают 2% людей. Тест положителен у 70% больных и у 10% здоровых. Решавр рассуждает: «Тест дает положительный результат у 70% больных. Результат положителен, значит, человек болен с вероятностью 0,7». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Не вычел из единицы: $1-0{,}7$","Ошибки нет: точность теста дает вероятность болезни","Взял болезнь до теста: $0{,}02$","Перепутал $P(A\\mid H)$ и $P(H\\mid A)$"],"explanations":["Эта разность — доля больных с отрицательным результатом, на вопрос она не отвечает","Точность теста — доля положительных среди больных, а не доля больных среди положительных","Это вероятность болезни до теста; после положительного результата она изменилась",""],"answer":[3]}},"hints":["Различайте: «положителен при болезни» — это $P(A\\mid H)$, «болен при положительном тесте» — $P(H\\mid A)$.","Из группы в 1000 человек положительный результат получат и больные, и здоровые; здоровых гораздо больше.","Верно: $P(H\\mid A)=0{,}125$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Первый цех изготавливает 80% деталей, второй цех — 20%. Доля брака у первого цеха равна $0{,}01$, у второго цеха — $0{,}08$. Взятая деталь оказалась бракованной. Какой цех вероятнее изготовил деталь?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Одинаково вероятно","Первый цех","Определить нельзя","Второй цех"],"explanations":["Вклады различны: $0{,}008$ и $0{,}016$","Первый цех выпускает больше деталей, но его брак реже: вклад $0{,}008$ меньше $0{,}016$","Данных достаточно: веса и доли брака заданы",""],"answer":[3]}},"hints":["Что останется в поле, если оставить только бракованные детали? Сравните, сколько брака дает каждый источник.","Вклады: первого цеха — $0{,}8\\cdot 0{,}01$, второго цеха — $0{,}2\\cdot 0{,}08$ — вычислите и сравните.","Больше вклад у второго цеха. Ответ: Второй цех."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Детали поступают с трех цехов: 50%, 30% и 20%. Доли брака равны $0{,}02$, $0{,}04$, $0{,}05$. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что она изготовлена в цехе 3. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,3125","0.3125"]}},"hints":["Вклад каждого цеха: вес умножаем на долю брака — $0{,}5\\cdot 0{,}02=0{,}01$, $0{,}3\\cdot 0{,}04=0{,}012$, $0{,}2\\cdot 0{,}05=0{,}01$.","Знаменатель — сумма вкладов: $0{,}01 + 0{,}012 + 0{,}01=0{,}032$.","$P(H_3\\mid A)=\\frac{0{,}01}{0{,}032}=0{,}3125$. Ответ: 0,3125."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Первый завод изготавливает 40% деталей, остальные — второй завод. Доля брака у второго завода равна $0{,}05$. Известно, что среди бракованных деталей вероятность того, что деталь изготовил первый завод, равна $0{,}5$. Найдите долю брака у первого завода. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,075","0.075"]}},"hints":["Пусть $s$ — доля брака у первого завода. Вклады в брак: $0{,}4s$ и $0{,}6\\cdot 0{,}05=0{,}03$.","По формуле Байеса $\\frac{0{,}4s}{0{,}4s+0{,}03}=0{,}5$.","Отсюда $0{,}4s=\\frac{0{,}5}{1-0{,}5}\\cdot 0{,}03$, $s=0{,}075$. Ответ: 0,075."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}