Дерево опыта и задачи на «хотя бы один»

8 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Бросают монету, затем кубик. Вероятность пути «орел, затем шестерка» равна [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac23$","$\\frac16$","$\\frac{1}{12}$","$\\frac18$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Вероятность орла $\\frac12$, шестерки — $\\frac16$.","Вдоль пути вероятности перемножают.","$\\frac12\\cdot\\frac16=\\frac{1}{12}$. Ответ: $\\frac{1}{12}$."],"step":1},{"id":"1","content":"Бросают монету, затем кубик. Вероятность пути «решка, затем число больше 4» равна [[fill_choice_big-2]].","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac13$","$\\frac16$","$\\frac{1}{12}$","$\\frac56$"],"answer":1,"placeholder":0}},"hints":["Вероятность решки $\\frac12$, числа больше 4 — $\\frac13$.","Вдоль пути вероятности перемножают.","$\\frac12\\cdot\\frac13=\\frac16$. Ответ: $\\frac16$."],"step":1},{"id":"2","content":"Опыт состоит из двух шагов: сначала бросают монету, затем достают один из трех шаров разных цветов. Сколько путей у дерева этого опыта?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["9","5","6","3"],"explanations":["Умножили три на три: у монеты две ветки, а не три","Сложили числа веток: $2+3$, а надо умножать","","Учли только второй шаг"],"answer":[2]}},"hints":["От каждой из 2 веток первого шага отходят 3 ветки второго.","Путей $2\\cdot 3=6$.","Ответ: 6."],"step":1},{"id":"2","content":"Сначала выбирают один из 4 цветов футболки, затем один из 3 размеров. Сколько путей у дерева этого выбора?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["7","4","16","12"],"explanations":["Сложили числа веток: $4+3$, а надо умножать","Учли только первый шаг","Умножили четыре на четыре: размеров три, а не четыре",""],"answer":[3]}},"hints":["От каждой из 4 веток первого шага отходят 3 ветки второго.","Путей $4\\cdot 3=12$.","Ответ: 12."],"step":1},{"id":"3","content":"Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что выпадет ровно один орел?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\frac{3}{4}$","$\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{8}$","$\\frac{3}{8}$"],"explanations":["Складывают вероятности ребер вместо умножения","Путей посчитано четыре из восьми","Учтен только один путь",""],"answer":[3]}},"hints":["Всего путей $2\\cdot 2\\cdot 2=8$, каждый имеет вероятность $\\frac18$.","Подходят пути ОРР, РОР, РРО: их 3.","$3\\cdot\\frac18=\\frac38$. Ответ: $\\frac{3}{8}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что выпадет ровно два орла?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{8}$","$\\frac{3}{4}$","$\\frac{3}{8}$","$\\frac{1}{2}$"],"explanations":["Учтен только один путь","Складывают вероятности ребер вместо умножения","","Путей посчитано четыре из восьми"],"answer":[2]}},"hints":["Всего путей $2\\cdot 2\\cdot 2=8$, каждый имеет вероятность $\\frac18$.","Подходят пути ООР, ОРО, РОО: их 3.","$3\\cdot\\frac18=\\frac38$. Ответ: $\\frac{3}{8}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Стрелок делает два выстрела, вероятность попадания в каждом 0,7. Решавр считает: «Вероятность хотя бы одного попадания равна $0{,}7+0{,}7=1{,}4$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Надо взять $0{,}7$: хотя бы одно попадание — как один выстрел","Надо взять противоположное событие: $1-0{,}3\\cdot 0{,}3=0{,}91$","Ошибки нет: вероятности попаданий надо сложить","Надо перемножить: $0{,}7\\cdot 0{,}7=0{,}49$"],"explanations":["Два выстрела дают больше шансов, чем