7 класс Вероятность и статистика Случайные события и вероятность

Монета и кубик: равновозможные исходы

Содержание

В уроке «Вероятность и частота» мы оценивали вероятность по частоте в длинной серии опытов. Для монеты и игральной кости вероятность можно найти и без опытов — из симметрии. В этом уроке научимся перечислять исходы одного и двух бросков без пропусков, считать вероятность по формуле и не попадаться в ловушку с суммой очков.

Начнем с двух вопросов. Монету подбрасывают два раза: сколько всего исходов — три (два орла, орел и решка, две решки) или больше? Две игральные кости бросают вместе: что вероятнее — сумма очков $7$ или сумма $12$, если всего возможных сумм $11$? Ответы — в разделах «Порядок бросков важен» и «Два броска кости: карта из 36 клеток».

Когда исходы равновозможны

Подбросим монету. У этого опыта два исхода (их еще называют элементарными событиями): орел или решка. Монета симметрична, поэтому ни у одной стороны нет преимущества. У игральной кости шесть граней, одинаковых по форме и весу, и исходов шесть: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ или $6$ очков.

Нарисуем каждый исход клеткой — получится карта возможностей опыта. У монеты на карте две одинаковые клетки, у кости — полоска из шести одинаковых клеток. А вот у канцелярской кнопки, которая падает острием вверх или набок, клетки пришлось бы рисовать разными: положения кнопки неодинаковы, и одно из них выпадает чаще.

Три карты исходов: у монеты и кубика клетки одинаковые, у кнопки разные; у кубика четное выпадает в 3 клетках из 6 — У монеты и кости все клетки карты одинаковые — исходы равновозможны. У кнопки клетки разные — исходы не равновозможны

Определение

Равновозможные исходы — исходы, ни один из которых не имеет преимуществ перед другими.

Событие на карте — это подсвеченные клетки. Например, событие «выпало четное число» при броске кости подсвечивает три клетки из шести: $2$, $4$ и $6$. Если все клетки одинаковые, вероятность события — доля подсвеченных клеток. Это та же формула, что в уроке «Вероятность случайного события».

Правило

Если у опыта $n$ равновозможных исходов и $m$ из них благоприятны событию $A$, то вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов:

$$P(A)=\frac{m}{n}$$

Для кости $P(\text{четное})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Событие «выпало $7$ очков» не подсвечивает ни одной клетки: его вероятность $\frac{0}{6}=0$, это невозможное событие.

Ошибка

Решавр рассуждает: «Кнопка упадет острием вверх или набок — два исхода, значит, вероятность каждого равна $\frac{1}{2}$».

Проверим опытом, как в уроке о частоте: если бросить кнопку сотни раз, частоты двух положений, как правило, заметно отличаются от $0{,}5$ и зависят от формы кнопки.

Где сломалось рассуждение: формулу $\frac{m}{n}$ применили к исходам, которые не равновозможны. На карте кнопки клетки разного размера, и считать их штуками нельзя.

