Тест: 10.3.3

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В коробке 6 шаров, из них 3 красных. Наугад вынимают два шара подряд, не возвращая первый. Найдите вероятность того, что оба шара красные. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fd8d3sisq92n.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["Первый шар красный (К): $P=3/6$ — на первой развилке.","После этого шаров в коробке 5, красных из них 2: $P(\\text{К}_2\\mid \\text{К}_1)=\\frac{2}{5}$.","$P=\\frac{3}{6}\\cdot\\frac{2}{5}=0{,}2$. Ответ: 0,2."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В коробке 5 шаров, из них 2 красных. Наугад вынимают два шара подряд, не возвращая первый. Найдите вероятность того, что оба шара красные. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3yidy0dsjmpr.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":["0,1","0.1"]}},"hints":["Первый шар красный (К): $P=2/5$ — на первой развилке.","После этого шаров в коробке 4, красных из них 1: $P(\\text{К}_2\\mid \\text{К}_1)=\\frac{1}{4}$.","$P=\\frac{2}{5}\\cdot\\frac{1}{4}=0{,}1$. Ответ: 0,1."],"step":1},{"id":"2","content":"Два шара вынимают по очереди (К — красный, С — синий). Событие: «ровно один шар красный». Распределите последовательности цветов.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Входит в событие","Не входит в событие"],"items":[["КС","СК"],["КК","СС"]]}},"instruction":"Распределите последовательности","hints":["Событие состоит из тех полных путей дерева, в которых выполнено условие.","Проверьте каждую последовательность на условие события.","Ответ: по две последовательности в каждую группу."],"step":1},{"id":"2","content":"Два шара вынимают по очереди (К — красный, С — синий). Событие: «оба шара одного цвета». Распределите последовательности цветов.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Входит в событие","Не входит в событие"],"items":[["КК","СС"],["КС","СК"]]}},"instruction":"Распределите последовательности","hints":["Событие состоит из тех полных путей дерева, в которых выполнено условие.","Проверьте каждую последовательность на условие события.","Ответ: по две последовательности в каждую группу."],"step":1},{"id":"3","content":"В коробке 6 шаров, из них 4 красных. Наугад вынимают три шара подряд, не возвращая их. Найдите вероятность того, что все три шара красные. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["Нарисуйте путь по дереву: на каждом шаге и красных, и всех шаров становится на один меньше.","$P=\\frac{4}{6}\\cdot\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{2}{4}$.","Ответ: 0,2."],"step":1},{"id":"3","content":"В коробке 5 шаров, из них 4 красных. Наугад вынимают три шара подряд, не возвращая их. Найдите вероятность того, что все три шара красные. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,4","0.4"]}},"hints":["Нарисуйте путь по дереву: на каждом шаге и красных, и всех шаров становится на один меньше.","$P=\\frac{4}{5}\\cdot\\frac{3}{4}\\cdot\\frac{2}{3}$.","Ответ: 0,4."],"step":1},{"id":"4","content":"В коробке 12 карточек, на 5 из них четные номера. Вынимают две карточки подряд; первую возвращают в коробку и перемешивают. Каким выражением записывается вероятность того, что обе карточки с четными номерами?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{5}{12}\\cdot\\frac{5}{11}$","$\\frac{5}{12}\\cdot\\frac{5}{12}$","$\\frac{5}{12}+\\frac{4}{11}$","$\\frac{5}{12}\\cdot\\frac{4}{11}$"],"explanations":["Знаменатель уменьшили, а число четных оставили: так не бывает ни с возвращением, ни без него","","Нужны оба результата, поэтому применяют правило умножения; простая сумма не подходит: события могут произойти вместе","Так считают, когда карточку не возвращают: во втором множителе число карточек уменьшается"],"answer":[1]}},"hints":["Определите, меняется ли состав коробки перед вторым шагом.","Первую карточку вернули, состав прежний.","Ответ: $\\frac{5}{12}\\cdot\\frac{5}{12}$."],"step":1},{"id":"4","content":"В коробке 10 карточек, на 4 из них четные номера. Вынимают две карточки подряд; первую не возвращают. Каким выражением записывается вероятность того, что обе карточки с четными номерами?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\frac{4}{10}\\cdot\\frac{3}{9}$","$\\frac{4}{10}\\cdot\\frac{4}{10}$","$\\frac{4}{10}+\\frac{3}{9}$","$\\frac{4}{10}\\cdot\\frac{4}{9}$"],"explanations":["","Так считают, когда карточку возвращают: оба множителя одинаковы","Нужны оба результата, поэтому применяют правило умножения; простая сумма не подходит: события могут произойти вместе","Знаменатель уменьшили, а число четных оставили: так не бывает ни с возвращением, ни без него"],"answer":[0]}},"hints":["Определите, меняется ли состав коробки перед вторым шагом.","Первую карточку не вернули: карточек стало на одну меньше, четных тоже.","Ответ: $\\frac{4}{10}\\cdot\\frac{3}{9}$."],"step":1},{"id":"5","content":"В коробке 5 шаров, из них 2 красных. Шар вынимают наугад, возвращают, шары перемешивают и снова вынимают наугад; каждый раз все шары имеют равные шансы. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз вынут красный шар. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,64","0.64"]}},"hints":["Противоположное событие: оба раза вынут не красный шар. Шаг повторяется, поэтому вероятности перемножаются.","$P(\\text{оба шара не красные})=\\left(1-0{,}4\\right)^2=0{,}36$.","$P=1-0{,}36=0{,}64$. Ответ: 0,64."],"step":1},{"id":"5","content":"В коробке 10 шаров, из них 3 красных. Шар вынимают наугад, возвращают, шары перемешивают и снова вынимают наугад; каждый раз все шары имеют равные шансы. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз вынут красный шар. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,51","0.51"]}},"hints":["Противоположное событие: оба раза вынут не красный шар. Шаг повторяется, поэтому вероятности перемножаются.","$P(\\text{оба шара не красные})=\\left(1-0{,}3\\right)^2=0{,}49$.","$P=1-0{,}49=0{,}51$. Ответ: 0,51."],"step":1},{"id":"6","content":"В коробке 8 шаров, из них 3 красных. Два шара вынимают подряд, не возвращая. Сопоставьте путь по дереву и произведение его вероятностей.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Первый шар красный, второй красный","Первый шар красный, второй синий","Первый шар синий, второй красный","Первый шар синий, второй синий"],"items":["$\\frac{3}{8}\\cdot\\frac{2}{7}$","$\\frac{3}{8}\\cdot\\frac{5}{7}$","$\\frac{5}{8}\\cdot\\frac{3}{7}$","$\\frac{5}{8}\\cdot\\frac{4}{7}$","$\\frac{3}{8}\\cdot\\frac{3}{8}$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["На каждой ветке вероятность берется при условии предыдущих шагов: шаров становится на один меньше.","Красных после красного шара остается на один меньше, а синих — столько же; после синего — наоборот.","Каждый путь — произведение вероятностей его двух ветвей."],"step":1},{"id":"6","content":"В коробке 6 шаров, из них 2 красных. Два шара вынимают подряд, не возвращая. Сопоставьте путь по дереву и произведение его вероятностей.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Первый шар красный, второй красный","Первый шар красный, второй синий","Первый шар синий, второй красный","Первый шар синий, второй синий"],"items":["$\\frac{2}{6}\\cdot\\frac{1}{5}$","$\\frac{2}{6}\\cdot\\frac{4}{5}$","$\\frac{4}{6}\\cdot\\frac{2}{5}$","$\\frac{4}{6}\\cdot\\frac{3}{5}$","$\\frac{2}{6}\\cdot\\frac{2}{6}$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["На каждой ветке вероятность берется при условии предыдущих шагов: шаров становится на один меньше.","Красных после красного шара остается на один меньше, а синих — столько же; после синего — наоборот.","Каждый путь — произведение вероятностей его двух ветвей."],"step":1},{"id":"7","content":"Заявка на кредит проходит три проверки подряд. Вероятность пройти первый этап равна $0{,}8$. Если пройден первый, то второй проходится с вероятностью $0{,}5$. Если пройдены первые два, то третий проходится с вероятностью $0{,}5$. Найдите вероятность пройти все три этапа. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["Путь по дереву — произведение вероятностей на ветках: каждая следующая дана при условии предыдущих.","$P=0{,}8\\cdot 0{,}5\\cdot 0{,}5$.","Ответ: 0,2."],"step":1},{"id":"7","content":"Чтобы запустить сервис, нужно пройти три проверки подряд. Вероятность пройти первый этап равна $0{,}9$. Если пройден первый, то второй проходится с вероятностью $0{,}6$. Если пройдены первые два, то третий проходится с вероятностью $0{,}5$. Найдите вероятность пройти все три этапа. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,27","0.27"]}},"hints":["Путь по дереву — произведение вероятностей на ветках: каждая следующая дана при условии предыдущих.","$P=0{,}9\\cdot 0{,}6\\cdot 0{,}5$.","Ответ: 0,27."],"step":1},{"id":"8","content":"В коробке 3 красных шара и 2 синих шара. Вынимают подряд три шара, ни один не возвращают. Какова вероятность, что среди этих трех шаров ровно два красных? