Задание 18. Неравенства

{"questions":[{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$A)\\space 2^x \\geq 2$","$B)\\space 2^x \\leq 2$","$C)\\space 0.5^x \\leq 2$","$D)\\space 0.5^x\\geq 2$"],"items":["$1)\\space x \\geq1$","$3)\\space x\\leq1$","$4)\\space x \\geq -1$","$2)\\space x \\leq -1$"]}},"hints":["Приведем неравенство $A$ к равносильному неравенству. Так как основания у обеих частей одинаковые и больше единицы, можно их отбросить: $$2^x \\geq 2^1 \\Leftrightarrow x \\geq1 $$ Аналогичным образом решим неравенство $B{:}$ $$2^x \\leq 2^1 \\Leftrightarrow x\\leq1$$<br />Приведем обе части неравенства $C$ к одному основанию: $$0.5^x \\leq 2 \\Leftrightarrow \\Big(\\frac{1}{2}\\Big)^x \\leq 2$$ $$\\Big(\\frac{1}{2}\\Big)^x\\leq 2 \\Leftrightarrow 2^{-x}\\leq 2^1$$ Так как основания у обеих частей одинаковые и больше единицы, можно их отбросить: $$-x \\leq 1 \\Leftrightarrow x \\geq -1$$ <br />Аналогичным образом решим неравенство $D{:}$ $$0.5^x\\geq 2 \\Leftrightarrow \\Big(\\frac{1}{2}\\Big)^x\\geq 2$$ $$\\Big(\\frac{1}{2}\\Big)^x\\geq 2\\Leftrightarrow 2^{-x}\\geq 2^1$$ $$-x\\geq 1 \\Leftrightarrow x \\leq -1$$","Ответ: $A-1),\\  B-3),\\  C-4),\\  D-2).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[matcher-20]]","widgets":{"matcher-20":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $\\log_2x>1$","$B)$ $\\log_2x<-1$","$C)$ $\\log_2x>-1$","$D)$ $\\log_2x<1$"],"items":["$4)$ $x>2$","$1)$ $0 < x < \\dfrac{1}{2}$","$2)$ $x > \\dfrac{1}{2}$","$3)$ $0 < x < 2$"]}},"step":1,"hints":["Представим $1$ и $-1$ в виде логарифмов с основанием $2:$ $$1=\\log_22$$ $$-1=\\log_2\\dfrac{1}{2}$$ Так как основания логарифмов одинаковые и больше $1,$ данные неравенства можно заменит на равносильные: $$\\log_2x>\\log_22$$ $$x>2$$ Значит, $A-4).$ <br />$$\\log_2x<\\log_2\\dfrac{1}{2}$$ $$x<\\dfrac{1}{2}$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, $B-1).$ <br />$$\\log_2x>\\log_2\\dfrac{1}{2}$$ $$x>\\dfrac{1}{2}$$ Значит, $C-2).$<br />$$\\log_2x<\\log_22$$ $$x<2$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, $D-3).$","Ответ: $A-4),\\  B-1),\\  C-2),\\  D-3).$"]}]}

{"questions":[{"content":"На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-1]]Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-8]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/f31e79.svg","width":"500"},"matcher-8":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$3)$ $m-2$","$1)$ $\\sqrt{m}-1$<br />","$2)$ $m^2$<br />","$4)$ $\\dfrac{4}{m}$"]}},"step":1,"hints":["Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $1$ и $2,$ но ближе к $1,$ примем его значение за $1.3.$<br /><br />Рассчитаем значение первого выражения: $$\\sqrt{1.3}-1 \\approx 0.1$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $1)-B.$<br /><br />Рассчитаем значение второго выражения: $$1.3^2 =1.69$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $2)-C.$<br /><br />Рассчитаем значение третьего выражения: $$1.3-2 = -0.7$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $3)-A.$<br /><br />Рассчитаем значение четвертого выражения: $$\\dfrac{4}{1.3} \\approx 3$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $4)-D.$<br />","Ответ: $A-3),\\ B-1),\\ C-2),\\ D-4).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-102]]Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-121]]","widgets":{"image-102":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/b844fb.svg","width":"500"},"matcher-121":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$3)$ $m-1$","$2)$ $m^2$","$1)$ $\\sqrt{6-m}$<br />","$4)$ $-\\dfrac{3}{m}$"]}},"hints":["Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $-1$ и $0,$ но ближе к $-1,$ примем его значение за $-0.8.$<br /><br />Рассчитаем значение первого выражения: $$\\sqrt{6-(-0.8)} \\approx 2.6$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $1)-C.$<br /><br />Рассчитаем значение второго выражения: $$(-0.8)^2 =0.64$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $2)-B.$<br /><br />Рассчитаем значение третьего выражения: $$-0.8-1 = -1.8$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $3)-A.$<br /><br />Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\\dfrac{3}{-0.8} = 3.75$$ Ближе всего к этому значению точка $D$ на рисунке, значит, $4)-D.$<br />","Ответ: $A-3),\\ B-2),\\ C-1),\\ D-4).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-196]]Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-227]]","widgets":{"image-196":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/635770.svg","width":"500"},"matcher-227":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$4)$ $-\\dfrac{2}{m}$","$3)$ $m-1$","$2)$ $m^2$<br />","$1)$ $6-m$<br />"]}},"hints":["Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $1$ и $2,$ но ближе к $1,$ примем его значение за $1.4.