Тест: 10.3.6

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Болезнью страдают 5% людей. Тест дает положительный результат у 60% больных и у 10% здоровых. Человек получил положительный результат. Какова вероятность того, что он болен? Рассуждайте на группе из 1000 человек. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,24","0.24"]}},"hints":["Из 1000 человек больны $1000\\cdot 0{,}05=50$, здоровы 950.","Положительный результат у $50\\cdot 0{,}6=30$ больных и у $950\\cdot 0{,}1=95$ здоровых — всего 125 человек.","Больных среди положительных: $\\frac{30}{125}=0{,}24$. Ответ: 0,24."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-1]]Болезнью страдают 20% людей. Тест дает положительный результат у 80% больных и у 5% здоровых. Человек получил положительный результат. Какова вероятность того, что он болен? Рассуждайте на группе из 1000 человек. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tsobcuslk8ts.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":["0,8","0.8"]}},"hints":["Из 1000 человек больны $1000\\cdot 0{,}2=200$, здоровы 800.","Положительный результат у $200\\cdot 0{,}8=160$ больных и у $800\\cdot 0{,}05=40$ здоровых — всего 200 человек.","Больных среди положительных: $\\frac{160}{200}=0{,}8$. Ответ: 0,8."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]Первый цех изготавливает 30% деталей, остальные — второй цех. Доля брака у первого цеха равна $0{,}03$, у второго цеха — $0{,}01$. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что ее изготовил первый цех. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-3]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kusgjqzg84zk.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":["0,5625","0.5625"]}},"hints":["Вклады в полную вероятность брака: $0{,}3\\cdot 0{,}03=0{,}009$ и $0{,}7\\cdot 0{,}01=0{,}007$.","Знаменатель — полная вероятность брака: $P(A)=0{,}009+0{,}007=0{,}016$.","$P(H_1\\mid A)=\\frac{0{,}009}{0{,}016}=0{,}5625$. Ответ: 0,5625."],"step":1},{"id":"2","content":"Первый комбинат изготавливает 40% деталей, остальные — второй комбинат. Доля брака у первого комбината равна $0{,}03$, у второго комбината — $0{,}02$. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что ее изготовил первый комбинат. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,5","0.5"]}},"hints":["Вклады в полную вероятность брака: $0{,}4\\cdot 0{,}03=0{,}012$ и $0{,}6\\cdot 0{,}02=0{,}012$.","Знаменатель — полная вероятность брака: $P(A)=0{,}012+0{,}012=0{,}024$.","$P(H_1\\mid A)=\\frac{0{,}012}{0{,}024}=0{,}5$. Ответ: 0,5."],"step":1},{"id":"3","content":"Детали поступают с трех цехов: 60%, 30% и 10%. Доли брака равны $0{,}03$, $0{,}02$, $0{,}01$. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что она изготовлена в цехе 1. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,72","0.72"]}},"hints":["Вклад каждого цеха: вес умножаем на долю брака — $0{,}6\\cdot 0{,}03=0{,}018$, $0{,}3\\cdot 0{,}02=0{,}006$, $0{,}1\\cdot 0{,}01=0{,}001$.","Знаменатель — сумма вкладов: $0{,}018 + 0{,}006 + 0{,}001=0{,}025$.","$P(H_1\\mid A)=\\frac{0{,}018}{0{,}025}=0{,}72$. Ответ: 0,72."],"step":1},{"id":"3","content":"Детали поступают с трех цехов: 40%, 40% и 20%. Доли брака равны $0{,}01$, $0{,}02$, $0{,}1$. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что она изготовлена в цехе 3. