8 класс Вероятность и статистика Вероятность случайного события

Объединение и пересечение событий

Содержание

В прошлом уроке вы узнали, что такое противоположное событие: на поле исходов это незакрашенный остаток. Сегодня на одном поле будет сразу два события. Разберем, как из двух событий получить новые — их объединение и пересечение, и как найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них. Обозначения те же, что в уроке про пересечение и объединение множеств.

Два события — две области на одном поле

Бросают игральный кубик. Исходов шесть, и на поле исходов это шесть клеток. Рассмотрим два события: $A$ — «выпало четное число» и $B$ — «выпало число, большее 3». Закрасим клетки события $A$ оранжевым, а клетки события $B$ — фиолетовым.

Поле кубика: A (четное) — 2, 4, 6; B (больше 3) — 4, 5, 6; клетки 4 и 6 принадлежат обоим событиям, 1 и 3 — ни одному — Клетки 4 и 6 закрашены обоими цветами: они благоприятны и для A, и для B

Что видно на поле. Событию $A$ благоприятны клетки 2, 4, 6, событию $B$ — клетки 4, 5, 6. Клетки 4 и 6 закрашены дважды: они принадлежат обеим областям. Клетки 1 и 3 не закрашены ни одним цветом.

Посчитаем вероятности: $P(A)=\frac36=\frac12$ и $P(B)=\frac36=\frac12$. Возникает вопрос: какова вероятность того, что выпадет четное число или число, большее 3? Хочется сложить: $\frac12+\frac12=1$. Но единица — это вероятность достоверного события, а клетки 1 и 3 остались незакрашенными. Значит, где-то в сложении ошибка. Найдем ее чуть ниже, когда посчитаем клетки.

Важно

Событие — это множество благоприятных исходов. Поэтому к событиям применимы те же операции, что и к множествам: пересечение $\cap$ и объединение $\cup$. На поле исходов их видно сразу — это перекрытие областей и все закрашенное.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке — поле исходов кубика. Событие $A$ — «выпало число, меньшее 5»: его клетки оранжевые. Событие $B$ — «выпало число, кратное 3»: его клетки фиолетовые. Общие клетки — оранжевые в фиолетовой рамке. Сколько клеток закрашено обоими цветами (событие $A\\cap B$)? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/6tmy7vw6yapj.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Нужны клетки, которые принадлежат и $A$, и $B$: оранжевые в фиолетовой рамке.","Такая клетка одна: клетка 3.","Ответ: 1."],"step":1}],"mix":1}

Союз «или» объединяет, союз «и» оставляет общее

Из двух событий можно составить новые. Событие «выпало четное число или число, большее 3» происходит, если выпала любая клетка, закрашенная хоть одним цветом: 2, 4, 5 или 6. Событие «выпало четное число, большее 3», то есть «четное и больше 3», происходит только на клетках, закрашенных обоими цветами: 4 и 6.

Определение

Объединение событий $A$ и $B$ — событие $A\cup B$, которое происходит, когда происходит хотя бы одно из событий $A$ и $B$. Ему благоприятны все исходы, благоприятные для $A$ или для $B$.

Пересечение событий $A$ и $B$ — событие $A\cap B$, которое происходит, когда происходят оба события. Ему благоприятны только общие исходы $A$ и $B$.

Слева «или»: объединение A∪B — клетки 2, 4, 5, 6 (4 клетки); справа «и»: пересечение A∩B — клетки 4 и 6 (2 клетки) — «Или» — закрашено хоть чем-то, «и» — только перекрытие

Как сказано в задаче	Запись	Что на поле
$A$ или $B$, хотя бы одно из событий	$A\cup B$	все закрашенные клетки
$A$ и $B$, оба события сразу	$A\cap B$	клетки, закрашенные обоими цветами
не $A$	$\overline{A}$	незакрашенный остаток поля

Обратите внимание

Союз «и» часто прячется в одной фразе: «выпало нечетное число, меньшее 4» — это два условия сразу, то есть пересечение. Знаков «плюс» и «умножить» между событиями не пишут: только $\cup$ и $\cap$.