$<br /><br />Рассчитаем значение первого выражения: $$6-1.4 = 4.6$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $1)-D.$<br /><br />Рассчитаем значение второго выражения: $$1.4^2 =1.96$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $2)-C.$<br /><br />Рассчитаем значение третьего выражения: $$1.4-1 = 0.4$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $3)-B.$<br /><br />Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\\dfrac{2}{1.4} \\approx -1.4$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $4)-A.$<br />","Ответ: $A-4),\\ B-3),\\ C-2),\\ D-1).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-400]]Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-487]]","widgets":{"image-400":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/572975.svg","width":"499"},"matcher-487":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$4)$ $-\\dfrac{1}{m}$","$1)$ $m-1$<br />","$2)$ $m^2$<br />","$3)$ $4m$<br />"]}},"step":1,"hints":["Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $0$ и $1,$ но ближе к $0,$ примем его значение за $0.4.$<br /><br />Рассчитаем значение первого выражения: $$0.4-1 = -0.6$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $1)-B.$<br /><br />Рассчитаем значение второго выражения: $$0.4^2 =0.16$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $2)-C.$<br /><br />Рассчитаем значение третьего выражения: $$4 \\cdot 0.4 = 1.6$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $3)-D.$<br /><br />Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\\dfrac{1}{0.4} = -2.5$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $4)-A.$<br />","Ответ: $A-4),\\ B-1),\\ C-2),\\ D-3).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-679]]Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-734]]","widgets":{"image-679":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/910c05.svg","width":"500"},"matcher-734":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$3)$ $-\\sqrt{-m}$","$1)$ $\\dfrac{m}{10}$<br />","$4)$ $-\\dfrac{1}{m}$","$2)$ $m^2-3$<br />"]}},"hints":["Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $-2$ и $3,$ примем его значение за $-2.5.$<br /><br />Рассчитаем значение первого выражения: $$\\dfrac{-2.5}{10} = -0.25$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $1)-B.$<br /><br />Рассчитаем значение второго выражения: $$(-2.5)^2-3 =3.25$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $2)-D.$<br /><br />Рассчитаем значение третьего выражения: $$-\\sqrt{-(-2.5))} \\approx -1.5$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $3)-A.$<br /><br />Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\\dfrac{1}{-2.5} = 0.4$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $4)-C.$<br />","Ответ: $A-3),\\ B-1),\\ C-4),\\ D-2).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-956]]Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-1023]]","widgets":{"image-956":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/1ebd0e.svg","width":"500"},"matcher-1023":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$4)$ $-\\dfrac{2}{m}$","$2)$ $m^2$","$3)$ $\\sqrt{m+1}$","$1)$ $4-m$<br />"]}},"hints":["Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $0$ и $1,$ но ближе к $1,$ примем его значение за $0.9.$<br /><br />Рассчитаем значение первого выражения: $$4-0.9 = 3.1$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $1)-D.$<br /><br />Рассчитаем значение второго выражения: $$0.9^2 =0.81$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $2)-B.$<br /><br />Рассчитаем значение третьего выражения: $$\\sqrt{0.9+1} \\approx 1.4$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $3)-C.$<br /><br />Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\\dfrac{2}{0.9} \\approx -2.2$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $4)-A.$","Ответ: $A-4),\\ B-2),\\ C-3),\\ D-1).$"]}],"first_question_instruction":"Подберите к каждому элементу подходящую пару."}

