Тест: 10.4.3

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Каждое семя всходит с вероятностью $0{,}8$ независимо от других. Посеяли 5 семян. Найдите вероятность того, что взойдут ровно 4. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,4096","0.4096"]}},"hints":["Серия из $n = 5$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}8$, $q = 0{,}2$; нужно ровно $k = 4$ успехов.","Число путей с $k$ успехами: $C_{5}^{4} = 5$; каждый путь весит $0{,}8^{4} \\cdot 0{,}2$.","$P_{5}(4) = C_{5}^{4} \\cdot 0{,}8^{4} \\cdot 0{,}2 = 0{,}4096$."],"step":1},{"id":"1","content":"Деталь бракованная с вероятностью $0{,}1$ независимо от других. Проверили 5 деталей. Найдите вероятность того, что бракованных ровно 2. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,0729","0.0729"]}},"hints":["Серия из $n = 5$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}1$, $q = 0{,}9$; нужно ровно $k = 2$ успехов.","Число путей с $k$ успехами: $C_{5}^{2} = 10$; каждый путь весит $0{,}1^{2} \\cdot 0{,}9^{3}$.","$P_{5}(2) = C_{5}^{2} \\cdot 0{,}1^{2} \\cdot 0{,}9^{3} = 0{,}0729$."],"step":1},{"id":"2","content":"Стрелок попадает с вероятностью $0{,}6$ и делает 4 выстрела. Найдите вероятность того, что он попадет не менее трех раз. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["0,4752","0.4752"]}},"hints":["Серия: $n = 4$, $p = 0{,}6$, $q = 0{,}4$. Событие распадается на несовместные случаи $k = 3, 4$.","Каждое слагаемое — по формуле Бернулли: $P_{4}(3) = C_{4}^{3} \\cdot 0{,}6^{3} \\cdot 0{,}4 = 0{,}3456$; $P_{4}(4) = 0{,}6^{4} = 0{,}1296$.","$P_{4}(3) + P_{4}(4) = 0{,}3456 + 0{,}1296 = 0{,}4752$."],"step":1},{"id":"2","content":"Баскетболист попадает с вероятностью $0{,}8$ и делает 5 бросков. Найдите вероятность того, что он попадет не менее четырех раз. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,73728","0.73728"]}},"hints":["Серия: $n = 5$, $p = 0{,}8$, $q = 0{,}2$. Событие распадается на несовместные случаи $k = 4, 5$.","Каждое слагаемое — по формуле Бернулли: $P_{5}(4) = C_{5}^{4} \\cdot 0{,}8^{4} \\cdot 0{,}2 = 0{,}4096$; $P_{5}(5) = 0{,}8^{5} = 0{,}32768$.","$P_{5}(4) + P_{5}(5) = 0{,}4096 + 0{,}32768 = 0{,}73728$."],"step":1},{"id":"3","content":"Игрок выигрывает партию с вероятностью $0{,}3$ и играет 4 партии. Найдите вероятность того, что он выиграет не более одной. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,6517","0.6517"]}},"hints":["Серия: $n = 4$, $p = 0{,}3$, $q = 0{,}7$. Событие распадается на несовместные случаи $k = 0, 1$.","Каждое слагаемое — по формуле Бернулли: $P_{4}(0) = 0{,}7^{4} = 0{,}2401$; $P_{4}(1) = C_{4}^{1} \\cdot 0{,}3 \\cdot 0{,}7^{3} = 0{,}4116$.","$P_{4}(0) + P_{4}(1) = 0{,}2401 + 0{,}4116 = 0{,}6517$."],"step":1},{"id":"3","content":"Каждый из пяти приборов дает сбой с вероятностью $0{,}4$ независимо. Найдите вероятность того, что сбой даст не более одного прибора. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,33696","0.33696"]}},"hints":["Серия: $n = 5$, $p = 0{,}4$, $q = 0{,}6$. Событие распадается на несовместные случаи $k = 0, 1$.","Каждое слагаемое — по формуле Бернулли: $P_{5}(0) = 0{,}6^{5} = 0{,}07776$; $P_{5}(1) = C_{5}^{1} \\cdot 0{,}4 \\cdot 0{,}6^{4} = 0{,}2592$.","$P_{5}(0) + P_{5}(1) = 0{,}07776 + 0{,}2592 = 0{,}33696$."],"step":1},{"id":"4","content":"Три независимо работающих насоса, каждый исправен с вероятностью $0{,}8$. Вероятность того, что исправен хотя бы один, равна единице минус [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$0{,}2^3$","$3 \\cdot 0{,}2$","$0{,}8 \\cdot 0{,}2^2$","$0{,}8^3$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите выражение","hints":["Дополнение к «хотя бы один» — «ни одного».","Вероятность «ни одного» равна $q^3 = 0{,}2^{3} = 0{,}008$.","$1-0{,}008 = 0{,}992$."],"step":1},{"id":"4","content":"Четыре независимые сигнализации, каждая срабатывает с вероятностью $0{,}7$. Вероятность того, что сработает хотя бы одна, равна единице минус [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$0{,}7^4$","$4 \\cdot 0{,}3$","$0{,}3^4$","$0{,}7 \\cdot 0{,}3^3$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите выражение","hints":["Дополнение к «хотя бы один» — «ни одного».","Вероятность «ни одного» равна $q^4 = 0{,}3^{4} = 0{,}0081$.","$1-0{,}0081 = 0{,}9919$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте каждое условие с параметрами формулы Бернулли. Успехом считают то событие, о котором спрашивают.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Деталь бракованна с вероятностью $0{,}04$ независимо. Проверили 7 деталей, бракованных ровно 2","Стрелок попадает с вероятностью $0{,}85$ и делает 6 выстрелов. Промахов ровно 2","Семя всходит с вероятностью $0{,}7$ независимо. Посеяли 5 семян, взошли ровно 4"],"items":["$n = 7$, $p = 0{,}04$, $k = 2$","$n = 6$, $p = 0{,}15$, $k = 2$","$n = 5$, $p = 0{,}7$, $k = 4$","$n = 2$, $p = 0{,}04$, $k = 7$","$n = 6$, $p = 0{,}85$, $k = 2$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["$n$ — число испытаний, $k$ — нужное число успехов, $p$ — вероятность успеха.","Успехом считают то событие, о котором спрашивают: если речь о промахах, $p$ — вероятность промаха.","Ответ по порядку условий: $n = 7$, $p = 0{,}04$, $k = 2$; $n = 6$, $p = 0{,}15$, $k = 2$; $n = 5$, $p = 0{,}7$, $k = 4$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте каждое условие с параметрами формулы Бернулли. Успехом считают то событие, о котором спрашивают.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Лампочка перегорает за год с вероятностью $0{,}02$ независимо. В гирлянде 8 лампочек, перегорели ровно 3","Баскетболист попадает с вероятностью $0{,}9$ и делает 7 бросков. Промахов ровно 2","Семя всходит с вероятностью $0{,}6$ независимо. Посеяли 6 семян, взошли ровно 5"],"items":["$n = 8$, $p = 0{,}02$, $k = 3$","$n = 7$, $p = 0{,}1$, $k = 2$","$n = 6$, $p = 0{,}6$, $k = 5$","$n = 3$, $p = 0{,}02$, $k = 8$","$n = 7$, $p = 0{,}9$, $k = 2$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["$n$ — число испытаний, $k$ — нужное число успехов, $p$ — вероятность успеха.","Успехом считают то событие, о котором спрашивают: если речь о промахах, $p$ — вероятность промаха.","Ответ по порядку условий: $n = 8$, $p = 0{,}02$, $k = 3$; $n = 7$, $p = 0{,}1$, $k = 2$; $n = 6$, $p = 0{,}6$, $k = 5$."],"step":1},{"id":"6","content":"Распределите ситуации: где можно применять формулу Бернулли, а где нельзя.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Схема Бернулли","Не схема Бернулли"],"items":[["Кубик бросают 6 раз и считают шестерки","Каждый из 5 независимых датчиков срабатывает с вероятностью $0{,}9$","Из потока изделий с браком 3% проверили 8 изделий"],["Из 12 вагонов, среди которых 4 с неисправной дверью, проверяют 3 разных","В лотерее 30 билетов, среди них 6 выигрышных; покупают 4 разных","Шахматист играет партии, пока не выиграет"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Проверьте каждую ситуацию по условиям: число шагов известно заранее, шаги независимы, вероятность успеха на всех шагах одна и та же.","Выбор без возвращения, меняющаяся вероятность и «до первого успеха» нарушают эти условия.","Спросите себя про каждую ситуацию: можно ли заранее назвать число шагов и одинакова ли вероятность успеха на каждом шаге? Если шаги зависят друг от друга, формула не работает."