{"questions":[{"content":"Бросают кубик. Событие $A$: «выпало число, кратное 3», событие $B$: «выпало четное число». Как записать событие «выпало четное число, кратное 3»?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$A\\cap B$","$A\\cup B$","$A+B$","$\\overline{A}\\cap B$"],"explanations":["","Это «или»: достаточно выполнить хотя бы одно условие","Знака «плюс» между событиями нет: объединение записывают значком $\\cup$","Здесь первое условие заменено на противоположное"],"answer":[0]}},"hints":["Здесь два условия сразу: четное и кратное 3. Нужны общие исходы событий.","Общие исходы — пересечение.","Ответ: $A\\cap B$."],"step":1},{"content":"Сопоставьте записи событий и их смысл. Одна запись лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Произошло $A$ или $B$","Произошли и $A$, и $B$","Не произошло $A$"],"items":["$A\\cup B$","$A\\cap B$","$\\overline{A}$","$A\\subseteq B$"]}},"instruction":"Сопоставьте смысл и запись","hints":["«Или» — объединение $\\cup$, «и» — пересечение $\\cap$, «не» — черта сверху.","$A\\cup B$ — «$A$ или $B$», $A\\cap B$ — «$A$ и $B$», $\\overline{A}$ — «не $A$».","Лишняя запись: $A\\subseteq B$."],"step":1}],"mix":1}

Общие клетки нельзя считать дважды

Вернемся к вопросу из начала урока. Посчитаем клетки события $A\cup B$ двумя способами. Прямо по полю: закрашены клетки 2, 4, 5, 6 — их четыре. Сложением: в $A$ три клетки, в $B$ три клетки, $3+3=6$. Получилось на две клетки больше.

Двойной счет: A дает 3 клетки, B дает 3 клетки, но 3 + 3 = 6 неверно — клетки 4 и 6 посчитаны дважды; верно 3 + 3 − 2 = 4 — Клетки 4 и 6 вошли и в A, и в B — при сложении они посчитаны дважды

Лишние две клетки — это 4 и 6. Каждая из них лежит и в $A$, и в $B$, поэтому при сложении попала в сумму два раза. Чтобы каждая клетка считалась один раз, общие клетки нужно один раз вычесть: $3+3-2=4$. Это та же формула, что вы встречали в уроке о числе элементов объединения.

Правило

Число исходов, благоприятных для объединения, равно сумме чисел исходов для $A$ и для $B$ без числа общих исходов:

Ошибка

Как ошибаются. Решавр бросает кубик. $A$ — «выпало нечетное число», $B$ — «выпало число, меньшее 4». Он пишет: «$P(A\cup B)=\frac12+\frac12=1$, значит, событие достоверное».

Проверка на числах. Выпадет 4 — это не нечетное число и не меньше 4. Событие $A\cup B$ не произошло, значит, оно не достоверное. Клеток в объединении четыре: 1, 2, 3, 5, и $P(A\cup B)=\frac46=\frac23$.

Где сломалось рассуждение. Клетки 1 и 3 входят и в $A$, и в $B$. Складывая вероятности, Решавр посчитал их дважды: $\frac36+\frac36-\frac26=\frac46$.

Пример 1

Задача. Бросают кубик. $A$ — «выпало число, кратное 3», $B$ — «выпало нечетное число». Найдите $P(A\cup B)$ и $P(A\cap B)$.

Решение. Событию $A$ благоприятны числа 3 и 6, событию $B$ — числа 1, 3, 5. Общий исход один: 3, поэтому $A\cap B=\{3\}$ и $P(A\cap B)=\frac16$. По правилу $m(A\cup B)=2+3-1=4$: это числа 1, 3, 5, 6. Проверяем по полю: закрашены ровно эти четыре клетки.

Ответ: $P(A\cup B)=\frac46=\frac23$, $P(A\cap B)=\frac16$.