{"questions":[{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-1]][[matcher-4]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/f3b20a.svg","width":"400"},"matcher-4":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $\\log_3{x}\\geq 1$","$C)$ $\\log_3{x}\\geq -1$","$D)$ $\\log_3{x}\\leq 1$","$B)$ $\\log_3{x}\\leq -1$"],"items":["$1)$","$2)$","$3)$","$4)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\\log_3{x}\\geq \\log_33$$ $$x\\geq 3$$  Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\\log_3{x}\\leq \\log_3 \\frac{1}{3}$$ $$x\\leq \\frac{1}{3}$$  Аргумент логарифма не может быть меньше или равен нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\\log_3{x}\\geq \\log_3 \\frac{1}{3}$$ $$x\\geq \\frac{1}{3}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\\log_3{x}\\leq \\log_33$$ $$x\\leq 3$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равен нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $3).$","Ответ: $A-1),\\ B-4),\\ C-2),\\ D-3).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-47]][[matcher-60]]","widgets":{"image-47":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/c01342.svg","width":"400"},"matcher-60":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $\\log_4{x}\\geq 1$","$B)$ $\\log_4{x}\\leq -1$","$C)$ $\\log_4{x}\\geq -1$","$D)$ $\\log_4{x}\\leq 1$"],"items":["$3)$","$2)$","$4)$","$1)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\\log_4{x}\\geq \\log_44$$ $$x\\geq 4$$  Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\\log_4{x}\\leq \\log_4 \\frac{1}{4}$$ $$x\\leq \\frac{1}{4}$$  Аргумент логарифма не может быть меньше или равен нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\\log_4{x}\\geq \\log_4 \\frac{1}{4}$$ $$x\\geq \\frac{1}{4}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\\log_4{x}\\leq \\log_44$$ $$x\\leq 4$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равен нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$","Ответ: $A-3),\\ B-2),\\ C-4),\\ D-1).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-148]][[matcher-169]]","widgets":{"image-148":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/b28f7d.svg","width":"400"},"matcher-169":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $\\log_2{x}\\geq 2$","$B)$ $\\log_2{x}\\leq -2$","$C)$ $\\log_2{x}\\geq -2$","$D)$ $\\log_2{x}\\leq 2$"],"items":["$4)$","$2)$","$3)$","$1)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\\log_2{x}\\geq \\log_24$$ $$x\\geq 4$$  Значит, неравенству $A$ соответствует решение $4).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\\log_2{x}\\leq \\log_2 \\frac{1}{4}$$ $$x\\leq \\frac{1}{4}$$  Аргумент логарифма не может быть меньше или равен нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\\log_2{x}\\geq \\log_2 \\frac{1}{4}$$ $$x\\geq \\frac{1}{4}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\\log_2{x}\\leq \\log_24$$ $$x\\leq 4$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равен нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$","Ответ: $A-4),\\ B-2),\\ C-3),\\ D-1).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-281]][[matcher-296]]","widgets":{"image-281":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/621606.svg","width":"400"},"matcher-296":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $(x-1)(x-2)<0$","$B)$ $\\dfrac{x-1}{x-2}>0$","$C)$ $(x-1)^2(x-2)<0$","$D)$ $\\dfrac{(x-2)^2}{x-1}>0$"],"items":["$1)$","$4)$","$3)$","$2)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Графиком данного неравенства будет являться парабола. Ветви параболы будут направлены вверх, так как перед $x^2$ будет стоять знак плюс. Нас спрашивают, где данная парабола меньше нуля. Меньше нуля она будет в промежутке от $1$ до $2.$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Левая часть будет положительной только в двух случаях. Если числитель и знаменатель будут оба положительны или оба отрицательны. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Меньше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-2$ будет меньше нуля. При этом выражение не должно быть равно нулю, поэтому точку $1$ выкалываем. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Выражение будет больше нуля, если знаменатель будет больше нуля и $x\\ne 2$. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$","Ответ: $A-1),\\ B-4),\\ C-3),\\ D-2).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-504]][[matcher-523]]","widgets":{"image-504":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/b7b04b.svg","width":"400"},"matcher-523":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $\\dfrac{(x-2)^2}{x-1}<0$","$B)$ $2^{-x}<\\dfrac{1}{2}$","$C)$ $\\log_2x>1$","$D)$ $(x-1)(x-2)<0$"],"items":["$1)$","$4)$","$3)$","$2)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Меньше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-1$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $\\dfrac{1}{2}$ как $2$ в степени $-1{:}$ $$2^{-x}<2^{-1}$$ $$-x<-1$$ $$x>1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\\log_2{x}> \\log_22$$ $$x>2$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет отрицательной только в двух случаях. Если первый множитель положительный, а второй отрицательный или наоборот. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$","Ответ: $A-1),\\ B-4),\\ C-3),\\ D-2).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-51]][[matcher-107]]","widgets":{"image-51":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/620475.svg","width":"400"},"matcher-107":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $\\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}>0$","$B)$ $3^{-x+3}>3$","$C)$ $\\log_3x>1$","$D)$ $\\dfrac{x-3}{x-2}<0$"],"items":["$3)$","$1)$","$2)$","$4)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Больше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-2$ и $x-3$ будут больше нуля или будут меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ $$3^{-x+3}>3^1$$ $$-x+3>1$$ $$-x>-2$$ $$x<2$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $1).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\\log_3{x}> \\log_33$$ $$x>3$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет отрицательной только в двух случаях. Если числитель положительный, а знаменатель отрицательный или наоборот. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $4).$","Ответ: $A-3),\\ B-1),\\ C-2),\\ D-4).$"]}]}

{"questions":[{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-504]][[matcher-523]]","widgets":{"image-504":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/69db0b.svg","width":"400"},"matcher-523":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $\\log_2(x-1)<1$","$B)$ $3^{-2x}>\\dfrac{1}{9}$","$C)$ $\\dfrac{x-1}{(x-3)^2}>0$","$D)$ $x^2-4x+3>0$"],"items":["$1)$","$4)$","$3)$","$2)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\\log_2{(x-1)}< \\log_22$$ $$x-1< 2$$ $$x<3$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $\\dfrac{1}{9}$ как $3$ в степени $-2{:}$ $$3^{-2x}>3^{-2}$$ $$-2x>-2$$ $$x<1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет больше нуля в том случае, когда числитель будет больше нуля. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Графиком данной функции будет парабола, ветви которой смотрят вверх. Больше нуля функция будет там, где ветви параболы выше оси $x.$ Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$","Ответ: $A-3),\\ B-2),\\ C-4),\\ D-1).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-51]][[matcher-107]]","widgets":{"image-51":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/44f70a.svg","width":"400"},"matcher-107":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $(x-1)^2(x-5)<0$","$B)$ $(x-1)(x-5)<0$","$C)$ $\\dfrac{x-1}{x-5}>0$","$D)$ $\\dfrac{(x-5)^2}{x-1}>0$"],"items":["$1)$","$2)$","$4)$","$3)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Больше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-5$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет больше нуля в том случае, когда знаменатель будет больше нуля и $x\\ne 5$. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $3).$","Ответ: $A-1),\\ B-2),\\ C-4),\\ D-3).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-185]][[matcher-196]]","widgets":{"image-185":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/7d2dbe.svg","width":"400"},"matcher-196":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $2^{x}\\geq 2$","$B)$ $0.5^{x}\\geq 2$","$C)$ $0.5^{x}\\leq 2$","$D)$ $2^{x}\\leq 2$"],"items":["$4)$","$3)$","$2)$","$1)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же, как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$2^{x}\\geq 2^1$$ $$x\\geq 1$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $4).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же, как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$0.5^{x}\\geq 0.5^{-1}$$ Так как основания степеней меньше $1,$ знаки неравенства меняются на противоположные. $$x\\leq -1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $3).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же, как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$0.5^{x}\\leq 0.5^{-1}$$ Так как основания степеней меньше $1,$ знаки неравенства меняются на противоположные. $$x\\geq -1$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же, как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$2^{x}\\leq 2^1$$ $$x\\leq 1$$ Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$","Ответ: $A-4),\\ B-3),\\ C-2),\\ D-1).