Монета и кубик: равновозможные исходы

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Монету подбрасывают $3$ раза подряд. Сколько всего получится равновозможных исходов? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Каждый бросок удваивает число исходов: $2 \\cdot 2 \\cdot 2 = 8$.","Ответ: $8$."],"step":1},{"id":"1","content":"Монету подбрасывают $4$ раза подряд. Сколько всего получится равновозможных исходов? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Каждый бросок удваивает число исходов: $2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 = 16$.","Ответ: $16$."],"step":1},{"id":"2","content":"Монету подбрасывают два раза. Вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орел, равна [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["0,5","0,33","0,75","0,25"],"answer":2}},"hints":["Всего исходов $4$: ОО, ОР, РО, РР. Неблагоприятен только РР.","Благоприятных $3$: $\\frac{3}{4} = 0{,}75$. Ответ: $0{,}75$."],"step":1},{"id":"2","content":"Монету подбрасывают два раза. Вероятность того, что хотя бы один раз выпадет решка, равна [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["0,75","0,25","0,5","0,33"],"answer":0}},"hints":["Всего исходов $4$: ОО, ОР, РО, РР. Неблагоприятен только ОО.","Благоприятных $3$: $\\frac{3}{4} = 0{,}75$. Ответ: $0{,}75$."],"step":1},{"id":"3","content":"Игральную кость бросают один раз. Сопоставьте событие и его вероятность. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Выпадет $6$ очков","Выпадет число, кратное $3$","Выпадет больше $2$ очков","Выпадет меньше $4$ очков"],"items":["$\\frac{1}{6}$","$\\frac{1}{3}$","$\\frac{2}{3}$","$\\frac{1}{2}$","$\\frac{5}{6}$"]}},"hints":["Исходов $6$, все равновозможны. Для каждого события посчитайте благоприятные грани.","«$6$» — одна грань; «кратно $3$» — $3$ и $6$; «больше $2$» — четыре грани; «меньше $4$» — три грани.","Ответ: $\\frac{1}{6}$, $\\frac{2}{6}=\\frac{1}{3}$, $\\frac{4}{6}=\\frac{2}{3}$, $\\frac{3}{6}=\\frac{1}{2}$; лишний — $\\frac{5}{6}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Игральную кость бросают один раз. Сопоставьте событие и его вероятность. Один вариант лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Выпадет $1$ или $2$ очка","Выпадет нечетное число очков","Не выпадет $6$ очков","Выпадет $4$ очка"],"items":["$\\frac{1}{3}$","$\\frac{1}{2}$","$\\frac{5}{6}$","$\\frac{1}{6}$","$\\frac{2}{3}$"]}},"hints":["Исходов $6$, все равновозможны. Для каждого события посчитайте благоприятные грани.","«$1$ или $2$» — две грани; «нечетное» — $1$, $3$, $5$; «не $6$» — пять граней; «$4$» — одна грань.","Ответ: $\\frac{2}{6}=\\frac{1}{3}$, $\\frac{3}{6}=\\frac{1}{2}$, $\\frac{5}{6}$, $\\frac{1}{6}$; лишний — $\\frac{2}{3}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Монету подбросили $500$ раз. Сколько раз примерно выпадет орел? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"250"}},"hints":["Вероятность орла $\\frac{1}{2}$. В длинной серии орел выпадает примерно в половине бросков.","$500 \\cdot \\frac{1}{2} = 250$. Ответ: примерно $250$."],"step":1},{"id":"4","content":"Игральную кость бросили $300$ раз. Сколько раз примерно выпадет шестерка? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Вероятность шестерки $\\frac{1}{6}$. В длинной серии она выпадает примерно в шестой части бросков.","$300 \\cdot \\frac{1}{6} = 50$. Ответ: примерно $50$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-1]]Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что хотя бы при одном броске выпадет шестерка?