Объединение и пересечение событий

8 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Бросают кубик. $A$: «выпало число, меньшее 3», $B$: «выпало число, кратное 3». Как записать событие «выпало число, меньшее 3, или кратное 3»?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\overline{A}\\cup B$","$A+B$","$A\\cup B$","$A\\cap B$"],"explanations":["Первое условие заменено на противоположное","Знака «плюс» для событий нет: объединение пишут значком $\\cup$","","Это «и»: оба условия сразу"],"answer":[2]}},"hints":["Слово «или» — хотя бы одно условие, то есть объединение.","Знак объединения — $\\cup$.","Ответ: $A\\cup B$."],"step":1},{"id":"1","content":"Бросают кубик. $A$: «выпало нечетное число», $B$: «выпало число, большее 4». Как записать событие «выпало нечетное число или число, большее 4»?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$A\\cdot B$","$A\\cap B$","$A\\cup\\overline{B}$","$A\\cup B$"],"explanations":["Знака умножения для событий нет; объединение пишут значком $\\cup$","Это «и»: оба условия сразу","Второе условие заменено на противоположное",""],"answer":[3]}},"hints":["Слово «или» — хотя бы одно условие, то есть объединение.","Знак объединения — $\\cup$.","Ответ: $A\\cup B$."],"step":1},{"id":"2","content":"Бросают кубик. $A$ — «четное число», $B$ — «число, меньшее 5». Тогда в событие $A\\cap B$ входят числа [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["2, 4, 6","2, 4","1, 2, 3, 4, 6","1, 2, 3, 4"],"answer":1,"placeholder":0}},"hints":["Нужны числа, подходящие обоим событиям.","$A$: 2, 4, 6. $B$: 1, 2, 3, 4.","Общие: 2, 4. Ответ: 2, 4."],"step":1},{"id":"2","content":"Бросают кубик. $A$ — «нечетное число», $B$ — «число, большее 2». Тогда в событие $A\\cap B$ входят числа [[fill_choice_big-2]].","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["1, 3, 4, 5, 6","3, 4, 5, 6","1, 3, 5","3, 5"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Нужны числа, подходящие обоим событиям.","$A$: 1, 3, 5. $B$: 3, 4, 5, 6.","Общие: 3, 5. Ответ: 3, 5."],"step":1},{"id":"3","content":"Бросают кубик. $A$ — «число, кратное 3», $B$ — «число, большее 4». Найдите $P(A\\cup B)$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{3}$","$\\frac{2}{3}$","$\\frac{1}{6}$"],"explanations":["","Это вероятность одного события","Общие числа посчитаны дважды","Это вероятность пересечения, а не объединения"],"answer":[0]}},"hints":["$A$: 3, 6; $B$: 5, 6.","Объединение: 3, 5, 6, $m=3$; общее число 6 считаем один раз.","$P(A\\cup B)=\\frac{3}{6}=\\frac{1}{2}$. Ответ: $\\frac{1}{2}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Бросают кубик. $A$ — «число, большее 3», $B$ — «нечетное число». Найдите $P(A\\cup B)$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$1$","$\\frac{1}{6}$","$\\frac{5}{6}$","$\\frac{1}{2}$"],"explanations":["Общие числа посчитаны дважды","Это вероятность пересечения, а не объединения","","Это вероятность одного события"],"answer":[2]}},"hints":["$A$: 4, 5, 6; $B$: 1, 3, 5.","Объединение: 1, 3, 4, 5, 6, $m=5$; общее число 5 считаем один раз.","$P(A\\cup B)=\\frac{5}{6}$. Ответ: $\\frac{5}{6}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Из карточек с номерами от 1 до 12 берут одну. Решавр считает: «Кратны 2 — 6 карточек, кратны 3 — 4 карточки, значит, вероятность того, что номер кратен 2 или 3, равна $\\frac{10}{12}$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Номера, кратные 6, посчитаны дважды: надо вычесть 2","Надо умножить: $6\\cdot 4$","Надо вычесть из суммы