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,625","0.625"]}},"hints":["Вклад каждого цеха: вес умножаем на долю брака — $0{,}4\\cdot 0{,}01=0{,}004$, $0{,}4\\cdot 0{,}02=0{,}008$, $0{,}2\\cdot 0{,}1=0{,}02$.","Знаменатель — сумма вкладов: $0{,}004 + 0{,}008 + 0{,}02=0{,}032$.","$P(H_3\\mid A)=\\frac{0{,}02}{0{,}032}=0{,}625$. Ответ: 0,625."],"step":1},{"id":"4","content":"Болезнь есть у 4% людей. Тест положителен у больного с вероятностью $0{,}8$ и у здорового с вероятностью $0{,}05$. Пусть $H$ — «человек болен», $A$ — «тест положителен». Чему равна $P(H\\mid A)$ и как она соотносится с $P(A\\mid H)$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$P(H\\mid A)=0{,}4$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}8$","$P(H\\mid A)=0{,}95$, больше $P(A\\mid H)=0{,}8$","$P(H\\mid A)=0{,}8$, равно $P(A\\mid H)=0{,}8$","$P(H\\mid A)=0{,}04$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}8$"],"explanations":["","$0{,}95$ — доля здоровых с отрицательным результатом, а не больных среди положительных","$P(A\\mid H)$ — точность теста; доля больных среди положительных равна $0{,}4$, это другое число","$0{,}04$ — вероятность болезни до теста, а после положительного результата она изменилась"],"answer":[0]}},"hints":["Представьте 1000 человек: сколько больных и сколько здоровых получат положительный результат? Какую долю составляют больные?","$P(H\\mid A)=\\frac{0{,}04\\cdot 0{,}8}{0{,}04\\cdot 0{,}8+0{,}96\\cdot 0{,}05}$ — вычислите дробь.","Ответ: $P(H\\mid A)=0{,}4$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}8$."],"step":1},{"id":"4","content":"Болезнь есть у 10% людей. Тест положителен у больного с вероятностью $0{,}99$ и у здорового с вероятностью $0{,}05$. Пусть $H$ — «человек болен», $A$ — «тест положителен». Чему равна $P(H\\mid A)$ и как она соотносится с $P(A\\mid H)$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$P(H\\mid A)=0{,}1$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}99$","$P(H\\mid A)=0{,}95$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}99$","$P(H\\mid A)=0{,}99$, равно $P(A\\mid H)=0{,}99$","$P(H\\mid A)=0{,}6875$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}99$"],"explanations":["$0{,}1$ — вероятность болезни до теста, а после положительного результата она изменилась","$0{,}95$ — доля здоровых с отрицательным результатом, а не больных среди положительных","$P(A\\mid H)$ — точность теста; доля больных среди положительных равна $0{,}6875$, это другое число",""],"answer":[3]}},"hints":["Представьте 1000 человек: сколько больных и сколько здоровых получат положительный результат? Какую долю составляют больные?","$P(H\\mid A)=\\frac{0{,}1\\cdot 0{,}99}{0{,}1\\cdot 0{,}99+0{,}9\\cdot 0{,}05}$ — вычислите дробь.","Ответ: $P(H\\mid A)=0{,}6875$, меньше $P(A\\mid H)=0{,}99$."],"step":1},{"id":"5","content":"Болезнью страдает 1% людей. Тест положителен у 90% больных и у 2% здоровых. Решавр рассуждает: «Тест дает положительный результат у 90% больных. Результат положителен, значит, человек болен с вероятностью 0,9». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Перепутал $P(A\\mid H)$ и $P(H\\mid A)$","Взял болезнь до теста: $0{,}01$","Ошибки нет: точность теста дает вероятность болезни","Не вычел из единицы: $1-0{,}9$"],"explanations":["","Это вероятность болезни до теста; после положительного результата она изменилась","Точность теста — доля положительных среди больных, а не доля больных среди положительных","Эта разность — доля больных с отрицательным результатом, на вопрос она не отвечает"],"answer":[0]}},"hints":["Различайте: «положителен при болезни» — это $P(A\\mid H)$, «болен при положительном тесте» — $P(H\\mid A)$.","Из группы в 1000 человек положительный результат получат и больные, и здоровые; здоровых гораздо больше.","Верно: $P(H\\mid A)=0{,}3125$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Болезнью страдают 4% людей. Тест положителен у 80% больных и у 10% здоровых. Решавр рассуждает: «Тест дает положительный результат у 80% больных. Результат положителен, значит, человек болен с вероятностью 0,8». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Взял болезнь до теста: $0{,}04$","Не вычел из единицы: $1-0{,}8$","Перепутал $P(A\\mid H)$ и $P(H\\mid A)$","Ошибки нет: точность теста дает вероятность болезни"],"explanations":["Это вероятность болезни до теста; после положительного результата она изменилась","Эта разность — доля больных с отрицательным результатом, на вопрос она не отвечает","","Точность теста — доля положительных среди больных, а не доля больных среди положительных"],"answer":[2]}},"hints":["Различайте: «положителен при болезни» — это $P(A\\mid H)$, «болен при положительном тесте» — $P(H\\mid A)$.","Из группы в 1000 человек положительный результат получат и больные, и здоровые; здоровых гораздо больше.","Верно: $P(H\\mid A)=0{,}25$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Деталь оказалась бракованной. Соотнесите цех (вес и доля брака) и его вклад $P(H_i)\\cdot P(A\\mid H_i)$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Первый цех: вес $0{,}6$, брак $0{,}02$","Второй цех: вес $0{,}3$, брак $0{,}05$","Третий цех: вес $0{,}1$, брак $0{,}1$"],"items":["вклад $0{,}012$","вклад $0{,}015$","вклад $0{,}01$","$0{,}037$ — сумма вкладов"]}},"instruction":"Соотнесите цех и его вклад","hints":["Вклад цеха — вес цеха, умноженный на долю брака в нем.","Перемножьте два числа для каждого цеха; сумма всех вкладов в ответах лишняя.","Ответ: Первый цех — 0,012; Второй цех — 0,015; Третий цех — 0,01."],"step":1},{"id":"6","content":"Деталь оказалась бракованной. Соотнесите цех (вес и доля брака) и его вклад $P(H_i)\\cdot P(A\\mid H_i)$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Первый цех: вес $0{,}5$, брак $0{,}03$","Второй цех: вес $0{,}3$, брак $0{,}04$","Третий цех: вес $0{,}2$, брак $0{,}02$"],"items":["вклад $0{,}015$","вклад $0{,}012$","вклад $0{,}004$","$0{,}031$ — сумма вкладов"]}},"instruction":"Соотнесите цех и его вклад","hints":["Вклад цеха — вес цеха, умноженный на долю брака в нем.","Перемножьте два числа для каждого цеха; сумма всех вкладов в ответах лишняя.","Ответ: Первый цех — 0,015; Второй цех — 0,012; Третий цех — 0,004."],"step":1},{"id":"7","content":"Первый цех изготавливает 50% деталей, остальные — второй цех. Доля брака у второго цеха равна $0{,}04$. Известно, что среди бракованных деталей вероятность того, что деталь изготовил первый цех, равна $0{,}75$. Найдите долю брака у первого цеха. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,12","0.12"]}},"hints":["Пусть $s$ — доля брака у первого цеха. Вклады в брак: $0{,}5s$ и $0{,}5\\cdot 0{,}04=0{,}02$.","По формуле Байеса $\\frac{0{,}5s}{0{,}5s+0{,}02}=0{,}75$.","Отсюда $0{,}5s=\\frac{0{,}75}{1-0{,}75}\\cdot 0{,}02$, $s=0{,}12$. Ответ: 0,12."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Первый завод изготавливает 25% деталей, остальные — второй завод. Доля брака у второго завода равна $0{,}05$. Известно, что среди бракованных деталей вероятность того, что деталь изготовил первый завод, равна $0{,}4$. Найдите долю брака у первого завода. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,1","0.1"]}},"hints":["Пусть $s$ — доля брака у первого завода. Вклады в брак: $0{,}25s$ и $0{,}75\\cdot 0{,}05=0{,}0375$.","По формуле Байеса $\\frac{0{,}25s}{0{,}25s+0{,}0375}=0{,}4$.","Отсюда $0{,}25s=\\frac{0{,}4}{1-0{,}4}\\cdot 0{,}0375$, $s=0{,}1$. Ответ: 0,1."