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8m2yqd1tpebi.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{6}$","$\\frac{1}{36}$","$\\frac{11}{36}$","$\\frac{1}{3}$"],"explanations":["Взят только первый бросок, а шестерка во втором тоже подходит","Взята одна пара $(6;6)$","","Пара $(6;6)$ посчитана дважды: получили $12$ клеток вместо $11$"],"answer":[2]}},"hints":["Всего $36$ исходов. Шестерка в строке — $6$ клеток, в столбце — $6$, клетка $(6;6)$ входит в обе.","Благоприятных $6+6-1=11$, вероятность $\\frac{11}{36}$. Ответ: $\\frac{11}{36}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-2]]Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что шестерка не выпадет ни разу?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8m2yqd1tpebi.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\frac{5}{6}$","$\\frac{25}{36}$","$\\frac{11}{36}$","$\\frac{1}{36}$"],"explanations":["Учтен один бросок, а нужно оба","","Это вероятность противоположного события: хотя бы одна шестерка","Взята одна пара вместо $25$"],"answer":[1]}},"hints":["При каждом броске подходят $5$ граней, пар $5 \\cdot 5 = 25$ из $36$.","Вероятность $\\frac{25}{36}$. Проверка: событие противоположно «хотя бы одна шестерка» ($\\frac{11}{36}$), и $11 + 25 = 36$.","Ответ: $\\frac{25}{36}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Две игральные кости бросают один раз. Решавр выписал пары с суммой очков $8$: $(2;6)$, $(3;5)$, $(4;4)$ — и получил вероятность $\\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}$. Где ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $(2;6)$ и $(6;2)$ — один исход, поэтому $\\frac{3}{36}$","Делить надо на $21$ пару без порядка: $\\frac{3}{21}$","Пару $(4;4)$ тоже взять дважды: пар шесть, $\\frac{6}{36}$","Пропущены $(5;3)$ и $(6;2)$: пар пять, вероятность $\\frac{5}{36}$"],"explanations":["Кости различаются: «$2$ на первой» и «$6$ на первой» — разные клетки таблицы","Пары без учета порядка не равновозможны: $(2;6)$ выпадает вдвое чаще, чем $(4;4)$","У пары $(4;4)$ переставлять нечего: это одна клетка таблицы",""],"answer":[3]}},"hints":["Кости разные: «$2$ на первой, $6$ на второй» и «$6$ на первой, $2$ на второй» — разные клетки таблицы $6 \\times 6$.","Пар с суммой $8$ пять: $(2;6)$, $(3;5)$, $(4;4)$, $(5;3)$, $(6;2)$. Вероятность $\\frac{5}{36}$.","Ответ: пропущены пары $(5;3)$ и $(6;2)$, вероятность $\\frac{5}{36}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Две игральные кости бросают один раз. Решавр выписал пары с суммой очков больше $10$: $(5;6)$ и $(6;6)$ — и получил вероятность $\\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}$. Где ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Пару $(6;6)$ тоже взять дважды: пар четыре, $\\frac{4}{36}$","Делить надо на $11$ сумм: подходят две, $\\frac{2}{11}$","Ошибки нет: $(5;6)$ и $(6;5)$ — один исход, поэтому $\\frac{2}{36}$","Пропущена $(6;5)$: пар три, вероятность $\\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}$"],"explanations":["У пары $(6;6)$ переставлять нечего: это одна клетка таблицы","Суммы не равновозможны: делят на $36$ клеток, а не на число сумм","Кости различаются: «$5$ на первой» и «$6$ на первой» — разные клетки таблицы",""],"answer":[3]}},"hints":["Кости разные: «$5$ на первой, $6$ на второй» и «$6$ на первой, $5$ на второй» — разные клетки таблицы $6 \\times 6$.","Сумма больше $10$ — это $11$ или $12$: пары $(5;6)$, $(6;5)$, $(6;6)$. Вероятность $\\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}$.","Ответ: пропущена пара $(6;5)$, вероятность $\\frac{1}{12}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Игральную