число всех карточек 12","Ошибки нет: «или» значит сложить"],"explanations":["","Произведение чисел карточек не имеет смысла: «или» — не «и»","Вычитать надо число общих карточек, а не всех","При общих исходах сумма превышает число подходящих карточек"],"answer":[0]}},"hints":["Номера, кратные и 2, и 3 (то есть кратные 6), входят в обе группы.","Таких карточек 2, и Решавр посчитал их дважды.","$m=6+4-2=8$, $P=\\frac{8}{12}=\\frac{2}{3}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Из карточек с номерами от 1 до 30 берут одну. Решавр считает: «Кратны 3 — 10 карточек, кратны 5 — 6 карточек, значит, вероятность того, что номер кратен 3 или 5, равна $\\frac{16}{30}$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: «или» значит сложить","Надо вычесть из суммы число всех карточек 30","Номера, кратные 15, посчитаны дважды: надо вычесть 2","Надо умножить: $10\\cdot 6$"],"explanations":["При общих исходах сумма превышает число подходящих карточек","Вычитать надо число общих карточек, а не всех","","Произведение чисел карточек не имеет смысла: «или» — не «и»"],"answer":[2]}},"hints":["Номера, кратные и 3, и 5 (то есть кратные 15), входят в обе группы.","Таких карточек 2, и Решавр посчитал их дважды.","$m=10+6-2=14$, $P=\\frac{14}{30}=\\frac{7}{15}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Бросают кубик. $A$ — «четное число», $B$ — «число, большее 4». Сопоставьте события и их вероятности. Одна вероятность лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$A\\cap B$","$A\\cup B$","$\\overline{A\\cup B}$"],"items":["$\\frac{1}{6}$","$\\frac{2}{3}$","$\\frac{1}{3}$","$\\frac{5}{6}$"]}},"instruction":"Сопоставьте события и вероятности","hints":["$A$: 2, 4, 6; $B$: 5, 6.","$A\\cap B$: 6; $A\\cup B$: 2, 4, 5, 6 (общие числа один раз); $\\overline{A\\cup B}$: 1, 3.","Ответ: $\\frac{1}{6}$, $\\frac{2}{3}$, $\\frac{1}{3}$; лишняя $\\frac{5}{6}$ — сумма $P(A)+P(B)$ без вычитания пересечения."],"step":1},{"id":"5","content":"Бросают кубик. $A$ — «нечетное число», $B$ — «число, меньшее 3». Сопоставьте события и их вероятности. Одна вероятность лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$A\\cap B$","$A\\cup B$","$\\overline{A\\cup B}$"],"items":["$\\frac{1}{6}$","$\\frac{2}{3}$","$\\frac{1}{3}$","$\\frac{5}{6}$"]}},"instruction":"Сопоставьте события и вероятности","hints":["$A$: 1, 3, 5; $B$: 1, 2.","$A\\cap B$: 1; $A\\cup B$: 1, 2, 3, 5 (общие числа один раз); $\\overline{A\\cup B}$: 4, 6.","Ответ: $\\frac{1}{6}$, $\\frac{2}{3}$, $\\frac{1}{3}$; лишняя $\\frac{5}{6}$ — сумма $P(A)+P(B)$ без вычитания пересечения."],"step":1},{"id":"6","content":"Известно, что $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}2$, $P(A\\cup B)=0{,}6$. Найдите $P(A\\cap B)$ и выберите, как расположены области событий.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$0{,}2$; $B$ лежит внутри $A$","$0{,}6$; $A$ лежит внутри $B$","$0{,}2$; части перекрываются, но ни одна не лежит внутри другой","$0{,}8$; общих клеток нет"],"explanations":["","Перепутаны события: пересечение не может быть больше меньшего из них","Пересечение равно целому событию, значит, оно лежит внутри","Это сумма вероятностей: пересечение не вычитали"],"answer":[0]}},"hints":["$P(A\\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\\cup B)$.","$0{,}6+0{,}2-0{,}6=0{,}2$. Это равно $P(B)$, значит, пересечение — вся область $B$.","Ответ: $0{,}2$; $B$ лежит внутри $A$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Известно, что $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}7$, $P(A\\cup B)=0{,}7$. Найдите $P(A\\cap B)$ и выберите, как расположены области событий.