{"questions":[{"content":"Распределите опыты: где исходы равновозможны, а где нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Исходы равновозможны","Исходы не равновозможны"],"items":[["Подбрасывание симметричной монеты: орел или решка","Бросок игральной кости: число очков от $1$ до $6$","Выбор наугад одной из $10$ одинаковых карточек"],["Подбрасывание кнопки: острием вверх или набок","Встреча с динозавром на улице: да или нет","Выстрел по мишени: попал или промахнулся"]]}},"hints":["Нарисуйте карту каждого опыта: одинаковые ли получатся клетки?","Монета, кость и одинаковые карточки симметричны; у кнопки, мишени и встречи с динозавром шансы разные.","Ответ: равновозможны — монета, кость, карточки; не равновозможны — кнопка, динозавр, мишень."],"step":1},{"content":"Игральную кость бросают один раз. Какова вероятность, что выпадет $5$ очков?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{5}{6}$","$\\frac{1}{5}$","$\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{6}$"],"explanations":["Это вероятность противоположного события: что $5$ не выпадет","Делят на число остальных граней, а надо на все $6$ исходов","«Выпадет или не выпадет» — исходы с разными шансами, делить на $2$ нельзя",""],"answer":[3]}},"hints":["Исходов $6$, и они равновозможны. Благоприятный исход один — грань с $5$.","Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех: $\\frac{1}{6}$.","Ответ: $\\frac{1}{6}$."],"step":1},{"content":"Решавр рассуждает: «Завтра я встречу динозавра или не встречу — два исхода, значит, вероятность встречи $\\frac{1}{2}$». Почему это рассуждение неверно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Вероятность не бывает равна $\\frac{1}{2}$: так бывает только у монеты","Исходы «встречу» и «не встречу» не равновозможны, а формула $\\frac{m}{n}$ верна только для равновозможных исходов","Исходов на самом деле три: встречу, не встречу, не знаю — вероятность $\\frac{1}{3}$","Вероятность считают только для монет и кубиков, а динозавр — не опыт с монетой"],"explanations":["Вероятность $\\frac{1}{2}$ бывает, например, у монеты","","«Не знаю» — не исход опыта; дело в том, что исходы не равновозможны","Формула годится для любых опытов с равновозможными исходами, например карточек или шаров"],"answer":[1]}},"hints":["Формула $\\frac{m}{n}$ верна только для равновозможных исходов.","Исходы «встречу» и «не встречу» не равновозможны: шансы у них совсем разные.","Ответ: исходы не равновозможны, поэтому формула не применима."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Порядок бросков важен

Монету подбрасывают два раза. Чтобы не пропустить ни одного исхода, нарисуем дерево: от старта идут две ветки — первый бросок дал орла (О) или решку (Р). От конца каждой ветки снова две — это второй бросок. Концы веток и есть исходы: ОО, ОР, РО, РР. Первая буква — первый бросок, вторая — второй.

Дерево двух бросков монеты: четыре исхода ОО, ОР, РО, РР; ОР и РО — разные исходы — Дерево двух бросков: четыре конца — четыре равновозможных исхода. ОР и РО — разные исходы

Исходы ОР и РО различаются тем, какой бросок дал орла: в ОР — первый, в РО — второй. Если подбросить две монеты сразу, ничего не меняется: монеты всегда можно различить, например по году чеканки. Каждый из четырех концов дерева получается одинаково часто, поэтому эти исходы равновозможны.

Правило

У опыта «монету подбрасывают два раза» четыре равновозможных исхода: ОО, ОР, РО, РР. Исходы ОР и РО — разные. Каждый следующий бросок удваивает число исходов: у трех бросков их $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ошибка

Решавр рассуждает: «Исходов три: два орла, орел и решка, две решки. Значит, вероятность двух орлов равна $\frac{1}{3}$».

Проверим по дереву: «два орла» — один конец ОО, а «орел и решка» — два конца, ОР и РО. Исход Решавра «орел и решка» случается вдвое чаще, чем «два орла». Если подбросить пару монет много раз, «орел и решка» выпадет примерно в половине случаев, а не в трети.

Где сломалось рассуждение: Решавр склеил две клетки карты в одну, и его исходы перестали быть равновозможными. Верный ответ: $P(\text{ОО})=\frac{1}{4}$.

Ошибка Решавра: три исхода «два орла», «орел и решка», «две решки» не равновозможны; в средней коробке два конца дерева — В «коробку» Решавра «орел и решка» попадают два конца дерева, ОР и РО, — поэтому его три исхода не равновозможны

Пример 1

Задача. Монету подбрасывают два раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет одно и то же.

Решение. Исходы: ОО, ОР, РО, РР — их $n = 4$, и они равновозможны. Событию благоприятны ОО и РР: $m = 2$.

$$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5$$

Ответ: $0{,}5$.

При трех бросках каждая из четырех веток снова делится надвое, и концов становится восемь: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Заметьте: «два орла» — это не один исход, а три конца дерева: ООР, ОРО, РОО. Число орлов — событие, а не исход.