один","","Сумма вышла больше 1, такой вероятности не бывает","Это вероятность двух попаданий, а не хотя бы одного"],"answer":[1]}},"hints":["Вероятность не может быть больше 1: число 1,4 невозможно.","Проще найти противоположное событие — два промаха: $0{,}3\\cdot 0{,}3=0{,}09$.","Тогда $1-0{,}09=0{,}91$."],"step":1},{"id":"4","content":"Стрелок делает два выстрела, вероятность попадания в каждом 0,6. Решавр считает: «Вероятность хотя бы одного попадания равна $0{,}6+0{,}6=1{,}2$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Надо взять $0{,}6$: хотя бы одно попадание — как один выстрел","Ошибки нет: вероятности попаданий надо сложить","Надо перемножить: $0{,}6\\cdot 0{,}6=0{,}36$","Надо взять противоположное событие: $1-0{,}4\\cdot 0{,}4=0{,}84$"],"explanations":["Два выстрела дают больше шансов, чем один","Сумма вышла больше 1, такой вероятности не бывает","Это вероятность двух попаданий, а не хотя бы одного",""],"answer":[3]}},"hints":["Вероятность не может быть больше 1: число 1,2 невозможно.","Проще найти противоположное событие — два промаха: $0{,}4\\cdot 0{,}4=0{,}16$.","Тогда $1-0{,}16=0{,}84$."],"step":1},{"id":"5","content":"Стрелок делает два выстрела, вероятность попадания при каждом равна 0,7. Сопоставьте события и их вероятности. Одна вероятность лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Оба выстрела мимо","Оба выстрела в цель","Хотя бы одно попадание"],"items":["$0{,}09$","$0{,}49$","$0{,}91$","$1{,}4$"]}},"instruction":"Сопоставьте события и вероятности","hints":["На дереве два шага: попадание $0{,}7$, промах $0{,}3$; вдоль пути вероятности перемножают.","Оба мимо: $0{,}3\\cdot 0{,}3=0{,}09$; оба в цель: $0{,}7\\cdot 0{,}7=0{,}49$; хотя бы одно попадание: $1-0{,}09=0{,}91$.","Лишняя $1{,}4$ — сумма $0{,}7+0{,}7$, «хотя бы один» так не считают."],"step":1},{"id":"5","content":"Стрелок делает два выстрела, вероятность попадания при каждом равна 0,8. Сопоставьте события и их вероятности. Одна вероятность лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Оба выстрела мимо","Оба выстрела в цель","Хотя бы одно попадание"],"items":["$0{,}04$","$0{,}64$","$0{,}96$","$1{,}6$"]}},"instruction":"Сопоставьте события и вероятности","hints":["На дереве два шага: попадание $0{,}8$, промах $0{,}2$; вдоль пути вероятности перемножают.","Оба мимо: $0{,}2\\cdot 0{,}2=0{,}04$; оба в цель: $0{,}8\\cdot 0{,}8=0{,}64$; хотя бы одно попадание: $1-0{,}04=0{,}96$.","Лишняя $1{,}6$ — сумма $0{,}8+0{,}8$, «хотя бы один» так не считают."],"step":1},{"id":"6","content":"Монету бросают дважды. Решавр выписал пути ОО, ОР, РР и сказал: «Путей 3, значит, вероятность ОО равна $\\frac13$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Лишний путь РР: путей 2, $P(\\text{ОО})=\\frac12$","Ошибки нет: путей 3, $P(\\text{ОО})=\\frac13$","Пропущен путь РО: путей 4, $P(\\text{ОО})=\\frac14$","По три ветки на шаг: путей 6, $P(\\text{ОО})=\\frac16$"],"explanations":["Путь РР возможен: лишних путей нет","Список неполон: путь РО тоже возможен","","Шагов два, по две ветки, поэтому путей четыре"],"answer":[2]}},"hints":["Пути ОР и РО различны: порядок бросков важен.","Всего путей $2\\cdot 2=4$: ОО, ОР, РО, РР — и все равновозможны.","$P(\\text{ОО})=\\frac14$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В урне красные и синие шары поровну. Шар достают, возвращают и достают еще раз. Решавр выписал пути КК, КС, СС и сказал: «Путей 3, значит, вероятность КК равна $\\frac13$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: путей 