Карточки
Тесты
Зави
Противоположное событие
Противоположное событие
В прошлом уроке мы разобрали элементарные события и благоприятные исходы: все исходы опыта — клетки одного поля, событие — закрашенная часть поля, а вероятность — доля закрашенного. Сегодня посмотрим на незакрашенную часть. Она тоже событие, его называют противоположным, и его вероятность находится одним вычитанием.
Закрасили событие — остаток тоже что-то значит
В прогнозе погоды пишут: «Вероятность дождя — 30%», то есть $0{,}3$. А какова вероятность, что дождя не будет? Ответить можно сразу, но мы вернемся к этому вопросу в конце урока: в нем есть ловушка.
Начнем с опыта, где все исходы видны. Бросаем игральный кубик. Исходов шесть, они равновозможны: это шесть клеток поля. Пусть событие $A$ — «выпало число, кратное 3». Ему благоприятны клетки 3 и 6, закрасим их оранжевым.
Посмотрите на четыре незакрашенные клетки: 1, 2, 4, 5. Они не случайный набор. Это ровно те исходы, при которых $A$ не произошло. Их можно назвать одной фразой: «выпало число, не кратное 3». Значит, остаток поля — тоже событие. Чтобы описать его словами, достаточно добавить к событию $A$ частицу «не».
Частицу «не» ставят ко всему условию события, а не заменяют слово на «противоположное по смыслу». Для события «выпало число, большее 4» остаток — «выпало число, не большее 4», то есть 1, 2, 3, 4. Если сказать «меньшее 4», клетка 4 потеряется: она не попадет ни в событие, ни в остаток. Проверяйте по полю: каждая клетка должна оказаться ровно в одной из двух частей.
Остаток поля получает имя
Определение
Противоположное событие к событию $A$ — это событие, которое происходит ровно тогда, когда $A$ не происходит. Его обозначают $\overline{A}$ и читают «не $A$».
На поле исходов $\overline{A}$ — это все незакрашенные клетки. Отсюда два свойства, которые видны сразу.
- У $A$ и $\overline{A}$ нет общих клеток: исход не может одновременно и быть кратным 3, и не быть.
- Вместе $A$ и $\overline{A}$ покрывают все поле: любой исход попадает либо в $A$, либо в $\overline{A}$.
Слово «ровно» в определении важно. Событие $\overline{A}$ должно происходить при каждом исходе вне $A$, а не при некоторых из них. Поэтому у события есть только одно противоположное.
Почему противоположное событие только одно
Скрыть
Пусть два события $C$ и $D$ противоположны событию $A$. Возьмем любой исход вне $A$. По определению при нем происходит и $C$, и $D$. Возьмем исход внутри $A$: при нем не происходит ни $C$, ни $D$. Значит, $C$ и $D$ состоят из одних и тех же клеток — это одно и то же событие, хотя словами его можно описать по-разному: «нечетное» и «не четное».
Противоположность взаимна: остаток остатка — снова исходное событие. Если $A$ — «выпало четное число», то $\overline{A}$ — «выпало нечетное число», а противоположное к «нечетному» — снова «четное».
Две части поля в сумме дают все поле
Вернемся к кубику. Событию $A$ («кратно 3») благоприятны 2 клетки из 6, событию $\overline{A}$ — остальные 4. Сложим доли: $\dfrac{2}{6}+\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{6}=1$. Так будет для любого события: закрашенная часть и остаток вместе — все поле, а доля всего поля равна 1.
Правило
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Поэтому вероятность противоположного события равна единице минус вероятность самого события.
Почему верно. Пусть в опыте $n$ равновозможных исходов и $m$ из них благоприятны $A$. Тогда остаток содержит $n-m$ клеток, и $P(\overline{A})=\dfrac{n-m}{n}=1-\dfrac{m}{n}=1-P(A)$.
Пример 1
Бросают кубик. Найдите вероятность того, что выпадет число, не кратное 3.
Решение. Пусть $A$ — «выпало число, кратное 3». Ему благоприятны 3 и 6, поэтому $P(A)=\dfrac{2}{6}=\dfrac13$. Искомое событие — $\overline{A}$: $P(\overline{A})=1-\dfrac13=\dfrac23$.
Проверка по полю. Незакрашенных клеток четыре: 1, 2, 4, 5, и $\dfrac46=\dfrac23$. Совпало.
Ответ: $\dfrac23$.
В интерактиве вы сами меняете размер области $A$ на поле из 20 клеток. Закрашенная часть растет, остаток сжимается, а сумма двух вероятностей остается равной 1. Попробуйте добиться, чтобы $P(\overline{A})$ была втрое больше $P(A)$.
Ошибка
Решавр знает, что $P(A)=0{,}3$, и пишет: «$P(\overline{A})=\dfrac{1}{0{,}3}\approx 3{,}33$». Он решил, что «противоположное» значит «обратное число».
Проверка на числах. Вероятность — доля поля, она не больше 1, а $3{,}33>1$. Сумма тоже не сходится: $0{,}3+3{,}33\ne 1$.
