Независимые события. Правило умножения

8 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"События $A$ и $B$ независимы, $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}5$. Тогда $P(A\\cap B)=$ [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0{,}15$","$0{,}65$","$0{,}8$","$0{,}2$"],"answer":0,"placeholder":0}},"hints":["Для независимых событий вероятности перемножают.","$0{,}3\\cdot 0{,}5=0{,}15$.","Ответ: $0{,}15$."],"step":1},{"id":"1","content":"События $A$ и $B$ независимы, $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}6$. Тогда $P(A\\cap B)=$ [[fill_choice_big-2]].","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$0{,}76$","$1$","$0{,}24$","$0{,}2$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Для независимых событий вероятности перемножают.","$0{,}4\\cdot 0{,}6=0{,}24$.","Ответ: $0{,}24$."],"step":1},{"id":"2","content":"Монету бросают три раза подряд. Сколько всего различных результатов (по порядку) возможно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["9","6","4","8"],"explanations":["Считают как $3\\cdot 3$: у монеты не три исхода","Складывают: $2+2+2$, а надо перемножать","Забыт третий бросок",""],"answer":[3]}},"hints":["После каждого броска исходов вдвое больше.","Всего $2\\cdot 2\\cdot 2=8$ результатов.","Ответ: 8."],"step":1},{"id":"2","content":"Монету бросают два раза и один раз бросают кубик. Сколько всего различных результатов возможно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["24","12","10","36"],"explanations":["","Забыт один бросок монеты","Складывают: $2+2+6$, а надо перемножать","Перемножили $6\\cdot 6$, будто бросают два кубика, а монеты потеряны"],"answer":[0]}},"hints":["Исходы монеты и кубика сочетаются любым образом.","Всего $2\\cdot 2\\cdot 6=24$ результата.","Ответ: 24."],"step":1},{"id":"3","content":"Два стрелка стреляют независимо. Вероятность попадания первого равна 0,9, второго — 0,6. Какова вероятность того, что попадут оба?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$0{,}54$","$0{,}96$","$1{,}5$","$0{,}3$"],"explanations":["","Это вероятность того, что попадет хотя бы один","Вероятность не может быть больше 1: складывать для «и» нельзя","Вычитать вероятности для «и» нельзя"],"answer":[0]}},"hints":["События независимы: промах или попадание одного не влияет на другого.","Перемножаем: $0{,}9\\cdot 0{,}6=0{,}54$.","Ответ: $0{,}54$."],"step":1},{"id":"3","content":"Два стрелка стреляют независимо. Вероятность попадания первого равна 0,7, второго — 0,8. Какова вероятность того, что попадут оба?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$0{,}1$","$0{,}56$","$1{,}5$","$0{,}94$"],"explanations":["Вычитать вероятности для «и» нельзя","","Вероятность не может быть больше 1: складывать для «и» нельзя","Это вероятность того, что попадет хотя бы один"],"answer":[1]}},"hints":["События независимы: промах или попадание одного не влияет на другого.","Перемножаем: $0{,}7\\cdot 0{,}8=0{,}56$.","Ответ: $0{,}56$."],"step":1},{"id":"4","content":"Два стрелка стреляют независимо. Вероятности попадания равны 0,6 и 0,5. Решавр считает: «Вероятность того, что оба попадут, равна $0{,}6+0{,}5=1{,}1$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Надо взять наибольшую вероятность: $0{,}6$","Надо умножить: $0{,}6\\cdot 0{,}5=0{,}3$","Ошибки нет: «оба» значит сложить","Надо вычесть: $0{,}6-0{,}5=0{,}1$"],"explanations":["Оба попадут реже, чем один из них","","Сумма вышла больше 1, такого не бывает","Вычитание не отвечает на вопрос «и»"],"answer":[1]}},"hints":["Вероятность не может быть больше 1: ответ 1,1 невозможен.","Попадание обоих — «и»: для независимых событий вероятности перемножают.","$0{,}6\\cdot 0{,}5=0{,}3$."],"step":1},{"id":"4","content":"Две лампы перегорают независимо, вероятности равны 0,2 и 0,3. Решавр считает: «Вероятность того, что перегорят обе, равна $0{,}2+0{,}3=0{,}5$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Надо умножить: $0{,}2\\cdot 0{,}3=0{,}06$","Ошибки нет: «обе» значит сложить","Надо взять наибольшую вероятность: $0{,}3$","Надо вычесть: $0{,}3-0{,}2=0{,}1$"],"explanations":["","Сумма больше каждой из вероятностей, а «обе» — более редкое событие","Обе лампы перегорят реже, чем одна из них","Вычитание не отвечает на вопрос «и»"],"answer":[0]}},"hints":["Обе лампы перегорят реже, чем каждая из них отдельно: вероятность должна быть меньше 0,2.","Перегорание обеих — «и»: для независимых событий вероятности перемножают.","$0{,}2\\cdot 0{,}3=0{,}06$."],"step":1},{"id":"5","content":"Два стрелка стреляют независимо, вероятности попадания равны 0,8 и 0,6. Сопоставьте события и их вероятности. Одна вероятность лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Оба попали","Оба промахнулись","Первый попал, второй промахнулся"],"items":["$0{,}48$","$0{,}08$","$0{,}32$","$1{,}4$"]}},"instruction":"Сопоставьте события и вероятности","hints":["Стрелки независимы: вероятность «и» равна произведению, промах — $1-p$.","Оба попали: $0{,}8\\cdot 0{,}6=0{,}48$; оба промахнулись: $0{,}2\\cdot 0{,}4=0{,}08$; первый попал, второй нет: $0{,}8\\cdot 0{,}4=0{,}32$.","Лишняя $1{,}4$ — сумма вероятностей, она больше 1."],"step":1},{"id":"5","content":"Два стрелка стреляют независимо, вероятности попадания равны 0,7 и 0,9. Сопоставьте события и их вероятности. Одна вероятность лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Оба попали","Оба промахнулись","Первый попал, второй промахнулся"],"items":["$0{,}63$","$0{,}03$","$0{,}07$","$1{,}6$"]}},"instruction":"Сопоставьте события и вероятности","hints":["Стрелки независимы: вероятность «и» равна произведению, промах — $1-p$.","Оба попали: $0{,}7\\cdot 0{,}9=0{,}63$; оба промахнулись: $0{,}3\\cdot 0{,}1=0{,}03$; первый попал, второй нет: $0{,}7\\cdot 0{,}1=0{,}07$.","Лишняя $1{,}6$ — сумма вероятностей, она больше 1."],"step":1},{"id":"6","content":"В классе 12 девочек и 13 мальчиков. По жребию выбирают двух дежурных. Можно ли найти вероятность, что оба — девочки, как $\\frac{12}{25}\\cdot\\frac{12}{25}$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Можно: жребий каждый раз справедливый","Можно: так считают любое «и»","Нельзя: надо сложить, $\\frac{12}{25}+\\frac{12}{25}$","Нельзя: после первой девочки девочек остается 11 из 24"],"explanations":["Справедливость жребия не возвращает выбранного человека в класс","Произведение верно только для независимых событий","Складывать вероятности для «и» нельзя",""],"answer":[3]}},"hints":["Одного человека нельзя выбрать дважды: после первой девочки в классе остается 24 человека, из них 11 девочек.","Вероятность второй девочки уже не $\\frac{12}{25}$: события зависимы.","Ответ: нельзя, события зависимы."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Из колоды в 36 карт достают две карты подряд, не возвращая первую. Можно ли найти вероятность двух тузов как $\\frac{4}{36}\\cdot\\frac{4}{36}$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Можно: так считают любое «и»","Можно: у каждой карты шанс туза $\\frac{4}{36}$","Нельзя: после первого туза их 3 из 35","Нельзя: надо сложить, $\\frac{4}{36}+\\frac{4}{36}$"],"explanations":["Произведение верно только для независимых событий","Состав колоды после первой карты изменился","","Складывать вероятности для «и» нельзя"],"answer":[2]}},"hints":["После первого туза в колоде остается 35 карт, из них 3 туза.","Вероятность второго туза уже не $\\frac{4}{36}$: события зависимы.","Ответ: нельзя, события зависимы."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Два стрелка стреляют независимо, вероятности попадания равны 0,9 и 0,5. Решавр нашел «вероятность того, что попадут оба» так: $0{,}9+0{,}5-0{,}9\\cdot 0{,}5=0{,}95$. Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Надо сложить: $1{,}4$","Это «хотя бы один»; оба: $0{,}45$","Ошибки нет: $0{,}95$ — это вероятность обоих","Надо взять меньшую вероятность: $0{,}5$"],"explanations":["Сумма даже больше 1, такого не бывает","","Вероятность обоих не может быть больше, чем вероятность попадания первого","Оба попадут реже, чем каждый по отдельности"],"answer":[1]}},"hints":["Решавр записал формулу объединения: она дает вероятность «попадет хотя бы один». Заметьте: 0,95 больше, чем у каждого стрелка.","«Оба» — это пересечение, для независимых событий вероятности перемножают.","$0{,}9\\cdot 0{,}5=0{,}45$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Два стрелка стреляют независимо, вероятности попадания равны 0,6 и 0,7. Решавр нашел «вероятность того, что попадут оба» так: $0{,}6+0{,}7-0{,}6\\cdot 0{,}7=0{,}88$. Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Надо сложить: $1{,}3$","Надо взять меньшую вероятность: $0{,}6$","Ошибки нет: $0{,}88$ — это вероятность обоих","Это «хотя бы один»; оба: $0{,}42$"],"explanations":["Сумма даже больше 1, такого не бывает","Оба попадут реже, чем каждый по отдельности","Вероятность обоих не может быть больше, чем вероятность попадания первого",""],"answer":[3]}},"hints":["Решавр записал формулу объединения: она дает вероятность «попадет хотя бы один». Заметьте: 0,88 больше, чем у каждого стрелка.","«Оба» — это пересечение, для независимых событий вероятности перемножают.","$0{,}6\\cdot 0{,}7=0{,}42$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"События $A$ и $B$ независимы, $P(A)=0{,}6$, $P(A\\cap B)=0{,}18$. Найдите $P(B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,3","0.3"]}},"hints":["Для независимых событий $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$.","Неизвестный множитель: $P(B)=0{,}18:0{,}6=0{,}3$.","Ответ: 0,3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"События $A$ и $B$ независимы, $P(A)=0{,}8$, $P(A\\cap B)=0{,}56$. Найдите $P(B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,7","0.7"]}},"hints":["Для независимых событий $P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)$.","Неизвестный множитель: $P(B)=0{,}56:0{,}8=0{,}7$.","Ответ: 0,7."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>