Карточки
Тесты
Зави
Элементарные события и благоприятные исходы
Элементарные события и благоприятные исходы
В 7 классе вы разбирали равновозможные исходы при бросании монеты и кубика и считали вероятность как долю удачных исходов. В этом уроке мы дадим исходам точное название — элементарные события, научимся описывать любое событие набором исходов и разберемся, почему при броске двух кубиков исходов 36, а не 11.
Каждый исход опыта — одна клетка поля
Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока. Бросают два игральных кубика и складывают очки. Что вероятнее: сумма 7 или сумма 12? Обе суммы встречаются по одному разу в списке «от 2 до 12», поэтому хочется ответить «одинаково». Чтобы проверить, нужен способ видеть все исходы опыта сразу.
Возьмем опыт попроще: бросок одного кубика. Выпасть может 1, 2, 3, 4, 5 или 6 — других вариантов нет, и два из них не могут случиться одновременно. Нарисуем каждый вариант отдельной клеткой. Получится поле из шести клеток — поле исходов опыта. Каждый бросок попадает ровно в одну клетку.
Определение
Элементарное событие — один исход опыта. Элементарные события опыта не могут произойти вместе, и в каждом опыте происходит ровно одно из них.
Все элементарные события опыта образуют поле исходов; их число обозначают буквой $n$.
Пример 1
Задача. Стрелка вертушки с восемью равными секторами, пронумерованными от 1 до 8, останавливается на одном секторе. Перечислите элементарные события и найдите $n$.
Решение. Исход — номер сектора, на котором остановилась стрелка: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Два номера сразу выпасть не могут, и какой-то номер выпадет обязательно. Поле исходов — 8 клеток.
Ответ: элементарные события — «стрелка на секторе 1», …, «стрелка на секторе 8»; $n = 8$.
Обратите внимание: «выпало четное число» — не элементарное событие. Оно не одна клетка, а сразу три: 2, 4 и 6. Такие события мы разберем в следующем разделе.
Событие — это набор клеток поля
Пусть $A$ — событие «выпало четное число». Закрасим на поле кубика клетки, при которых $A$ происходит: 2, 4 и 6. Если бросок попал в закрашенную клетку, событие $A$ наступило; если в незакрашенную — нет. Значит, событие полностью описывается тем, какие клетки закрашены.
Определение
Элементарные события, при которых событие $A$ наступает, называют благоприятными исходами (исходами, благоприятствующими $A$). Событие — это набор благоприятных для него исходов. Число благоприятных исходов обозначают буквой $m$.
Одно и то же поле подходит для разных событий: меняется только закраска. Событию «выпало число, меньшее 3» соответствуют клетки 1 и 2, событию «выпала шестерка» — одна клетка 6. Элементарное событие — частный случай: закрашена ровно одна клетка.
Пример 2
Задача. Из 12 карточек с номерами от 1 до 12 наугад берут одну. Найдите $n$ и $m$ для события $B$ «номер делится на 3».
Решение. Поле исходов — 12 клеток, по одной на каждую карточку: $n = 12$. Закрасим номера, кратные 3: 3, 6, 9, 12. Проверим границу: 12 входит в набор, так как $12 = 3 \cdot 4$.
Ответ: $n = 12$, $m = 4$.
Вероятность — доля закрашенных клеток
Если все клетки поля равные, ни одна из них не выпадает чаще другой — исходы равновозможны. Какой-то исход случается обязательно, поэтому всему полю соответствует вероятность 1. Раз все клетки равные, на каждую приходится одна и та же доля этой единицы, $\frac{1}{n}$. Событие из $m$ клеток получает $m$ таких долей. Это и есть формула, которую вы знаете с 7 класса, только теперь видно, откуда она берется.
Правило
Если все $n$ элементарных событий опыта равновозможны и событию $A$ благоприятствуют $m$ из них, то вероятность события $A$ равна доле закрашенных клеток:
Пример 3
Задача. Из чисел от 1 до 30 наугад выбирают одно. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.
Решение. Поле — 30 равновозможных клеток, $n = 30$. Благоприятные числа: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, то есть $m = 7$ (число 32 уже больше 30). Тогда $P = \frac{7}{30}$. Проверка смысла: $0 \le \frac{7}{30} \le 1$, и закрашено меньше четверти поля, как и должно быть — кратно 4 примерно каждое четвертое число.
Ответ: $\frac{7}{30}$.
Обратите внимание
Формула $\frac{m}{n}$ верна, только если клетки равные. В мешке 3 зеленых и 1 желтый шар: цветов два, но клеток на поле четыре — по одной на каждый шар. Желтому цвету достается одна клетка из четырех, поэтому $P(\text{желтый}) = \frac{1}{4}$, а не $\frac{1}{2}$. Прежде чем рисовать поле, спросите себя: что именно выпадает с одинаковыми шансами?
В интерактиве ниже меняйте число граней кубика и число закрашенных клеток. Попробуйте закрасить событие с вероятностью $\frac{1}{3}$ на обычном кубике, а потом на игральной кости с 12 гранями. Сколько клеток понадобится в каждом случае?
Два кубика: исходов 36, а не 11
Вернемся к двум кубикам. Пусть один кубик красный, другой синий. Исход опыта — пара чисел: сколько выпало на красном и сколько на синем. Запишем ее как $(a;\,b)$. Пары $(1;\,6)$ и $(6;\,1)$ — разные исходы: в первой единица выпала на красном кубике, во второй — на синем.