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$1$; общих клеток нет","$0{,}3$; части перекрываются, но ни одна не лежит внутри другой","$0{,}3$; $A$ лежит внутри $B$","$0{,}7$; $B$ лежит внутри $A$"],"explanations":["Это сумма вероятностей: пересечение не вычитали","Пересечение равно целому событию, значит, оно лежит внутри","","Перепутаны события: пересечение не может быть больше меньшего из них"],"answer":[2]}},"hints":["$P(A\\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\\cup B)$.","$0{,}3+0{,}7-0{,}7=0{,}3$. Это равно $P(A)$, значит, пересечение — вся область $A$.","Ответ: $0{,}3$; $A$ лежит внутри $B$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Бросают кубик. $A$ — «число, меньшее 4», $B$ — «нечетное число». Решавр считает: «$P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)=\\frac{1}{2}\\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{4}$». Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: произведение $\\frac{1}{4}$","Надо взять общие исходы 1, 3: $\\frac{1}{3}$","Надо сложить: $1$","Надо взять $P(A)$: $\\frac{1}{2}$"],"explanations":["Умножение здесь не работает: общих исходов 2 из 6, то есть $\\frac{1}{3}$, а не $\\frac{1}{4}$. Пересечение находят по общим исходам","","Сумма даст вероятность «или» с повтором, а не «и»","В пересечении учтено второе условие, исходов меньше"],"answer":[1]}},"hints":["Событию $A\\cap B$ благоприятны числа, подходящие обоим условиям: 1, 3.","Общих исходов: 2 из 6. Пересечение считают по общим клеткам.","$P(A\\cap B)=\\frac{2}{6}=\\frac{1}{3}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Бросают кубик. $A$ — «число, не большее 3», $B$ — «четное число». Решавр считает: «$P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)=\\frac{1}{2}\\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{4}$». Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: произведение $\\frac{1}{4}$","Надо сложить: $1$","Надо взять общие исходы 2: $\\frac{1}{6}$","Надо взять $P(A)$: $\\frac{1}{2}$"],"explanations":["Умножение здесь не работает: общих исходов 1 из 6, то есть $\\frac{1}{6}$, а не $\\frac{1}{4}$. Пересечение находят по общим исходам","Сумма даст вероятность «или» с повтором, а не «и»","","В пересечении учтено второе условие, исходов меньше"],"answer":[2]}},"hints":["Событию $A\\cap B$ благоприятны числа, подходящие обоим условиям: 2.","Общих исходов: 1 из 6. Пересечение считают по общим клеткам.","$P(A\\cap B)=\\frac{1}{6}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Из карточек с номерами от 1 до 30 наугад берут одну. Найдите вероятность того, что номер не кратен ни 2, ни 3. Ответ запишите несократимой дробью вида a/b. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1/3"}},"hints":["Сначала найдем, сколько номеров кратны 2 или 3: $15+10-5=20$.","Остальные карточки подходят: $30-20=10$.","$P=\\frac{10}{30}=\\frac{1}{3}$. Ответ: 1/3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Из карточек с номерами от 1 до 40 наугад берут одну. Найдите вероятность того, что номер не кратен ни 2, ни 5. Ответ запишите несократимой дробью вида a/b. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["2/5","0,4","0.4"]}},"hints":["Сначала найдем, сколько номеров кратны 2 или 5: $20+8-4=24$.","Остальные карточки подходят: $40-24=16$.","$P=\\frac{16}{40}=\\frac{2}{5}$. Ответ: 2/5."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>