Дерево трех бросков монеты: восемь исходов; два орла выпадают в трех из них — ООР, ОРО, РОО — Три броска — восемь исходов: каждый бросок удваивает число концов дерева

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Монету подбрасывают два раза и записывают, что выпало в каждом броске по порядку. Сколько всего получится исходов? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gjeawv980sxy.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["На рисунке — дерево исходов: после первого броска две ветки, после каждой из них еще две.","Исходы: ОО, ОР, РО, РР. Порядок важен: ОР и РО — разные исходы.","Ответ: $4$."],"step":1},{"content":"Подбрасывают две монеты: золотую и серебряную. Решавр считает, что исход «одна монета — орел, другая — решка» всего один, и получает вероятность такого события $\\frac{1}{3}$. Как на самом деле?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Такой исход один из четырех; вероятность $\\frac{1}{4}$","Такой исход один из трех равновозможных; вероятность $\\frac{1}{3}$","Таких исходов два: орел на золотой или орел на серебряной; вероятность $\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}$","Таких исходов два из трех; вероятность $\\frac{2}{3}$"],"explanations":["Четыре исхода найдены верно, но благоприятных среди них два: ОР и РО","Исходы «два орла», «орел и решка», «две решки» не равновозможны: средний случается вдвое чаще","","Два благоприятных исхода найдены, но всех исходов тогда тоже больше трех — их четыре"],"answer":[2]}},"hints":["Монеты разные, поэтому «орел на золотой, решка на серебряной» и «решка на золотой, орел на серебряной» — разные исходы.","Всего исходов $4$: ОО, ОР, РО, РР (первая буква — золотая монета). Благоприятных $2$.","Ответ: $\\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Два броска кости: карта из 36 клеток

Игральную кость бросают два раза (или бросают две кости сразу). Исход теперь — пара чисел $(a;b)$: $a$ очков в первом броске и $b$ во втором. Составим карту: строки — первый бросок, столбцы — второй. В каждой клетке стоит одна пара, а клеток $6 \cdot 6 = 36$.

Карта двух бросков кубика: таблица 6 на 6, 36 клеток-пар; клетки (3;4) и (4;3) — разные — Карта двух бросков кости: 36 клеток. Пары $(3;4)$ и $(4;3)$ — разные клетки

Правило

У опыта «игральную кость бросают два раза» $36$ равновозможных исходов — пар $(a;b)$. Пары $(a;b)$ и $(b;a)$ при $a \ne b$ — разные исходы, как ОР и РО у монеты.

mk-tablica-36

Пример 2

Задача. Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что сумма очков равна $9$.

Решение. Всех исходов $n = 36$, они равновозможны. Подсветим клетки с суммой $9$: $(3;6)$, $(4;5)$, $(5;4)$, $(6;3)$ — их $m = 4$. Обе клетки $(4;5)$ и $(5;4)$ нужны: это разные исходы.

$$P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

Ответ: $\frac{1}{9}$.

Клетки с одинаковой суммой лежат на одной диагонали карты. Сумму $2$ дает только клетка $(1;1)$ в углу, сумму $12$ — только $(6;6)$ в противоположном углу. А сумма $7$ занимает самую длинную диагональ — шесть клеток, от $(1;6)$ до $(6;1)$.

Карта сумм двух кубиков: сумма 7 занимает диагональ из 6 клеток, суммы 2 и 12 — по одной клетке; P(7) = 6/36 = 1/6 — Одинаковые суммы лежат на диагоналях: сумма $7$ занимает 6 клеток, суммы $2$ и $12$ — по одной

Ошибка

Решавр рассуждает: «Сумма очков бывает $2$, $3$, $4$, …, $12$ — всего $11$ исходов. Значит, $P(7)=\frac{1}{11}$, и сумма $7$ так же вероятна, как сумма $12$».

Проверим по карте: сумма $7$ — шесть клеток, сумма $12$ — одна. По диагоналям получается $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$ — все клетки на месте, и они распределены между суммами очень неравномерно.

Где сломалось рассуждение: суммы — не исходы опыта, а события, и каждое занимает свое число клеток. На самом деле $P(7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$, а $P(12)=\frac{1}{36}$: сумма $7$ выпадает в шесть раз чаще суммы $12$.

