Вероятность случайного события. Итоговый тест

8 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков равна 5?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{4}{11}$","$\\frac{1}{9}$","$\\frac{1}{11}$","$\\frac{1}{3}$"],"explanations":["Благоприятные пары делят на число сумм, а не на 36","","Суммы 2…12 приняты за 11 равновозможных исходов","В знаменателе 12: сложили грани двух кубиков"],"answer":[1]}},"hints":["Представьте поле исходов 6 на 6: клетка — пара (первый кубик; второй), всего $6\\cdot 6=36$ клеток, все равновозможны.","Сумме 5 благоприятны клетки: (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), $m=4$.","$P=\\frac{4}{36}=\\frac{1}{9}$. Ответ: $\\frac{1}{9}$."],"step":1},{"id":"1","content":"Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков равна 10?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{4}$","$\\frac{1}{11}$","$\\frac{3}{11}$","$\\frac{1}{12}$"],"explanations":["В знаменателе 12: сложили грани двух кубиков","Суммы 2…12 приняты за 11 равновозможных исходов","Благоприятные пары делят на число сумм, а не на 36",""],"answer":[3]}},"hints":["Представьте поле исходов 6 на 6: клетка — пара (первый кубик; второй), всего $6\\cdot 6=36$ клеток, все равновозможны.","Сумме 10 благоприятны клетки: (4; 6), (5; 5), (6; 4), $m=3$.","$P=\\frac{3}{36}=\\frac{1}{12}$. Ответ: $\\frac{1}{12}$."],"step":1},{"id":"2","content":"Если $P(A)=0{,}125$, то $P(\\overline{A})=$ [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0{,}125$","$0{,}875$","$0{,}75$","$0{,}975$"],"answer":1,"placeholder":0}},"hints":["$\\overline{A}$ — весь незакрашенный остаток поля исходов, а не какое-то другое событие: вместе $A$ и $\\overline{A}$ занимают все поле, их вероятности в сумме дают $1$.","$P(\\overline{A})=1-0{,}125=0{,}875$.","Ответ: $0{,}875$."],"step":1},{"id":"2","content":"Если $P(A)=0{,}625$, то $P(\\overline{A})=$ [[fill_choice_big-2]].","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$0{,}5$","$0{,}625$","$0{,}875$","$0{,}375$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["$\\overline{A}$ — весь незакрашенный остаток поля исходов, а не какое-то другое событие: вместе $A$ и $\\overline{A}$ занимают все поле, их вероятности в сумме дают $1$.","$P(\\overline{A})=1-0{,}625=0{,}375$.","Ответ: $0{,}375$."],"step":1},{"id":"3","content":"Известно, что $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}3$, $P(A\\cap B)=0{,}1$. Тогда $P(A\\cup B)=$ [[fill_choice_big-3]].","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$0{,}8$","$0{,}18$","$1$","$0{,}9$"],"answer":0,"placeholder":0}},"hints":["На поле исходов области $A$ и $B$ перекрываются: при сложении $P(A)+P(B)$ перекрытие закрашено дважды.","Поэтому $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)$.","$0{,}6+0{,}3-0{,}1=0{,}8$. Ответ: $0{,}8$."],"step":1},{"id":"3","content":"Известно, что $P(A)=0{,}7$, $P(B)=0{,}2$, $P(A\\cap B)=0{,}1$. Тогда $P(A\\cup B)=$ [[fill_choice_big-4]].","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$0{,}8$","$0{,}9$","$1$","$0{,}14$"],"answer":0,"placeholder":0}},"hints":["На поле исходов области $A$ и $B$ перекрываются: при сложении $P(A)+P(B)$ перекрытие закрашено дважды.","Поэтому $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)$.","$0{,}7+0{,}2-0{,}1=0{,}8$. Ответ: $0{,}8$."],"step":1},{"id":"4","content":"Бросают кубик. Решавр считает: «События «выпало число, кратное 3» и «выпало нечетное число» независимы, значит, несовместны, поэтому вероятность «кратное 3 или нечетное» равна $\\frac13+\\frac12=\\frac56$». Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $\\frac56$","Надо умножить: $\\frac16$","Надо вычесть общий исход: $\\frac23$","События противоположны: $1$"],"explanations":["Складывать можно только тогда, когда общих исходов нет, а число 3 подходит обоим событиям","Произведение — вероятность «и» (обоих сразу), а спрашивают «или»","","Противоположные события вместе занимают все поле, а эти не охватывают числа 2 и 4"],"answer":[2]}},"hints":["Отметьте на поле исходов 1–6 клетки обоих событий: кратные 3 — 3 и 6, нечетные — 1, 3, 5. Клетка 3 закрашена дважды.","Значит, события совместны. Независимость ($P(3)=\\frac16=\\frac13\\cdot\\frac12$) не означает несовместность: независимые события могут иметь общие исходы.","Подходят числа 1, 3, 5, 6: $\\frac13+\\frac12-\\frac16=\\frac46=\\frac23$."],"step":1},{"id":"4","content":"Из карточек с номерами от 1 до 10 берут одну. Решавр считает: «События «номер четный» и «номер не больше 4» независимы, значит, несовместны, поэтому вероятность «четный или не больше 4» равна $\\frac{5}{10}+\\frac{4}{10}=\\frac{9}{10}$». Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $\\frac{9}{10}$","События противоположны: $1$","Надо вычесть общие исходы: $\\frac{7}{10}$","Надо умножить: $\\frac15$"],"explanations":["Складывать можно только тогда, когда общих исходов нет, а номера 2 и 4 подходят обоим событиям","Номера 5, 7, 9 не входят ни в одно из событий","","Произведение — вероятность «и» (обоих сразу), а спрашивают «или»"],"answer":[2]}},"hints":["Отметьте на поле исходов 1–10 клетки обоих событий: четные — 2, 4, 6, 8, 10, не больше 4 — 1, 2, 3, 4. Клетки 2 и 4 закрашены дважды.","Значит, события совместны. Независимость ($P=\\frac{2}{10}=\\frac12\\cdot\\frac{4}{10}$) не означает несовместность: независимые события могут иметь общие исходы.","Подходят номера 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10: $\\frac{5}{10}+\\frac{4}{10}-\\frac{2}{10}=\\frac{7}{10}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите ситуации по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Независимые события","Зависимые события"],"items":[["Достали шар, вернули его, перемешали и достали второй","Бросили монету и вытащили карту из колоды"],["Из 5 билетов один выигрышный; двое по очереди тянут по билету","Из букв слова вытащили одну, не вернули, вытащили вторую"]]}},"instruction":"Распределите ситуации по группам","hints":["Спросите себя: меняет ли первый шаг состав, из которого делают второй выбор?","Если взятое вернули, состав прежний — события независимы, даже если шаги идут подряд. Если не вернули или выбирают из оставшихся — зависимы.","Независимые: шар вернули; монета и карта из разных опытов. Зависимые: билет и букву не вернули."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите ситуации по группам.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Независимые события","Зависимые события"],"items":[["Вытянули карточку, вернули в коробку, перемешали и вытянули снова","Две гирлянды включены в разные розетки"],["Из 10 конфет 3 с орехом; съели одну, затем взяли вторую","Из набора домино взяли кость и, не возвращая, взяли еще одну"]]}},"instruction":"Распределите ситуации по группам","hints":["Спросите себя: меняет ли первый шаг состав, из которого делают второй выбор?","Если взятое вернули, состав прежний — события независимы, даже если шаги идут подряд. Если не вернули или выбирают из оставшихся — зависимы.","Независимые: карточку вернули; гирлянды в разных розетках не влияют друг на друга. Зависимые: конфету и кость домино не вернули."],"step":1},{"id":"6","content":"В коробке 6 карточек, на 3 из них нарисован круг. Достают три карточки подряд, не возвращая. Решавр считает: «Вероятность того, что на всех трех карточках круг, равна $\\frac{3}{6}\\cdot\\frac{3}{6}\\cdot\\frac{3}{6}=\\frac{1}{8}$». Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $\\frac{1}{8}$","Нужен только первый шаг: $\\frac{1}{2}$","Состав меняется после каждого шага: $\\frac{1}{20}$","Состав меняется только после первого шага: $\\frac{2}{25}$"],"explanations":["Карточки не возвращают, поэтому состав меняется","Три удачи подряд получить труднее, чем одну: вероятность должна быть меньше, чем у первого шага","","После второго шага карточки тоже не вернули: на третьем шаге $\\frac{1}{4}$"],"answer":[2]}},"hints":["Нарисуйте дерево опыта: карточки не возвращают, поэтому после каждого шага их становится на одну меньше — и всего, и подходящих.","Вероятности шагов: $\\frac{3}{6}$, $\\frac{2}{5}$, $\\frac{1}{4}$ — события зависимы, умножать $\\frac{3}{6}$ трижды нельзя.","$\\frac{3}{6}\\cdot\\frac{2}{5}\\cdot\\frac{1}{4}=\\frac{1}{20}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Среди 5 билетов 3 выигрышных. Три человека по очереди берут по билету, билеты не возвращают. Решавр считает: «Вероятность того, что все три билета выигрышные, равна $\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{3}{5}=\\frac{27}{125}$». Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $\\frac{27}{125}$","Состав меняется после каждого шага: $\\frac{1}{10}$","Нужен только первый шаг: $\\frac{3}{5}$","Состав меняется только после первого шага: $\\frac{3}{20}$"],"explanations":["Билеты не возвращают, поэтому состав меняется","","Три удачи подряд получить труднее, чем одну: вероятность должна быть меньше, чем у первого шага","После второго шага билеты тоже не вернули: на третьем шаге $\\frac{1}{3}$"],"answer":[1]}},"hints":["Нарисуйте дерево опыта: билеты не возвращают, поэтому после каждого шага их становится на одну меньше — и всего, и подходящих.","Вероятности шагов: $\\frac{3}{5}$, $\\frac{2}{4}$, $\\frac{1}{3}$ — события зависимы, умножать $\\frac{3}{5}$ трижды нельзя.","$\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{2}{4}\\cdot\\frac{1}{3}=\\frac{1}{10}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Баскетболист делает 4 независимых броска, каждый раз попадает с вероятностью $0{,}3$. Решавр считает вероятность того, что он попадет хотя бы раз: $0{,}3+0{,}3+0{,}3+0{,}3=1{,}2$. Почему так быть не может? Найдите верную вероятность. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,7599","0.7599"]}},"hints":["Вероятность не бывает больше 1. На дереве опыта пути, где успех был несколько раз, при сложении посчитаны по нескольку раз.","Противоположное событие — «ни разу»: $0{,}7 \\cdot 0{,}7 \\cdot 0{,}7 \\cdot 0{,}7=0{,}2401$.","$1-0{,}2401=0{,}7599$. Ответ: 0,7599."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Ученик трижды независимо пытается решить задачу-головоломку, каждый раз успешно с вероятностью $0{,}4$. Решавр считает вероятность того, что он решит ее хотя бы раз: $0{,}4+0{,}4+0{,}4=1{,}2$. Почему так быть не может? Найдите верную вероятность. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,784","0.784"]}},"hints":["Вероятность не бывает больше 1. На дереве опыта пути, где успех был несколько раз, при сложении посчитаны по нескольку раз.","Противоположное событие — «ни разу»: $0{,}6 \\cdot 0{,}6 \\cdot 0{,}6=0{,}216$.","$1-0{,}216=0{,}784$. Ответ: 0,784."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В здании три независимых датчика дыма. При пожаре они срабатывают с вероятностями $0{,}5$; $0{,}6$ и $0{,}8$. Найдите вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["0,96","0.96"]}},"hints":["Противоположное событие — не сработал ни один датчик, вероятности отказов $1-p$.","$0{,}5 \\cdot 0{,}4 \\cdot 0{,}2=0{,}04$.","$1-0{,}04=0{,}96$. Ответ: 0,96."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В здании три независимых датчика дыма. При пожаре они срабатывают с вероятностями $0{,}7$; $0{,}5$ и $0{,}9$. Найдите вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,985","0.985"]}},"hints":["Противоположное событие — не сработал ни один датчик, вероятности отказов $1-p$.","$0{,}3 \\cdot 0{,}5 \\cdot 0{,}1=0{,}015$.","$1-0{,}015=0{,}985$. Ответ: 0,985."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>