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Распределите ситуации: где можно применять формулу Бернулли, а где нельзя.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Схема Бернулли","Не схема Бернулли"],"items":[["Монету бросают 9 раз и считают решки","Игрок 5 раз подряд бросает мяч в кольцо, вероятность попадания каждый раз $0{,}6$","Из очень большой партии с браком 1% проверили 10 изделий"],["Из колоды в 36 карт вынимают 4 карты подряд без возвращения и считают тузы","В группе 8 мальчиков и 12 девочек; к доске вызывают 3 разных учеников","Прибор стареет: вероятность отказа растет с каждым днем, наблюдают 5 дней"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Проверьте каждую ситуацию по условиям: число шагов известно заранее, шаги независимы, вероятность успеха на всех шагах одна и та же.","Выбор без возвращения, меняющаяся вероятность и «до первого успеха» нарушают эти условия.","Спросите себя про каждую ситуацию: можно ли заранее назвать число шагов и одинакова ли вероятность успеха на каждом шаге? Если шаги зависят друг от друга, формула не работает."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Кубик бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что шестерка выпадет ровно два раза. Округлите до сотых. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,12","0.12"]}},"hints":["$p = \\frac{1}{6}$, $q = \\frac{5}{6}$, $n = 4$, $k = 2$.","$P_{4}(2) = C_{4}^{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{6}\\right)^{2} \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^{2} = \\frac{150}{1296}$.","Округление до сотых: $0{,}12$."],"step":1},{"id":"7","content":"Кубик бросают 3 раза. Найдите вероятность того, что шестерка выпадет ровно два раза. Округлите до сотых. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,07","0.07"]}},"hints":["$p = \\frac{1}{6}$, $q = \\frac{5}{6}$, $n = 3$, $k = 2$.","$P_{3}(2) = C_{3}^{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{6}\\right)^{2} \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^{1} = \\frac{15}{216}$.","Округление до сотых: $0{,}07$."],"step":1},{"id":"8","content":"В тесте 6 вопросов, у каждого 4 варианта ответа и один верный. Ученик угадывает. Найдите вероятность того, что он угадает не менее двух ответов. Округлите до сотых. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["0,47","0.47"]}},"hints":["Успех — угаданный ответ: $p = \\frac{1}{4}$, $q = \\frac{3}{4}$, $n = 6$. «Не менее двух» — это $k = 2, \\ldots, 6$; проще взять дополнение $k = 0, 1$.","$P_{6}(0) = \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{6} = \\frac{729}{4096}$; $P_{6}(1) = 6 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{5} = \\frac{729}{2048}$.","$1-\\frac{729}{4096}-\\frac{729}{2048} = \\frac{1909}{4096} \\approx 0{,}47$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В тесте 5 вопросов, у каждого 3 варианта ответа и один верный. Ученик угадывает. Найдите вероятность того, что он угадает не менее двух ответов. Округлите до сотых. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["0,54","0.54"]}},"hints":["Успех — угаданный ответ: $p = \\frac{1}{3}$, $q = \\frac{2}{3}$, $n = 5$. «Не менее двух» — это $k = 2, \\ldots, 5$; проще взять дополнение $k = 0, 1$.","$P_{5}(0) = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{5} = \\frac{32}{243}$; $P_{5}(1) = 5 \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{4} = \\frac{80}{243}$.","$1-\\frac{32}{243}-\\frac{80}{243} = \\frac{131}{243} \\approx 0{,}54$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Стрелок попадает с вероятностью $0{,}9$ и делает 3 выстрела. Решавр искал вероятность того, что он попадет не менее двух раз, и записал: «$P_{3}(2) = 0{,}243$». Как исправить решение?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Перемножить: нужно $P_{3}(2) \\cdot P_{3}(3)$","Сложить вероятности для $k = 2, 3$: нужно $P_{3}(2) + P_{3}(3) = 0{,}972$","Вычесть из единицы: нужно $1-P_{3}(2) = 0{,}757$","Удвоить: нужно $2 \\cdot P_{3}(2) = 0{,}486$"],"explanations":["Вероятности несовместных случаев складывают, а не перемножают","","Дополнением к «не менее двух» служит «менее двух», а не «не ровно 2»","Удвоение не соответствует ни одному способу объединить несовместные случаи"],"answer":[1]}},"hints":["Серия: $n = 3$, $p = 0{,}9$, $q = 0{,}1$. Событие распадается на несовместные случаи $k = 2, 3$.","Каждое слагаемое — по формуле Бернулли: $P_{3}(2) = C_{3}^{2} \\cdot 0{,}9^{2} \\cdot 0{,}1 = 0{,}243$; $P_{3}(3) = 0{,}9^{3} = 0{,}729$.","$P_{3}(2) + P_{3}(3) = 0{,}243 + 0{,}729 = 0{,}972$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Стрелок попадает с вероятностью $0{,}8$ и делает 6 выстрелов. Решавр искал вероятность того, что он попадет не менее пяти раз, и записал: «$P_{6}(5) = 0{,}393216$». Как исправить решение?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Удвоить: нужно $2 \\cdot P_{6}(5) = 0{,}786432$","Вычесть из единицы: нужно $1-P_{6}(5) = 0{,}606784$","Сложить вероятности для $k = 5, 6$: нужно $P_{6}(5) + P_{6}(6) = 0{,}65536$","Перемножить: нужно $P_{6}(5) \\cdot P_{6}(6)$"],"explanations":["Удвоение не соответствует ни одному способу объединить несовместные случаи","Дополнением к «не менее пяти» служит «менее пяти», а не «не ровно 5»","","Вероятности несовместных случаев складывают, а не перемножают"],"answer":[2]}},"hints":["Серия: $n = 6$, $p = 0{,}8$, $q = 0{,}2$. Событие распадается на несовместные случаи $k = 5, 6$.","Каждое слагаемое — по формуле Бернулли: $P_{6}(5) = C_{6}^{5} \\cdot 0{,}8^{5} \\cdot 0{,}2 = 0{,}393216$; $P_{6}(6) = 0{,}8^{6} = 0{,}262144$.","$P_{6}(5) + P_{6}(6) = 0{,}393216 + 0{,}262144 = 0{,}65536$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}1$, испытаний 4, они независимы. Найдите вероятность того, что успехов будет не менее двух. [[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":["0,0523","0.0523"]}},"hints":["Проще считать через дополнение: событие противоположно тому, что успехов $k = 0, 1$.","Вероятности: $P_{4}(0) = 0{,}6561$; $P_{4}(1) = 0{,}2916$.","$1-0{,}9477 = 0{,}0523$."],"step":1},{"id":"10","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}2$, испытаний 5, они независимы. Найдите вероятность того, что успехов будет не менее двух. [[input-12]]","widgets":{"input-12":{"type":"input","answer":["0,26272","0.26272"]}},"hints":["Проще считать через дополнение: событие противоположно тому, что успехов $k = 0, 1$.","Вероятности: $P_{5}(0) = 0{,}32768$; $P_{5}(1) = 0{,}4096$.","$1-0{,}73728 = 0{,}26272$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>