Интересный факт: задача Галилея о трех костях

Скрыть

В начале XVII века Галилео Галилей разобрал вопрос игроков в кости. При броске трех костей и сумму $9$, и сумму $10$ можно составить из чисел от $1$ до $6$ шестью наборами: $9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = \ldots$ Почему же сумма $10$ на практике выпадает чаще? Галилей посчитал исходы с учетом порядка — как мы считали пары. У трех костей $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ исходов, и сумму $9$ дают $25$ из них, а сумму $10$ — $27$.

{"questions":[{"content":"Две игральные кости бросают один раз. Сопоставьте сумму очков и число пар, которые ее дают.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Сумма $2$","Сумма $5$","Сумма $7$","Сумма $10$"],"items":["$1$ пара","$4$ пары","$6$ пар","$3$ пары","$5$ пар"]}},"hints":["Пары с одинаковой суммой стоят в таблице $6 \\times 6$ на одной диагонали.","Сумма $2$: $(1;1)$. Сумма $5$: $(1;4)$, $(2;3)$, $(3;2)$, $(4;1)$. Сумма $7$: шесть пар от $(1;6)$ до $(6;1)$. Сумма $10$: $(4;6)$, $(5;5)$, $(6;4)$.","Ответ: $2$ — $1$ пара, $5$ — $4$ пары, $7$ — $6$ пар, $10$ — $3$ пары."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что сумма очков равна $4$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/osykl9lquvjw.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{4}$","$\\frac{1}{36}$","$\\frac{1}{11}$","$\\frac{1}{12}$"],"explanations":["Делят на значение суммы, а не на число всех исходов","Взята одна пара $(2;2)$, а пары $(1;3)$ и $(3;1)$ забыты","Сумм $11$ ($2,\\ldots,12$), но они не равновозможны: у одних сумм больше пар, чем у других",""],"answer":[3]}},"hints":["Всего исходов $36$. В таблице отмечены клетки с суммой $4$.","Это пары $(1;3)$, $(2;2)$, $(3;1)$ — три клетки.","Вероятность $\\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}$. Ответ: $\\frac{1}{12}$."],"step":1},{"content":"Две игральные кости бросают один раз. Решавр рассуждает: «Сумма $10$ и сумма $7$ — две из $11$ возможных сумм, поэтому они одинаково вероятны». Где ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Сумма $10$ вероятнее: число $10$ больше, чем $7$","Ошибки нет: каждая сумма — один исход из $11$ равновозможных","Ошибка в числе сумм: их не $11$, а $12$","Сумму $7$ дают шесть пар, а сумму $10$ — три: вероятности $\\frac{6}{36}$ и $\\frac{3}{36}$"],"explanations":["Величина суммы ничего не решает: считают клетки таблицы","Суммы не равновозможны: их дает разное число пар","Суммы идут от $2$ до $12$, их $11$; ошибка в том, что они неравновозможны",""],"answer":[3]}},"hints":["Посмотрите на таблицу $6 \\times 6$: сколько клеток на диагонали суммы $7$ и сколько — на диагонали суммы $10$?","Сумма $7$ — шесть пар, сумма $10$ — три пары: $(4;6)$, $(5;5)$, $(6;4)$.","Ответ: суммы не равновозможны, $\\frac{6}{36}$ против $\\frac{3}{36}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Решаем по алгоритму: от исходов к дроби

Все, что мы делали с монетами и костями, складывается в один порядок действий. Он годится и для карточек, билетов, шаров — для любого опыта, где исходы равновозможны.

Алгоритм

Выпишите все исходы опыта: для двух бросков — пары или ветки дерева.
Проверьте, что выписанные исходы равновозможны. Если нет — опишите исходы подробнее: вместо сумм очков — пары, вместо «орел и решка» — ОР и РО.
Посчитайте число всех исходов $n$ и число благоприятных исходов $m$.
Подставьте $n$ и $m$ в формулу $P(A)=\frac{m}{n}$; сократите дробь или переведите ее в десятичную, если этого требует ответ.

Пример 3

Задача. На $25$ одинаковых карточках написаны числа от $1$ до $25$. Наугад берут одну карточку. Найдите вероятность того, что число на ней делится на $4$. Ответ запишите десятичной дробью.