Где сломалось. Противоположное событие — это остаток поля, а не перевернутая дробь. Остаток находят вычитанием: $1-0{,}3=0{,}7$. Проверка суммой: $0{,}3+0{,}7=1$.
Иногда остаток посчитать проще, чем само событие
Формула $P(A)=1-P(\overline{A})$ работает и в обратную сторону. Если благоприятных исходов много, а неблагоприятных мало, выгоднее считать остаток. Посмотрим на событие «сумма очков на двух кубиках меньше 12». Подходят 35 пар из 36, перебирать их долго. Остаток — одна пара $(6;\,6)$, поэтому $P=1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$.
Особенно удобен остаток, когда в условии есть слова «хотя бы один» или «не равно». У события «хотя бы один» много вариантов, а противоположное — «ни одного» — задается одним условием: на каждом кубике не та цифра. Такие исходы легко сосчитать: это квадрат.
Пример 2
Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что хотя бы на одном кубике выпадет шестерка.
Решение. Поле — таблица $6\times 6$, всего 36 пар. Событие $A$ — «хотя бы одна шестерка». Противоположное $\overline{A}$ — «ни на одном кубике нет шестерки»: на каждом кубике одно из чисел от 1 до 5, это квадрат $5\times 5$, 25 пар. Тогда $P(\overline{A})=\dfrac{25}{36}$ и $P(A)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$.
Проверка напрямую. Шестерка на первом кубике — 6 пар, на втором — 6 пар, но пара $(6;\,6)$ попала в оба счета. Значит, пар $6+6-1=11$. Если забыть вычесть 1, получится неверное $\dfrac{12}{36}$, а через остаток эта ловушка не возникает.
Ответ: $\dfrac{11}{36}$.
Остаток не всегда выгоднее. Для события «на двух кубиках выпали две шестерки» благоприятна одна пара из 36, и $P=\dfrac{1}{36}$ видно сразу; через остаток пришлось бы считать 35 пар. Правило выбора простое: считайте ту часть поля, которую проще описать и сосчитать, а вторую получайте вычитанием из 1.
Тот же ход — «все поле минус ни одного» — понадобится в уроке о дереве опыта.
Противоположное — не любое другое событие
Вторая частая ошибка — назвать противоположным какое-нибудь другое событие. Проверим ее на поле. В ящике 10 шаров: 5 красных, 3 синих и 2 зеленых. Событие $A$ — «достали красный шар», $P(A)=\dfrac{5}{10}=0{,}5$.
Ошибка
Решавр говорит: «Противоположное к красному — синий» — и получает $P=\dfrac{3}{10}=0{,}3$.
Проверка на числах. $0{,}5+0{,}3=0{,}8\ne 1$. Значит, «красный» и «синий» не делят поле на две части.
Где сломалось. Две зеленые клетки не вошли ни в $A$, ни в событие «синий». Противоположное к $A$ должно забрать весь остаток: «достали не красный шар», то есть синий или зеленый. Его вероятность $\dfrac{5}{10}=0{,}5$, и сумма $0{,}5+0{,}5=1$.
Обратите внимание
Проверка пары на противоположность: у событий нет общих исходов, и вместе они покрывают все исходы. Если сумма вероятностей не равна 1, события точно не противоположны. Обратное неверно: сумма, равная 1, еще не доказывает противоположность. На кубике события «1, 2, 3» и «3, 4, 5» дают $\dfrac36+\dfrac36=1$, но у них есть общий исход 3, а исход 6 не вошел никуда.
Теперь ответим на вопрос из начала. Событие «пойдет дождь» имеет вероятность $0{,}3$. Противоположное к нему — «дождя не будет», и $P=1-0{,}3=0{,}7$. Но «дождя не будет» не означает «будет солнечно»: облачный день без дождя тоже входит в остаток. Вероятность «солнечно» по прогнозу дождя не найти — это лишь часть остатка, как синие шары в ящике.
Вывод
Противоположное событие нужно в задачах со словами «не», «хотя бы один», «не равно»: часто остаток посчитать проще, чем само событие. Чтобы вспомнить главное, представьте поле исходов.
Часто задаваемые вопросы
Нет. Вероятность — доля поля, а доля части не больше целого. Если получилось больше 1, скорее всего, вы взяли обратное число $\frac{1}{P(A)}$ вместо $1-P(A)$.
Невозможному. Достоверное событие занимает все поле, остатка нет, поэтому $P(\overline{A})=1-1=0$. И наоборот, противоположное к невозможному — достоверное.
Нет. Противоположное событие — это весь остаток поля, а остаток у закрашенной области один. Могут различаться только слова: «выпало нечетное» и «выпало не четное» — одно и то же событие.
Нет. Если благоприятных исходов мало, проще сосчитать их напрямую. Через остаток выгодно, когда он заметно меньше самого события или проще описывается, как «ни одного» вместо «хотя бы одного».
Объединение и пересечение событий
Элементарные события, благоприятные исходы
Пройдите тест урока (8 вопросов), затем закрепите тему в тренажере «Противоположные и независимые события».
5
5
1
5