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-477]][[matcher-645]]","widgets":{"image-477":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/6ee003.svg","width":"400"},"matcher-645":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $(x-3)(x-4)<0$","$B)$ $\\dfrac{x-3}{x-4}>0$","$C)$ $(x-3)^2(x-4)<0$","$D)$ $\\dfrac{(x-4)^2}{x-3}>0$"],"items":["$3)$","$1)$","$4)$","$2)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$ <br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $1).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет меньше нуля, когда $x-4$ будет меньше нуля и $x\\ne 3$. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Данная дробь будет больше нуля, когда знаменатель будет больше нуля и $x\\ne 4$. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$","Ответ: $A-3),\\ B-1),\\ C-4),\\ D-2).$"]},{"content":"Установите соответствие между неравенствами и их решениями.[[image-494]][[matcher-838]]","widgets":{"image-494":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/2aaefe.svg","width":"400"},"matcher-838":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $(x-1)^2(x-6)<0$","$B)$ $\\dfrac{x-1}{x-6}>0$","$C)$ $(x-1)(x-6)<0$","$D)$ $\\dfrac{(x-6)^2}{x-1}>0$"],"items":["$3)$","$2)$","$1)$","$4)$"]}},"hints":["Решим неравенство под буквой $A.$ Левая часть будет меньше нуля, когда $x-6$ будет меньше нуля и $x\\ne 1$.  Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $B.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $1).$<br /><br />Решим неравенство под буквой $D.$ Данная дробь будет больше нуля, когда знаменатель будет больше нуля и $x\\ne 6$. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $4).$","Ответ: $A-3),\\ B-2),\\ C-1),\\ D-4).$"]}]}

{"questions":[{"content":"На координатной прямой отмечены точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-1]]Каждой точке соответствует одно из чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-8]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/d87bbb.svg","width":"500"},"matcher-8":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$3)$ $\\sqrt{10}-2\\sqrt{2}$","$2)$ $\\sqrt{10}:\\sqrt{2}$","$4)$ $(\\sqrt{2})^3+1$","$1)$ $\\sqrt{10}+\\sqrt{2}$"]}},"step":1,"hints":["Найдем примерные значения корней: $$\\sqrt{10} \\approx 3.2$$ $$\\sqrt{2} \\approx 1.4$$<br /><br />Вычислим значение первого выражения: $$3.2+1.4 = 4.6$$ Данному значению соответствует точка $D$ на координатной прямой. Значит, $D-1.$<br /><br />Вычислим значение второго выражения: $$3.2:1.4 \\approx 2.3$$ Данному значению соответствует точка $B$ на координатной прямой. Значит, $B-2.$<br /><br />Вычислим значение третьего выражения: $$3.2-2\\cdot 1.4 = 0.4$$ Данному значению соответствует точка $A$ на координатной прямой. Значит, $A-3.$<br /><br />Вычислим значение четвертого выражения: $$1.4^3+1 \\approx 3.7 $$ Данному значению соответствует точка $C$ на координатной прямой. Значит, $C-4.$","Ответ: $A-3),\\ B-2),\\ C-4),\\ D-1).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечены точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-64]]Каждой точке соответствует одно из чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-77]]","widgets":{"image-64":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/927e77.svg","width":"500"},"matcher-77":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$3)$ $\\sqrt{0.5}$","$1)$ $\\log_57$","$2)$ $\\dfrac{17}{6}$","$4)$ $\\left(\\dfrac{2}{9}\\right)^{-1}$"]}},"step":1,"hints":["Вычислим значение первого выражения: $$\\log_57 \\approx 1.1$$ Данному значению соответствует точка $B$ на координатной прямой. Значит, $B-1.$<br /><br />Вычислим значение второго выражения: $$17:6 \\approx 2.9$$ Данному значению соответствует точка $C$ на координатной прямой. Значит, $C-2.$<br /><br />Вычислим значение третьего выражения: $$\\sqrt{0.5} \\approx 0.7$$ Данному значению соответствует точка $A$ на координатной прямой. Значит, $A-3.$<br /><br />Вычислим значение четвертого выражения: $$\\left(\\dfrac{2}{9}\\right)^{-1}=\\dfrac{9}{2}=4.5$$ Данному значению соответствует точка $D$ на координатной прямой. Значит, $D-4.$","Ответ: $A-3),\\ B-1),\\ C-2),\\ D-4).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечены точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-258]]Каждой точке соответствует одно из чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-299]]","widgets":{"image-258":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/74a90b.svg","width":"501"},"matcher-299":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$4)$ $\\left(\\dfrac{37}{3}\\right)^{-1}$","$1)$ $\\log_520$","$2)$ $\\dfrac{29}{13}$","$3)$ $\\sqrt{10}$"]}},"hints":["Вычислим значение первого выражения: $$\\log_520 \\approx 1.9$$ Данному значению соответствует точка $B$ на координатной прямой. Значит, $B-1.