Решение. 1) Исходы — $25$ карточек. 2) Карточки одинаковые, берут наугад — исходы равновозможны. 3) $n = 25$; на $4$ делятся $4$, $8$, $12$, $16$, $20$, $24$, так что $m = 6$. 4) $P=\frac{6}{25}=0{,}24$.

Ответ: $0{,}24$.

Иногда проще посчитать клетки, которые не подсвечены. Событие «шестерка не выпала» противоположно событию «выпала шестерка»: при любом броске наступает ровно одно из них. На карте кости шестерка занимает одну клетку из шести, а противоположное событие — остальные пять.

Кубик: клетка «6» — событие, клетки 1–5 — противоположное; 1/6 + 5/6 = 1, P(не A) = 1 − P(A) — Событие и противоположное ему делят карту: $\frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$

Правило

Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность самого события:

$$P(\text{не }A)=1-P(A)$$

{"questions":[{"content":"Расставьте шаги решения задачи на вероятность в верном порядке.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выпишите все исходы опыта: для двух бросков — пары или ветки дерева","Теперь проверьте, что выписанные исходы равновозможны; если нет — опишите исходы подробнее","Если исходы равновозможны, тогда посчитайте число всех исходов $n$ и число благоприятных исходов $m$","Подставьте найденные $n$ и $m$ в формулу $P(A)=\\frac{m}{n}$; сократите дробь или переведите ее в десятичную, если этого требует ответ"]}},"hints":["Проверить равновозможность можно только у исходов, которые уже выписаны.","Считать $n$ и $m$ имеет смысл только для равновозможных исходов, а дробь пишут по готовым $n$ и $m$.","Ответ: исходы, равновозможность, $n$ и $m$, дробь."],"step":1},{"content":"Из $20$ карточек, пронумерованных числами от $1$ до $20$, наугад выбирают одну. Какова вероятность, что номер выбранной карточки делится на $5$? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["Исходов $20$ — любая карточка; они равновозможны.","Благоприятны номера $5$, $10$, $15$, $20$: $m = 4$.","Вероятность $\\frac{4}{20} = 0{,}2$. Ответ: $0{,}2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вероятность того, что лампа прослужит больше года, равна $0{,}92$. Какова вероятность, что она перегорит в течение года? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,08","0.08"]}},"hints":["События «прослужит больше года» и «перегорит в течение года» противоположные: одно из них происходит всегда.","Сумма их вероятностей равна $1$: $1-0{,}92=0{,}08$.","Ответ: $0{,}08$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Расчет предсказывает опыт, но только примерно

В уроке о частоте мы видели: при многих повторениях опыта частота события держится около одного числа — вероятности. Теперь это число можно найти заранее, по карте. Вероятность шестерки равна $\frac{1}{6}$, значит, в длинной серии шестерка выпадет примерно в шестой части бросков.

Пример 4

Задача. Игральную кость бросают $600$ раз. Сколько раз примерно выпадет шестерка?

Решение. $P(6)=\frac{1}{6}$, поэтому шестерка выпадет примерно $600 \cdot \frac{1}{6} = 100$ раз.

Ответ: примерно $100$ раз.

Слово «примерно» здесь главное: в настоящей серии шестерок может оказаться чуть меньше или чуть больше $100$. На рисунке — две серии бросков для примера. В серии из $10$ бросков шестерка выпала $3$ раза, частота $0{,}3$ — почти вдвое больше $\frac{1}{6}$, но расчет это не опровергает: серия короткая. В серии из $600$ бросков шестерка выпала $97$ раз, частота около $0{,}16$ — близко к $\frac{1}{6} \approx 0{,}17$. Чем длиннее серия, тем ближе частота к вероятности.

Частота шестерки: в серии из 10 бросков 0,3 далеко от расчета 1/6, в серии из 600 бросков около 0,16 — близко — Расчет дает уровень $\frac{1}{6}$: в короткой серии частота далеко от него, в длинной — близко

Правило

Если вероятность события равна $P$, то в $N$ опытах оно наступит примерно $N \cdot P$ раз. Это прогноз, а не точное число: в каждой серии результат случаен.

