Несовместные события и правило сложения вероятностей

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Бросают кубик. У какой пары событий нет общих клеток, то есть ни одно число не подходит обоим событиям?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/58rjycej2syo.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["«Выпало кратное 3» и «выпало четное»","«Выпало 1» и «выпало 6»","«Выпало четное» и «выпало больше 3»","«Выпало нечетное» и «выпало меньше 4»"],"explanations":["Число 6 подходит обоим событиям","","Числа 4 и 6 подходят обоим событиям","Числа 1 и 3 подходят обоим событиям"],"answer":[1]}},"hints":["Для каждой пары проверьте, есть ли число, которое подходит обоим событиям.","«Четное» и «больше 3» имеют общие числа 4 и 6; «нечетное» и «меньше 4» — общие 1 и 3; «кратно 3» и «четное» — общее 6.","Числа 1 и 6 разные: «выпало 1» и «выпало 6» общих исходов не имеют."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Что значит «события $A$ и $B$ несовместны»?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Они не могут произойти вместе","Одно из них происходит, когда не происходит другое","Их вероятности равны","Наступление одного не меняет вероятность другого"],"explanations":["","Так определяют противоположные события: у несовместных такое необязательно","Вероятность не определяет, могут ли события произойти вместе","Это определение независимых событий: оно о влиянии, а не о том, возможны ли события вместе"],"answer":[0]}},"hints":["Несовместные события не имеют общих исходов.","Если произошло одно из них, второе уже произойти не может.","Ответ: события не могут произойти вместе."],"step":1},{"content":"Распределите пары событий по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Несовместные","Совместные"],"items":[["Выпало 3 — выпало 4","Одним выстрелом: десятка — девятка"],["Четное — больше 2","Кратно 3 — нечетное"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Пара несовместна, если события не могут произойти вместе.","«Выпало 3» и «выпало 4» — разные числа; «десятка» и «девятка» одним выстрелом — разные результаты. А «четное» и «больше 2» вместе дают 4 и 6; «кратно 3» и «нечетное» — число 3.","Так и распределяем."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Если события $A$ и $B$ несовместны, то $P(A\\cup B)=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$1-P(A)-P(B)$","$P(A)\\cdot P(B)$","$P(A)+P(B)$","$P(A)-P(B)$"],"answer":2}},"hints":["Общих исходов нет, поэтому $P(A\\cap B)=0$.","В формуле $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)$ вычитать нечего.","Ответ: $P(A)+P(B)$."],"step":1},{"content":"Бросают кубик. Решавр считает: «События «выпало четное» и «выпало число больше 3» несовместны, поэтому $P(\\text{четное или больше 3})=\\frac12+\\frac12=1$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["События совместны: числа 4 и 6 подходят обоим, поэтому складывать нельзя","События совместны, поэтому $P=\\frac12\\cdot\\frac12=\\frac14$","Ошибки нет: «или» значит сложить","События независимы, поэтому надо умножать"],"explanations":["","Умножают вероятности независимых событий «и», а здесь спрашивают про «или»","Складывать можно только когда общих исходов нет","Независимость не имеет отношения к «или»"],"answer":[0]}},"hints":["Событию «четное или больше 3» благоприятны числа 2, 4, 5, 6: их 4, а не 6.","Числа 4 и 6 подходят обоим событиям: события совместны.","Для совместных событий складывать нельзя: $P=\\frac46=\\frac23$."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"В лотерее вероятность выиграть 100 рублей равна 0,05, выиграть 50 рублей — 0,1, выиграть 10 рублей — 0,2. Найдите вероятность выиграть хоть что-нибудь. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,35","0.35"]}},"hints":["Выигрыши разной суммы одновременно невозможны, поэтому события несовместны.","Вероятности складываем: $0{,}05+0{,}1+0{,}2=0{,}35$.","Ответ: 0,35."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Из карточек с номерами от 1 до 10 наугад берут одну. $A$: «номер меньше 4», $B$: «номер больше 7». Решавр рассуждает: «События несовместны, значит, $P(B)=1-P(A)=1-\\frac{3}{10}=\\frac{7}{10}$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Несовместные не обязаны быть противоположными: $P(B)=\\frac{3}{10}$","Ошибка в $P(A)$: $P(B)=1-\\frac{4}{10}=\\frac{6}{10}$","Ошибки нет: $P(B)=\\frac{7}{10}$","События совместны, поэтому $P(B)=\\frac{6}{10}$"],"explanations":["","Номеров меньше 4 три: 1, 2, 3; и формула $1-P(A)$ здесь вообще не годится","Тогда номеров больше 7 было бы семь, а их три: 8, 9, 10","Общих номеров у $A$ и $B$ нет: события несовместны"],"answer":[0]}},"hints":["Событиям $A$ и $B$ подходят номера 1, 2, 3 и 8, 9, 10: общих нет, события несовместны.","Но номера 4, 5, 6, 7 не входят ни в $A$, ни в $B$: события не противоположны, формула $1-P(A)$ к ним не подходит.","Верно: $P(B)=\\frac{3}{10}$ — номера 8, 9, 10."],"step":1},{"content":"Бросают кубик. Сопоставьте событие и верное вычисление его вероятности. Одно вычисление лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Выпало 2 или выпало 3","Выпало четное или больше 4","Выпало не меньше 4"],"items":["$\\frac16+\\frac16=\\frac13$","$\\frac36+\\frac26-\\frac16=\\frac23$","$1-\\frac36=\\frac12$","$\\frac36+\\frac26=\\frac56$"]}},"instruction":"Сопоставьте события и вычисления","hints":["«Выпало 2» и «выпало 3» общих чисел не имеют — вероятности складываем.","У «четное» (2, 4, 6) и «больше 4» (5, 6) общее число 6 — его вероятность вычитаем; «не меньше 4» — противоположное к «меньше 4».","Лишнее: $\\frac36+\\frac26$ — сложение совместных событий, число 6 посчитано дважды."],"step":1}],"mix":1}