3, $P(\\text{КК})=\\frac13$","Пропущен путь СК: путей 4, $P(\\text{КК})=\\frac14$","По три ветки на шаг: путей 6, $P(\\text{КК})=\\frac16$","Лишний путь СС: путей 2, $P(\\text{КК})=\\frac12$"],"explanations":["Список неполон: порядок шаров важен, путь СК не учтен","","Шаги дерева — два, по две ветки, поэтому путей четыре","Путь СС возможен: лишних путей нет"],"answer":[1]}},"hints":["Пути КС и СК различны: порядок шаров важен.","Всего путей $2\\cdot 2=4$: КК, КС, СК, СС — и все равновозможны.","$P(\\text{КК})=\\frac14$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Кубик бросают дважды. Решавр считает: «Вероятность того, что хотя бы раз выпадет шестерка, равна $\\frac16+\\frac16=\\frac13$». Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Надо через «ни разу»: $1-\\frac56\\cdot\\frac56=\\frac{11}{36}$","Надо взять «ни разу»: $\\frac{25}{36}$","Надо перемножить: $\\frac16\\cdot\\frac16=\\frac{1}{36}$","Ошибки нет: $\\frac16+\\frac16=\\frac13$"],"explanations":["","Это вероятность не получить шестерку ни разу","Это вероятность двух шестерок, а не хотя бы одной","Путь 6–6 посчитан дважды: сумма завышает вероятность"],"answer":[0]}},"hints":["Пути «шестерка в первый раз» и «шестерка во второй раз» пересекаются: путь 6–6 посчитан дважды.","Противоположное событие — ни одной шестерки: $\\frac56\\cdot\\frac56=\\frac{25}{36}$.","$1-\\frac{25}{36}=\\frac{11}{36}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Кубик бросают дважды. Решавр считает: «Вероятность того, что хотя бы раз выпадет число, кратное 3, равна $\\frac13+\\frac13=\\frac23$». Найдите ошибку Решавра и выберите верный ответ.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Надо взять «ни разу»: $\\frac49$","Надо перемножить: $\\frac13\\cdot\\frac13=\\frac19$","Надо через «ни разу»: $1-\\frac23\\cdot\\frac23=\\frac59$","Ошибки нет: $\\frac13+\\frac13=\\frac23$"],"explanations":["Это вероятность не получить такое число ни разу","Это вероятность того, что оба раза число кратно 3, а не хотя бы раз","","Пути, где оба числа кратны 3, посчитаны дважды: сумма завышает вероятность"],"answer":[2]}},"hints":["Пути «кратное 3 в первый раз» и «кратное 3 во второй раз» пересекаются: пути, где оба числа кратны 3, посчитаны дважды.","Противоположное событие — ни разу не кратное 3: $\\frac23\\cdot\\frac23=\\frac49$.","$1-\\frac49=\\frac59$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Кубик бросают несколько раз. Какое наименьшее число бросков нужно сделать, чтобы вероятность того, что хотя бы раз выпадет число, большее 4, была не менее 0,9? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Число больше 4 — это 5 или 6, вероятность $\\frac13$; не выпадет с вероятностью $\\frac23$.","Вероятность хотя бы раза за $n$ бросков равна $1-\\left(\\frac23\\right)^n$: $n=5$: $\\approx 0{,}868$; $n=6$: $\\approx 0{,}912$.","Первое значение, не меньшее 0,9, — при $n=6$. Ответ: 6."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Два стрелка стреляют по одной цели одновременно: первый попадает с вероятностью 0,5, второй — с вероятностью 0,2. Какое наименьшее число таких залпов нужно сделать, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была не менее 0,9? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Промах за залп: оба мимо, $0{,}5\\cdot 0{,}8=0{,}4$. Вероятность хотя бы одного попадания за $n$ залпов равна $1-0{,}4^n$.","Проверим: $n=2$: $0{,}84$; $n=3$: $0{,}936$.","Первое значение, не меньшее 0,9, — при $n=3$. Ответ: 3."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>