{"questions":[{"content":"Две игральные кости бросили $360$ раз. Сумма очков $7$ выпадет примерно [[fill_choice-1]] раз.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["33","60","6","10"],"answer":1}},"hints":["Вероятность суммы $7$ равна $\\frac{6}{36} = \\frac{1}{6}$: в таблице шесть таких клеток.","В длинной серии сумма $7$ выпадет примерно в шестой части бросков: $360 \\cdot \\frac{1}{6} = 60$.","Ответ: примерно $60$ раз."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Игральную кость бросают $60$ раз. Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Шестерка выпадет примерно $6$ раз, потому что у кости $6$ граней","Шестерка выпадет примерно $10$ раз, но в этой серии может выпасть и $7$, и $13$ раз","Шестерка выпадет ровно $10$ раз, потому что ее вероятность равна $\\frac{1}{6}$","Если шестерки не было в первых $30$ бросках, в остальных она выпадет $10$ раз"],"explanations":["Число граней — знаменатель вероятности, а прогноз — это $60 \\cdot \\frac{1}{6}$","","Вероятность дает прогноз «примерно», а не точное число: серия случайна","Кость не помнит прошлых бросков: она не «догоняет» пропущенные шестерки"],"answer":[1]}},"hints":["Вероятность шестерки $\\frac{1}{6}$, поэтому расчет дает $60 \\cdot \\frac{1}{6} = 10$.","Расчет — это прогноз «примерно»: в конкретной серии число шестерок случайно и может отличаться от $10$.","Ответ: шестерка выпадет примерно $10$ раз, но может выпасть и меньше, и больше."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Вероятность для монеты, кости, карточек находят по карте возможностей: каждый равновозможный исход — одинаковая клетка, событие — подсвеченные клетки, вероятность — их доля $\frac{m}{n}$. Главное правило карты — не пропустить клетку и не посчитать ее дважды. Поэтому ОР и РО, $(3;4)$ и $(4;3)$ — разные клетки, а суммы очков — не клетки, а диагонали разной длины. Если исходы не равновозможны, как у кнопки, формула не работает. Такие задачи встречаются в задании 10 ОГЭ, а умение перечислять исходы понадобится в комбинаторике.

Опыт	Карта	Ловушка
Монета или кость, один бросок	$2$ или $6$ одинаковых клеток	Кнопка: клетки разные, формула не работает
Монета, два броска	Дерево: $4$ конца	ОР и РО — два исхода, а не один
Монета, три броска	Дерево: $8$ концов	Число орлов — не исход
Кость, два броска	Таблица: $36$ клеток	Суммы — диагонали разной длины
Противоположное событие	Неподсвеченные клетки	$1-P(A)$

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя считать, что при броске двух монет исходов три?

Потому что исход «орел и решка» состоит из двух равновозможных: ОР и РО. Он случается вдвое чаще, чем «два орла». Формула $\frac{m}{n}$ требует равновозможных исходов, поэтому считают четыре исхода.

Зачем различать пары $(3;4)$ и $(4;3)$, если сумма одна?

Это разные результаты двух бросков: в одном случае $3$ выпало первым, в другом — вторым. На карте это две клетки. Если склеить их в одну, исходы перестанут быть равновозможными, и вероятность получится неверной.

Как быстро найти вероятность суммы очков двух костей?

Представьте таблицу $6 \times 6$: одинаковые суммы лежат на диагоналях. Сумме $7$ соответствует $6$ клеток, суммам $6$ и $8$ — по $5$, и дальше на одну меньше к краям. Число клеток делят на $36$.

Что делать, если исходы опыта не равновозможны?

Попробовать описать исходы подробнее: вместо сумм — пары, вместо «орел и решка» — ОР и РО. Если и так не выходит, как у кнопки, вероятность оценивают по частоте в длинной серии опытов.

Почему в $120$ бросках кости шестерка не выпала ровно $20$ раз?

Расчет $120 \cdot \frac{1}{6} = 20$ дает прогноз «примерно». Каждая серия случайна, и в короткой серии отклонение от прогноза бывает заметным. Кость не помнит прошлых бросков и не «догоняет» недостающие шестерки.

Награды за урок