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Болезнь есть у 10% людей. Тест положителен у больного с вероятностью $0{,}9$ и у здорового с вероятностью $0{,}1$; повторные тесты при данном состоянии человека независимы. Человек получил два положительных результата подряд. Найдите вероятность того, что он болен. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["0,9","0.9"]}},"hints":["После первого теста вероятность болезни: $\\frac{0{,}1\\cdot 0{,}9}{0{,}1\\cdot 0{,}9+0{,}9\\cdot 0{,}1}=0{,}5$.","Это новый вес гипотезы «болен» перед вторым тестом (здоров — $0{,}5$).","$\\frac{0{,}5\\cdot 0{,}9}{0{,}5\\cdot 0{,}9+0{,}5\\cdot 0{,}1}=0{,}9$. Ответ: 0,9."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Болезнь есть у 20% людей. Тест положителен у больного с вероятностью $0{,}8$ и у здорового с вероятностью $0{,}2$; повторные тесты при данном состоянии человека независимы. Человек получил два положительных результата подряд. Найдите вероятность того, что он болен. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["0,8","0.8"]}},"hints":["После первого теста вероятность болезни: $\\frac{0{,}2\\cdot 0{,}8}{0{,}2\\cdot 0{,}8+0{,}8\\cdot 0{,}2}=0{,}5$.","Это новый вес гипотезы «болен» перед вторым тестом (здоров — $0{,}5$).","$\\frac{0{,}5\\cdot 0{,}8}{0{,}5\\cdot 0{,}8+0{,}5\\cdot 0{,}2}=0{,}8$. Ответ: 0,8."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Болезнью страдает 1% людей. Тест дает положительный результат у 90% больных и у 20% здоровых. Сколько человек из 1000 получат положительный результат? [[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":"207"}},"hints":["Больных $1000\\cdot 0{,}01=10$, здоровых 990.","Положительный результат: $10\\cdot 0{,}9=9$ у больных и $990\\cdot 0{,}2=198$ у здоровых.","Всего $9+198=207$. Ответ: 207."],"step":1},{"id":"9","content":"Болезнью страдают 5% людей. Тест дает положительный результат у 50% больных и у 10% здоровых. Сколько человек из 1000 получат положительный результат? [[input-12]]","widgets":{"input-12":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Больных $1000\\cdot 0{,}05=50$, здоровых 950.","Положительный результат: $50\\cdot 0{,}5=25$ у больных и $950\\cdot 0{,}1=95$ у здоровых.","Всего $25+95=120$. Ответ: 120."],"step":1},{"id":"10","content":"В почту приходит 20% спама. Слово «выигрыш» встречается в 50% спама и в 5% обычных писем. Пришло письмо со словом «выигрыш». Вероятность того, что оно спам: $P(H\\mid A)=\\dfrac{0{,}2\\cdot 0{,}5}{[[fill_choice-1]]}$. Что стоит в знаменателе?","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$0{,}14$","$0{,}5$","$0{,}1$","$0{,}2$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["В знаменателе стоит вероятность того, что слово «выигрыш» есть в письме вообще.","Это сумма двух вкладов: $0{,}2\\cdot 0{,}5+0{,}8\\cdot 0{,}05$.","Ответ: $0{,}14$."],"step":1},{"id":"10","content":"В почту приходит 25% спама. Слово «выигрыш» встречается в 40% спама и в 4% обычных писем. Пришло письмо со словом «выигрыш». Вероятность того, что оно спам: $P(H\\mid A)=\\dfrac{0{,}25\\cdot 0{,}4}{[[fill_choice-2]]}$. Что стоит в знаменателе?","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$0{,}4$","$0{,}1$","$0{,}13$","$0{,}25$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["В знаменателе стоит вероятность того, что слово «выигрыш» есть в письме вообще.","Это сумма двух вкладов: $0{,}25\\cdot 0{,}4+0{,}75\\cdot 0{,}04$.","Ответ: $0{,}13$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>