{"questions":[{"content":"Бросают кубик. $A$ — «выпало число, меньшее 3», $B$ — «выпало четное число». Решавр решил: «$P(A\\cup B)=\\frac26+\\frac36=\\frac56$». Найдите ошибку Решавра.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо умножить: $\\frac26\\cdot\\frac36=\\frac16$","Надо вычесть единицу: $\\frac56-1<0$","Исход 2 посчитан дважды: верно $\\frac46=\\frac23$","Ошибки нет: «или» означает сложить"],"explanations":["Произведение не отвечает на вопрос «или»","Вычитать надо вероятность общей части, а не единицу","","При общих исходах сумма превышает вероятность объединения"],"answer":[2]}},"hints":["Событию $A$ благоприятны числа 1, 2, событию $B$ — числа 2, 4, 6. Объединение: 1, 2, 4, 6 — всего 4, а не 5.","Число 2 входит и в $A$, и в $B$, а Решавр посчитал его дважды.","$P(A\\cup B)=\\frac26+\\frac36-\\frac16=\\frac46=\\frac23$."],"step":1},{"content":"Из 20 карточек с номерами от 1 до 20 наугад берут одну. Найдите вероятность того, что номер делится на 2 или на 5. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,6","0.6"]}},"hints":["Кратны 2: 10 номеров, кратны 5: 4 номера (5, 10, 15, 20).","Кратны и 2, и 5 (то есть 10): номера 10 и 20, их 2.","$m=10+4-2=12$, $P=\\frac{12}{20}=0{,}6$. Ответ: 0,6."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

От клеток к вероятностям

Если все $n$ исходов равновозможны, вероятность события — доля закрашенных клеток. Разделим правило для клеток на $n$:

Каждая дробь — вероятность соответствующего события. Получаем формулу, которая не требует пересчитывать клетки, если вероятности уже известны.

Правило

Вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:

От областей к формуле: область A плюс область B минус перекрытие даёт объединение; P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) — Сложили две области — перекрытие вошло дважды, вычли его один раз

Пример 2

Задача. Из 20 карточек с номерами от 1 до 20 наугад берут одну. Найдите вероятность того, что номер кратен 3 или 4.

Решение. $A$ — «номер кратен 3»: 3, 6, 9, 12, 15, 18, всего 6. $B$ — «номер кратен 4»: 4, 8, 12, 16, 20, всего 5. Кратен и 3, и 4 только номер 12, значит, $P(A\cap B)=\frac1{20}$.

$P(A\cup B)=\frac6{20}+\frac5{20}-\frac1{20}=\frac{10}{20}=\frac12$.

Ответ: $\frac12$.

Пример 3

Задача (учебные данные). Вероятность того, что случайно выбранный восьмиклассник занимается в спортивной секции, равна $0{,}65$, в музыкальной школе — $0{,}4$, а и там и там — $0{,}25$. Найдите вероятность того, что он занимается хотя бы в одном из этих мест.

Решение. «Хотя бы в одном» — это «или», то есть объединение. $P(A\cup B)=0{,}65+0{,}4-0{,}25=0{,}8$. Проверка смысла: без вычитания вышло бы $1{,}05$, а вероятность не бывает больше 1.

Ответ: $0{,}8$.

Обратная задача: найти вероятность пересечения

Скрыть

Формулу можно применять и в обратную сторону. Если известны $P(A)$, $P(B)$ и $P(A\cup B)$, то

Например, при $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$ и $P(A\cup B)=0{,}9$ получаем $P(A\cap B)=0{,}6+0{,}5-0{,}9=0{,}2$.

{"questions":[{"content":"Для любых событий $A$ и $B$ верно: $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$P(A\\cap B)$","$1$","$P(A)$","$P(B)$"],"answer":0}},"hints":["Общие исходы входят и в $A$, и в $B$, поэтому при сложении считаются дважды.","Их вероятность вычитают один раз.","Ответ: $P(A\\cap B)$."],"step":1},{"content":"Известно, что $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\\cap B)=0{,}2$. Найдите $P(A\\cup B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,7","0.7"]}},"hints":["$P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)$.","$0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7$.","Ответ: 0,7."],"step":1}],"mix":1}

Когда области не перекрываются или одна внутри другой

Две области на поле могут располагаться по-разному. Передвигая область $B$, легко увидеть три случая: области частично перекрываются, не имеют общих клеток или одна целиком лежит внутри другой.

ob-euler

Частные случаи: A = {1, 2} и B = {5, 6} без общих клеток; и B = {4} внутри A = {2, 4, 6} — Нет перекрытия — вычитать нечего; B внутри A — объединение равно A