Поле исходов — таблица 6 на 6: строки — очки красного кубика, столбцы — очки синего. Клеток $6 \cdot 6 = 36$, и все они равные: каждый кубик честный, а кубики не влияют друг на друга. Так строится поле любого опыта из двух частей: строки — исходы первой части, столбцы — второй. Если у частей $a$ и $b$ исходов, клеток $a \cdot b$. Например, у монеты и вертушки на 8 секторов поле $2 \times 8$ — 16 клеток. Впишем в каждую клетку сумму. Одинаковые суммы выстраиваются по диагоналям: сумма 2 занимает одну клетку, сумма 7 — шесть клеток, сумма 12 — снова одну.
Ошибка
Как ошибаются. Решавр рассуждает: «Сумма бывает от 2 до 12 — это 11 исходов. Сумме 7 благоприятствует один из них, значит, $P = \frac{1}{11}$».
Проверка на числах. По таблице сумме 7 благоприятны 6 клеток из 36, а сумме 12 — одна. Если бы суммы были равновозможны, у них было бы поровну клеток. К тому же по Решавру и сумма 2 имеет вероятность $\frac{1}{11}$, хотя для нее обе кости должны показать единицу — это одна клетка из 36.
Где сломалось рассуждение. Суммы — не элементарные события, а наборы клеток разного размера. Формулу $\frac{m}{n}$ можно применять только к равным клеткам, то есть к парам $(a;\,b)$.
Пример 4
Задача. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков равна 10.
Решение. Поле — 36 пар, $n = 36$. Сумму 10 дают пары $(4;\,6)$, $(5;\,5)$, $(6;\,4)$, то есть $m = 3$. Пара $(5;\,5)$ записывается один раз: она одна клетка таблицы. $P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.
Пустое поле и полное поле
На поле можно не закрасить ни одной клетки или закрасить все. Событие «на одном кубике выпало 7» не наступает ни при одном исходе: $m = 0$, и $P = \frac{0}{6} = 0$. Событие «выпало число от 1 до 6» наступает при любом исходе: $m = n$, и $P = \frac{6}{6} = 1$. Любое другое событие закрашивает часть поля, поэтому его вероятность лежит между 0 и 1.
Определение
Невозможное событие — событие, которому не благоприятствует ни один исход: $P = 0$. Достоверное событие — событие, которому благоприятствуют все исходы: $P = 1$. Для любого события
Теперь ответим на вопрос из начала урока. На поле двух кубиков сумме 7 соответствуют 6 клеток из 36, а сумме 12 — одна. Значит, $P(\text{сумма } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$, а $P(\text{сумма } 12) = \frac{1}{36}$: сумма 7 вероятнее в 6 раз. Сумма 13 — невозможное событие, а «сумма не меньше 2» — достоверное.
| Событие при броске двух кубиков | Клеток $m$ из 36 | Вероятность |
|---|---|---|
| Сумма 13 | 0 | $0$ — невозможное |
| Сумма 12 | 1 | $\frac{1}{36}$ |
| Сумма 7 | 6 | $\frac{1}{6}$ |
| Сумма не меньше 2 | 36 | $1$ — достоверное |
Интересный факт: задача о трех костях
Скрыть
Вопрос о суммах игральных костей разбирал Галилео Галилей в заметке «О выходе очков при игре в кости» (написана между 1613 и 1623 годами, напечатана после смерти автора). Игроки замечали, что при броске трех костей сумма 10 выпадает чаще суммы 9, хотя обе суммы получаются шестью наборами чисел. Галилей объяснил это так же, как мы: исходами надо считать упорядоченные тройки чисел, их $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$; сумме 10 благоприятствуют 27 троек, а сумме 9 — 25.
Вывод
Чтобы найти вероятность, сначала нарисуйте поле исходов: какие элементарные события у опыта и равны ли они между собой. Затем закрасьте клетки события и найдите их долю. Самая частая ошибка — считать клетками то, что клетками не является: суммы очков, цвета шаров, число орлов. Так решаются задачи ОГЭ про кубики, монеты и лотереи, а дальше в модуле — противоположные события и правила сложения и умножения: все они строятся на том же поле. Проверка простая: у равных клеток одинаковые шансы, а у суммы 7 и суммы 12 они разные.
| Что в задаче | Что на поле исходов |
|---|---|
| Элементарное событие | Одна клетка |
| Все исходы опыта, $n$ | Все поле |
| Событие, его благоприятные исходы $m$ | Закрашенные клетки |
| Вероятность $P = \frac{m}{n}$ | Доля закрашенного |
| Невозможное / достоверное | Ничего не закрашено / закрашено все |
| Два кубика | Таблица 6 на 6, клетки — пары |
Часто задаваемые вопросы
Элементарное событие — один исход, одна клетка поля. Событие в общем случае — набор клеток: «выпало четное число» состоит из трех элементарных событий. Элементарное событие тоже событие, в котором закрашена ровно одна клетка.
Даже одинаковые кубики — два разных предмета, и мысленно их можно пометить. При пометке видно, что «единица на первом, шестерка на втором» и «шестерка на первом, единица на втором» — разные исходы. Если склеить их в один, клетки станут неравными и формула $\frac{m}{n}$ даст неверный ответ.
Только когда все элементарные события равновозможны. Если исходами выбраны цвета при разном числе шаров, перейдите к равным клеткам — отдельным шарам. А у утяжеленного кубика равных клеток нет вовсе: формула $\frac{m}{n}$ не работает, вероятность оценивают по частоте, как в 7 классе.
Нет. Закрашенных клеток не может быть больше, чем клеток на поле, поэтому $m \le n$ и $\frac{m}{n} \le 1$. Если в решении получилось больше 1, скорее всего, числитель и знаменатель поменяли местами.
Следующий урок. Дальше — урок «Противоположное событие»: как закрашенное и незакрашенное вместе заполняют все поле.
Повторите. Перед уроком освежите в памяти равновозможные исходы монеты и кубика из 7 класса.
Тест урока. Проверьте себя в тесте урока ниже.
5
5
1
5