Карточки
Тесты
Зави
Дерево опыта и задачи на «хотя бы один»
Дерево опыта и задачи на «хотя бы один»
Вы уже знаете правило умножения для независимых событий и противоположное событие. В этом уроке соберем их в один инструмент — дерево опыта: научимся строить его по шагам, считать вероятности по путям и решать задачи со словами «хотя бы один».
Начнем с вопроса. Монету бросают три раза. Выпадет ли орел хотя бы один раз «почти наверняка»? И сколько раз нужно бросить монету, чтобы вероятность хотя бы одного орла была не меньше $0{,}99$? Ответ на второй вопрос — в последнем разделе.
Дерево — то же поле исходов, разрезанное по шагам
Монету бросают два раза. Исходов четыре: ОО, ОР, РО, РР (О — орел, Р — решка). На поле исходов это четыре равные клетки: строки — первый бросок, столбцы — второй.
Тот же опыт можно нарисовать по шагам. Из начальной точки выходят две ветки первого броска: О и Р. Из конца каждой ветки — еще две ветки второго броска. Получилось четыре цепочки от начала до конца, и каждая цепочка — одна клетка поля.
Определение
Дерево опыта — схема, в которой каждый шаг опыта изображен ветками, по одной на каждый исход шага. Путь — цепочка ребер от начала дерева до конца; каждый путь — один исход всего опыта.
Если бросить монету третий раз, к концу каждого из четырех путей добавится еще по две ветки. Путей станет $4\cdot 2=8$: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Поле тоже удвоится — 8 клеток.
Правило
Если из каждой точки шага выходит одинаковое число веток, число путей равно произведению этих чисел.
Важно
Пути ОР и РО — разные: в первом орел выпал при первом броске, во втором — при втором. Если объединить их или пропустить путь РРР, дерево станет неполным, и все вероятности по нему окажутся неверными. Проверка: число путей должно совпасть с произведением чисел веток.
Вероятность пути — произведение, вероятность события — сумма путей
У монеты обе ветки равны, а на практике ветки бывают неравными. Тогда на каждом ребре пишут его вероятность. По правилу умножения вероятность пути равна произведению вероятностей ребер вдоль него. Если шаги независимы, на ребрах второго шага стоят те же вероятности, что и в одиночном опыте.
На поле это видно прямо: путь «сначала исход с долей $\frac13$, затем исход с долей $\frac23$» занимает $\frac23$ от полосы шириной $\frac13$, то есть $\frac13\cdot\frac23$ всего поля. Разные пути — разные клетки, они не перекрываются, поэтому по правило сложения их вероятности складывают.
Алгоритм
- Построить дерево: ветки каждого шага опыта.
- Подписать каждое ребро его вероятностью.
- Перемножить вероятности вдоль каждого нужного пути.
- Сложить вероятности путей, подходящих событию.
Пример
Задача. В коробке 1 белый и 2 черных шара. Шар достают, возвращают и достают снова. Найдите вероятность того, что шары будут разного цвета.
Решение. Шаг 1 — дерево: на каждом шаге две ветки, Б и Ч. Шаг 2 — ребра: Б — $\frac13$, Ч — $\frac23$ (шар возвращают, поэтому на втором шаге так же). Шаг 3 — подходят пути БЧ и ЧБ: $\frac13\cdot\frac23=\frac29$ и $\frac23\cdot\frac13=\frac29$. Шаг 4 — $\frac29+\frac29=\frac49$.
Проверка полем. Поле $3\times 3$ — 9 равных клеток (шары пронумерованы). Разного цвета — 4 клетки из 9.
Ответ: $\frac49$.
«Хотя бы один» — все поле без одной клетки
Вернемся к трем броскам монеты. Событие «орел выпал хотя бы один раз» подходит семи путям из восьми. Выписывать и складывать семь путей долго. Посмотрим на поле: закрашено все, кроме одной клетки РРР.
Клетка РРР — это событие «ни одного орла». Оно происходит ровно тогда, когда «хотя бы один орел» не происходит, то есть это противоположное событие. Значит, удобнее найти одну клетку и вычесть ее из всего поля.
Правило
Вероятность того, что событие наступит хотя бы один раз, равна единице минус вероятность того, что оно не наступит ни разу.
Пример
Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз.
Решение. Противоположное событие — «ни одного орла», это один путь РРР: $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18$. Тогда $P=1-\frac18=\frac78=0{,}875$.
Ответ: $\frac78$. Это много, но не «наверняка»: примерно в одной серии из восьми орла не будет ни разу.
Ошибка
Решавр рассуждает так: «В каждом броске орел выпадает с вероятностью $\frac12$, бросков три, значит, $P=3\cdot\frac12=\frac32$».
Проверка на числах. $\frac32>1$, а вероятность не бывает больше единицы. Для двух бросков та же ошибка дает $\frac12+\frac12=1$ — «орел обязательно выпадет», хотя путь РР возможен.
Где сломалось. События «орел в первом броске», «орел во втором», «орел в третьем» могут произойти вместе, они совместны. На поле их полосы перекрываются, и клетка ООО закрашена трижды. Правило сложения верно только для несовместных событий, а здесь каждое перекрытие посчитано повторно.