Расположение	$A\cap B$	$A\cup B$	Формула
Частично перекрываются	общие клетки	все закрашенные	$P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Нет общих клеток	$\varnothing$, вероятность $0$	обе области	$P(A)+P(B)$
$B$ внутри $A$	$B$	$A$	$P(A)$

Формула верна во всех трех случаях. Если общих клеток нет, то $A\cap B=\varnothing$ и $P(A\cap B)=0$: вычитать нечего, вероятности просто складываются. Именно поэтому сложение без вычитания иногда дает верный ответ — но только когда области не перекрываются. Если $B$ лежит внутри $A$, то $P(A)+P(B)-P(B)=P(A)$: объединение совпадает с $A$.

Теперь ответ на вопрос из начала урока. Для событий «четное» и «больше 3» сумма $\frac12+\frac12=1$ неверна, потому что области перекрываются по клеткам 4 и 6. Верно: $P(A\cup B)=\frac12+\frac12-\frac26=\frac23$. События, у которых области не перекрываются, называют несовместными, и о них — в следующем уроке.

Повышенная сложность: три события

Скрыть

Тот же подсчет клеток работает и для трех событий. Бросают кубик: $A$ — «четное», $B$ — «больше 3», $C$ — «выпало 1». Область $C$ не перекрывается ни с $A$, ни с $B$, поэтому сначала находим $A\cup B$ — это клетки 2, 4, 5, 6, — а затем просто добавляем клетку 1: всего 5 клеток, вероятность $\frac56$.

Если же все три области перекрываются, удобнее не складывать вероятности, а пересчитать клетки на поле: каждую закрашенную клетку — ровно один раз.

{"questions":[{"content":"Бросают кубик. Распределите пары событий по тому, как расположены их области.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Нет общих исходов","Одно внутри другого","Частично перекрываются"],"items":[["Выпало 1 — выпало 6","Четное — нечетное"],["Выпало 2 — четное","Выпало 5 — больше 4"],["Четное — меньше 4","Больше 3 — нечетное"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Если общих исходов нет, $A\\cap B=\\varnothing$. Если все исходы одного события входят в другое, оно лежит внутри.","«Выпало 1» и «выпало 6» не имеют общих исходов. «Выпало 2» входит в «четное». Четные и «меньше 4»: общий исход 2.","Нет общих: 1 — 6, четное — нечетное; внутри: 2 — четное, 5 — больше 4; частично: четное — меньше 4, больше 3 — нечетное."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Объединение и пересечение событий встречаются в задачах со словами «или», «и», «хотя бы одно». Чтобы не ошибиться, представьте поле исходов: два события — две закрашенные области, и все сразу становится видно.

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя просто сложить вероятности, если в задаче «или»?

Потому что общие исходы входят в оба события и при сложении считаются дважды. Сумма верна только тогда, когда общих исходов нет. Проверьте на кубике: «четное» и «больше 3» вместе дают $\frac23$, а не $1$.

Чем пересечение событий отличается от пересечения множеств?

Ничем: событие — это множество благоприятных исходов, и пересечение событий — это пересечение этих множеств. Новое только в смысле: $A\cap B$ происходит, когда происходят оба события.

Может ли вероятность объединения быть меньше вероятности одного из событий?

Нет. Объединение содержит все клетки каждого события, поэтому $P(A\cup B)$ не меньше ни $P(A)$, ни $P(B)$. Если в задаче вышло меньше, ищите ошибку в вычислениях.

Можно ли найти $P(A\cap B)$, умножив $P(A)$ на $P(B)$?

В общем случае нет. На кубике для «четное» и «больше 3» произведение равно $\frac14$, а общих исходов два из шести, то есть $\frac13$. Пересечение находят по общим исходам, а когда умножение все же работает, разберем в уроке о независимых событиях.

Следующий урок

В уроке «Несовместные события. Правило сложения» разберем события, у которых нет общих исходов, и правило их сложения: перейти к уроку.

Повторите

Если вычитание общей части дается с трудом, вернитесь к урокам: противоположное событие, пересечение и объединение множеств и числе элементов объединения.

Тест урока

Проверьте себя в тесте урока (8 вопросов).

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Объединение и пересечение событий

Пройти тест