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["0,6","0.6"]}},"hints":["Подходят три пути: «красный, красный, синий», «красный, синий, красный» и «синий, красный, красный».","Пути: $\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{2}{4}\\cdot\\frac{2}{3}$, $\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{2}{4}\\cdot\\frac{2}{3}$, $\\frac{2}{5}\\cdot\\frac{3}{4}\\cdot\\frac{2}{3}$. Множители стоят в разном порядке (часть записей может совпадать), но на каждом пути числитель равен $3\\cdot 2\\cdot 2$, а знаменатель $5\\cdot 4\\cdot 3$, поэтому каждое произведение равно $0{,}2$.","Сумма трех путей: $3\\cdot 0{,}2=0{,}6$. Ответ: 0,6."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В коробке 3 красных шара и 3 синих шара. Вынимают подряд три шара, ни один не возвращают. Какова вероятность, что среди этих трех шаров ровно два красных? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["0,45","0.45"]}},"hints":["Подходят три пути: «красный, красный, синий», «красный, синий, красный» и «синий, красный, красный».","Пути: $\\frac{3}{6}\\cdot\\frac{2}{5}\\cdot\\frac{3}{4}$, $\\frac{3}{6}\\cdot\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{2}{4}$, $\\frac{3}{6}\\cdot\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{2}{4}$. Множители стоят в разном порядке (часть записей может совпадать), но на каждом пути числитель равен $3\\cdot 2\\cdot 3$, а знаменатель $6\\cdot 5\\cdot 4$, поэтому каждое произведение равно $0{,}15$.","Сумма трех путей: $3\\cdot 0{,}15=0{,}45$. Ответ: 0,45."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В мешке 9 карточек, на 4 из них четные номера. Вынимают карточку, записывают номер, возвращают ее в мешок, перемешивают и вынимают снова. Решавр считает вероятность того, что оба номера четные: $\\frac{4}{9}\\cdot\\frac{3}{8}=\\frac{1}{6}$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Второй множитель — $\\frac{3}{9}$: уменьшилось только число четных","Второй множитель — $\\frac{4}{9}$: карточку вернули, состав прежний","Второй множитель — $\\frac{3}{8}$: уменьшились и четные карточки, и все","Второй множитель — $\\frac{4}{8}$: уменьшилось только число всех карточек"],"explanations":["Карточку вернули целиком, поэтому четных снова 4, а не 3","","Так считают без возвращения; здесь карточку вернули и перемешали, поэтому мешок снова полный","Карточку вернули, поэтому всех карточек снова 9, а не 8"],"answer":[1]}},"hints":["Сравните состав мешка перед первым и перед вторым выниманием: что произошло с первой карточкой?","Карточку вернули, поэтому мешок снова полный: 9 карточек, 4 четных, и второй множитель равен $\\frac{4}{9}$.","Верно: $\\frac{4}{9}\\cdot\\frac{4}{9}=\\frac{16}{81}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В мешке 7 карточек, на 3 из них четные номера. Вынимают карточку, записывают номер, возвращают ее в мешок, перемешивают и вынимают снова. Решавр считает вероятность того, что оба номера четные: $\\frac{3}{7}\\cdot\\frac{2}{6}=\\frac{1}{7}$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Второй множитель — $\\frac{3}{6}$: уменьшилось только число всех карточек","Второй множитель — $\\frac{2}{7}$: уменьшилось только число четных","Второй множитель — $\\frac{2}{6}$: уменьшились и четные карточки, и все","Второй множитель — $\\frac{3}{7}$: карточку вернули, состав прежний"],"explanations":["Карточку вернули, поэтому всех карточек снова 7, а не 6","Карточку вернули целиком, поэтому четных снова 3, а не 2","Так считают без возвращения; здесь карточку вернули и перемешали, поэтому мешок снова полный",""],"answer":[3]}},"hints":["Сравните состав мешка перед первым и перед вторым выниманием: что произошло с первой карточкой?","Карточку вернули, поэтому мешок снова полный: 7 карточек, 3 четных, и второй множитель равен $\\frac{3}{7}$.","Верно: $\\frac{3}{7}\\cdot\\frac{3}{7}=\\frac{9}{49}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В коробке 6 шаров, из них несколько красных. Два шара вынимают подряд, не возвращая. Вероятность того, что оба красные, равна $0{,}4$. Сколько в коробке красных шаров? [[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Пусть красных $r$. Тогда вероятность двух красных: $\\frac{r(r-1)}{6\\cdot 5}=0{,}4$.","Отсюда $r(r-1)=0{,}4\\cdot 30=12$.","Два последовательных числа с произведением 12: $4\\cdot 3$. Ответ: 4."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В коробке 5 шаров, из них несколько красных. Два шара вынимают подряд, не возвращая. Вероятность того, что оба красные, равна $0{,}3$. Сколько в коробке красных шаров? [[input-12]]","widgets":{"input-12":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Пусть красных $r$. Тогда вероятность двух красных: $\\frac{r(r-1)}{5\\cdot 4}=0{,}3$.","Отсюда $r(r-1)=0{,}3\\cdot 20=6$.","Два последовательных числа с произведением 6: $3\\cdot 2$. Ответ: 3."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>