Когда ветки неравные: два стрелка
Тот же алгоритм работает и тогда, когда у веток разные вероятности. Возьмем двух стрелков, которые стреляют по мишени независимо друг от друга.
Пример
Задача. Первый стрелок попадает с вероятностью $0{,}9$, второй — с вероятностью $0{,}8$. Найдите вероятности событий: оба попали; попал ровно один; попал хотя бы один.
Решение. Дерево: первый шаг — первый стрелок (попал $0{,}9$, промах $0{,}1$), второй шаг — второй стрелок (попал $0{,}8$, промах $0{,}2$). Путей четыре.
Оба попали — один путь: $0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}72$. Ровно один — два пути: $0{,}9\cdot 0{,}2+0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}18+0{,}08=0{,}26$. Хотя бы один — через противоположное «оба промахнулись»: $0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}02$, значит, $P=1-0{,}02=0{,}98$.
Проверка. Сумма всех четырех путей: $0{,}72+0{,}18+0{,}08+0{,}02=1$ — дерево полное.
Ответ: $0{,}72$; $0{,}26$; $0{,}98$.
На поле путь «попал, попал» — прямоугольник $0{,}9\times 0{,}8$, а «оба промахнулись» — угол $0{,}1\times 0{,}2$.
Обратите внимание
Если шар после первого шага не возвращают, состав коробки меняется, и вероятности на ветках второго шага становятся другими. В коробке 1 белый и 2 черных шара, достают два шара подряд без возвращения. Первый черный — $\frac23$; после этого остались белый и черный, второй черный — $\frac12$. Оба черные: $\frac23\cdot\frac12=\frac13$.
На ребре второго шага пишут вероятность, посчитанную уже для нового состава коробки. На поле это доля внутри полосы первого шага: из полосы $\frac23$ берем половину — $\frac23\cdot\frac12=\frac13$ поля. Поэтому вдоль пути вероятности перемножают и здесь.
Сколько бросков нужно, чтобы почти наверняка
Теперь ответим на вопрос из начала урока. При $n$ бросках путь «ни одного орла» один, его вероятность $\left(\frac12\right)^n$. Значит, вероятность хотя бы одного орла равна $1-\left(\frac12\right)^n$. На поле с каждым броском клеток становится вдвое больше, а клетка «ни одного» остается одна.
| Бросков $n$ | $P(\text{ни одного})$ | $P(\text{хотя бы один})$ |
|---|---|---|
| 1 | $\frac12$ | $0{,}5$ |
| 2 | $\frac14$ | $0{,}75$ |
| 3 | $\frac18$ | $0{,}875$ |
| 4 | $\frac1{16}$ | $0{,}9375$ |
| 5 | $\frac1{32}$ | $\approx 0{,}969$ |
| 6 | $\frac1{64}$ | $\approx 0{,}984$ |
| 7 | $\frac1{128}$ | $\approx 0{,}992$ |
При шести бросках $1-\frac1{64}\approx 0{,}984$ — еще меньше $0{,}99$. При семи $1-\frac1{128}\approx 0{,}992$ — уже больше. Ответ: нужно 7 бросков. Ровно единицы вероятность не достигнет ни при каком $n$: путь из одних решек остается всегда.
Интересный факт: спор о шестерках
Скрыть
В 1654 году шевалье де Мере спросил Блеза Паскаля, почему две ставки неравны, хотя по его расчету «4 броска для 6 исходов» и «24 броска для 36 исходов» должны давать одно и то же. Ставка «за 4 броска кубика выпадет хотя бы одна шестерка» выгодна: $1-\left(\frac56\right)^4\approx 0{,}518$. А ставка «за 24 броска двух кубиков выпадет хотя бы одна пара шестерок» невыгодна: $1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx 0{,}491$. Паскаль обсудил эти задачи в переписке с Пьером Ферма — ее считают одним из истоков теории вероятностей.
Вывод
Дерево опыта нужно, когда опыт идет в несколько шагов: оно не дает потерять исходы и показывает, что умножать, а что складывать. Задачи «хотя бы один» встречаются в ОГЭ и в жизни — надежность из нескольких попыток, хотя бы одна исправная деталь.
Часто задаваемые вопросы
Потому что события «успех в первой попытке», «успех во второй» и так далее могут произойти вместе. При сложении путь с несколькими успехами считается несколько раз, и сумма может даже превысить 1. Правило сложения верно только для несовместных событий.
Число путей должно равняться произведению чисел веток на всех шагах, а сумма вероятностей всех путей — единице. Если сумма меньше 1, какой-то путь пропущен.
Когда шаги зависят друг от друга, например шар не возвращают. Тогда вероятность на ребре второго шага считают уже для нового состава коробки, и только потом перемножают.
Можно: сложить все подходящие пути. Для двух шагов это несложно, но при трех бросках подходят 7 путей из 8, а противоположное событие — всего один путь. Поэтому через противоположное быстрее и меньше риск ошибиться.
Тест модуля «Вероятность случайного события»
Независимые события. Правило умножения · Противоположное событие
Пройдите тест урока ниже.
5
5
1
5