кость бросают дважды. Решавр рассуждает: «Суммы очков могут быть $2, 3, \\ldots, 12$ — всего $11$ исходов, значит, вероятность суммы $2$ равна $\\frac{1}{11}$». Где ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Надо делить на $6$: на кубике шесть граней, вероятность $\\frac{1}{6}$","Надо делить на $36$, но $1+1$ и $1+1$ — две пары: $P(2)=\\frac{2}{36}$","Ошибки нет: сумм $11$, все равновозможны, вероятность $\\frac{1}{11}$","Суммы не равновозможны: сумма $2$ получается одной парой из $36$, вероятность $\\frac{1}{36}$"],"explanations":["Опыт состоит из двух бросков, всех исходов $36$","Пара $(1;1)$ — одна клетка таблицы: переставлять в ней нечего","Сумма $2$ получается одной парой, а сумма $7$ — шестью: шансы разные",""],"answer":[3]}},"hints":["Суммы не равновозможны: одни получаются большим числом пар, чем другие.","Сумма $2$ получается одной парой $(1;1)$ из $36$: вероятность $\\frac{1}{36}$.","Ответ: суммы неравновозможны; вероятность $\\frac{1}{36}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Игральную кость бросают дважды. Решавр рассуждает: «Сумма очков может быть любым числом от $2$ до $12$ — это $11$ исходов, значит, вероятность суммы $11$ равна $\\frac{1}{11}$». Где ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Надо делить на $6$: на кубике шесть граней, вероятность $\\frac{1}{6}$","Сумма $11$ — одна пара $(5;6)$, ведь $(6;5)$ то же самое: $\\frac{1}{36}$","Ошибки нет: сумм $11$, все равновозможны, вероятность $\\frac{1}{11}$","Суммы не равновозможны: сумма $11$ получается двумя парами из $36$, вероятность $\\frac{1}{18}$"],"explanations":["Опыт состоит из двух бросков, всех исходов $36$","Пара $(6;5)$ — другая клетка таблицы, ее тоже надо считать","Сумма $11$ получается двумя парами, а сумма $7$ — шестью: шансы разные",""],"answer":[3]}},"hints":["Суммы не равновозможны: одни получаются большим числом пар, чем другие.","Сумма $11$ получается двумя парами $(5;6)$ и $(6;5)$ из $36$: $\\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}$.","Ответ: суммы неравновозможны; вероятность $\\frac{1}{18}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Монету подбрасывают три раза. Решавр рассуждает: «Орлов может выпасть $0$, $1$, $2$ или $3$ — исходов четыре, значит, вероятность ровно одного орла равна $\\frac{1}{4}$». Где ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Исходы — последовательности бросков, их $8$; один орел дают ОРР, РОР, РРО: $\\frac{3}{8}$","Исходов $8$, но один орел — один исход ОРР: вероятность $\\frac{1}{8}$","Ошибки нет: исходов четыре, ведь орлов бывает $0$, $1$, $2$ или $3$","Исходов $6$, ведь три броска по два исхода: вероятность $\\frac{3}{6}=\\frac{1}{2}$"],"explanations":["","Орел может выпасть в любом из трех бросков: ОРР, РОР и РРО — разные исходы","Числа орлов получаются разным числом последовательностей, поэтому они не равновозможны","Два исхода на бросок перемножают, а не складывают: $2 \\cdot 2 \\cdot 2 = 8$"],"answer":[0]}},"hints":["Число орлов — не исход: один орел получается разными последовательностями бросков.","Исходов $2 \\cdot 2 \\cdot 2 = 8$. Ровно один орел: ОРР, РОР, РРО — три исхода.","Ответ: вероятность $\\frac{3}{8}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Монету подбрасывают три раза. Решавр рассуждает: «Орлов может выпасть $0$, $1$, $2$ или $3$ — исходов четыре, значит, вероятность трех орлов равна $\\frac{1}{4}$». Где ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: исходов четыре, ведь орлов бывает $0$, $1$, $2$ или $3$","Исходы — последовательности бросков, их $8$; три орла — один исход из $8$: $\\frac{1}{8}$","Исходов $6$, ведь три броска по два исхода: вероятность $\\frac{1}{6}$","Исходов $8$, а три орла — это три исхода, по орлу на бросок: $\\frac{3}{8}$"],"explanations":["Числа орлов получаются разным числом последовательностей, поэтому они не равновозможны","","Два исхода на бросок перемножают, а не складывают","Три орла — одна последовательность ООО, то есть один исход"],"answer":[1]}},"hints":["Число орлов — не исход: одно и то же число орлов получается разными последовательностями (один орел — это ОРР, РОР, РРО).","Исходы — последовательности бросков: $2 \\cdot 2 \\cdot 2 = 8$. Три орла — один исход ООО.","Ответ: вероятность $\\frac{1}{8}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В лотерее $50$ билетов, из них $7$ выигрышных. Какова вероятность, что наугад выбранный билет окажется без выигрыша? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,86","0.86"]}},"hints":["Билетов без выигрыша $50-7=43$.","Вероятность $\\frac{43}{50} = 0{,}86$. Ответ: $0{,}86$."],"step":1},{"id":"9","content":"В коробке $25$ ручек, из них $6$ не пишут. Какова вероятность, что наугад выбранная ручка пишет? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,76","0.76"]}},"hints":["Пишущих ручек $25-6=19$.","Вероятность $\\frac{19}{25} = 0{,}76$. Ответ: $0{,}76$."],"step":1},{"id":"10","content":"Игральную кость бросили $12$ раз, и шестерка выпала $5$ раз. Решавр заключил: «Вероятность шестерки равна $\\frac{5}{12}$». Где ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Частота в короткой серии случайна; вероятность определяет симметрия кости: $\\frac{1}{6}$","Ошибки нет: вероятность равна доле шестерок, $5$ из $12$ бросков","Вероятность равна $\\frac{5}{6}$: шестерка выпала $5$ раз, а граней $6$","Вероятность станет $\\frac{1}{6}$, только если бросить кость $6$ раз"],"explanations":["","В короткой серии доля может сильно отличаться от вероятности","Число выпадений $5$ поделили на число граней $6$, а это разные величины: выпадения считают в серии бросков, грани — на кубике. Вероятность шестерки по симметрии $\\frac{1}{6}$","Число бросков не меняет вероятность: она $\\frac{1}{6}$ при любой серии"],"answer":[0]}},"hints":["Вероятность шестерки определяет симметрия кости: $\\frac{1}{6}$. Частота в двенадцати бросках — случайная, она лишь приблизительно показывает вероятность.","Чем длиннее серия, тем ближе частота к $\\frac{1}{6}$.","Ответ: вероятность $\\frac{1}{6}$, а $\\frac{5}{12}$ — частота в короткой серии."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Монету бросили $5$ раз, и орел выпал $4$ раза. Решавр заключил: «Вероятность орла равна $0{,}8$». Где ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Вероятность равна $\\frac{4}{2}=2$: орел выпал $4$ раза, а сторон $2$","Частота в короткой серии случайна; вероятность определяет симметрия монеты: $0{,}5$","Ошибки нет: вероятность равна доле орлов, $4$ из $5$ бросков","Вероятность станет $0{,}5$, только если бросить монету $2$ раза"],"explanations":["Вероятность не бывает больше $1$; у монеты она $\\frac{1}{2}$","","В короткой серии доля может сильно отличаться от вероятности","Число бросков не меняет вероятность: она $0{,}5$ при любой серии"],"answer":[1]}},"hints":["Вероятность орла у симметричной монеты равна $\\frac{1}{2}$. Частота $0{,}8$ в пяти бросках случайна.","Чем длиннее серия, тем ближе частота к $\\frac{1}{2}$.","Ответ: вероятность $0{,}5$, а $0{,}8$ — частота в короткой серии."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>