$<br /><br />Вычислим значение второго выражения: $$29:13 \\approx 2.2$$ Данному значению соответствует точка $C$ на координатной прямой. Значит, $C-2.$<br /><br />Вычислим значение третьего выражения: $$\\sqrt{10} \\approx 3.1$$ Данному значению соответствует точка $D$ на координатной прямой. Значит, $D-3.$<br /><br />Вычислим значение четвертого выражения: $$\\left(\\dfrac{37}{3}\\right)^{-1}=\\dfrac{3}{37}\\approx 0.1$$ Данному значению соответствует точка $A$ на координатной прямой. Значит, $A-4.$","Ответ: $A-4),\\ B-1),\\ C-2),\\ D-3).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечены точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-537]]Число $m$ равно $\\sqrt{2}.\\newline$Каждой точке соответствует одно из чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-580]]","widgets":{"image-537":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/87ae44.svg","width":"500"},"matcher-580":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$1)$  $2m-5$","$4)$  $-\\dfrac{1}{m}$","$3)$  $m-1$","$2)$  $m^3$"]}},"hints":["Найдем примерное значение $m$: $\\sqrt{2}\\approx 1.4.$<br /><br />Вычислим значение первого выражения: $$2\\cdot 1.4-5 \\approx -2.2$$ Данному значению соответствует точка $A$ на координатной прямой. Значит, $A-1.$<br /><br />Вычислим значение второго выражения: $$1.4^3 \\approx 2.8$$ Данному значению соответствует точка $D$ на координатной прямой. Значит, $D-2.$<br /><br />Вычислим значение третьего выражения: $$1.4-1=0.4$$ Данному значению соответствует точка $C$ на координатной прямой. Значит, $C-3.$<br /><br />Вычислим значение четвертого выражения:  $$-\\dfrac{1}{1.4} \\approx-0.7$$ Данному значению соответствует точка $B$ на координатной прямой. Значит, $B-4.$","Ответ: $A-1),\\ B-4),\\ C-3),\\ D-2).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечены точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-952]]Каждой точке соответствует одно из чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-998]]","widgets":{"image-952":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/17afb2.svg","width":"500"},"matcher-998":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$4)$ $\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)^{-1}$","$2)$ $\\dfrac{7}{3}$","$1)$ $\\log_210$","$3)$ $\\sqrt{26}$"]}},"hints":["Вычислим значение первого выражения: $$\\log_210 \\approx 3.2$$ Данному значению соответствует точка $C$ на координатной прямой. Значит, $C-1.$<br /><br />Вычислим значение второго выражения: $$7:3\\approx 2.3$$ Данному значению соответствует точка $B$ на координатной прямой. Значит, $B-2.$<br /><br />Вычислим значение третьего выражения: $$\\sqrt{26} \\approx 5.1$$ Данному значению соответствует точка $D$ на координатной прямой. Значит, $D-3.$<br /><br />Вычислим значение четвертого выражения: $$\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)^{-1}=\\dfrac{5}{3}\\approx 1.7$$ Данному значению соответствует точка $A$ на координатной прямой. Значит, $A-4.$","Ответ: $A-4),\\ B-2),\\ C-1),\\ D-3).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечены точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-1320]]Число $m$ равно $-\\sqrt{2.2}.\\newline$Каждой точке соответствует одно из чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-1409]]","widgets":{"image-1320":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/7a2f4a.svg","width":"500"},"matcher-1409":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$3)$ $\\sqrt{m+2}$","$2)$ $-\\dfrac{2}{m}$","$4)$ $m^2$","$1)$ $3-m$"]}},"hints":["Найдем примерное значение $m$: $-\\sqrt{2.2}\\approx -1.5.$<br /><br />Вычислим значение первого выражения: $$3-(-1.5)= 4.5$$ Данному значению соответствует точка $D$ на координатной прямой. Значит, $D-1.$<br /><br />Вычислим значение второго выражения: $$-\\dfrac{2}{-1.5} \\approx 1.3$$ Данному значению соответствует точка $B$ на координатной прямой. Значит, $B-2.$<br /><br />Вычислим значение третьего выражения: $$\\sqrt{-1.5+2} \\approx 0.7$$ Данному значению соответствует точка $A$ на координатной прямой. Значит, $A-3.$<br /><br />Вычислим значение четвертого выражения:  $$(-1.5)^2 =2.25$$ Данному значению соответствует точка $C$ на координатной прямой. Значит, $C-4.$","Ответ: $A-3),\\ B-2),\\ C-4),\\ D-1).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечены точки $A,$ $B,$ $C$ и $D.$[[image-1821]]Каждой точке соответствует одно из чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.[[matcher-1887]]","widgets":{"image-1821":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/3d2a01.svg","width":"500"},"matcher-1887":{"type":"matcher","labels":["$A)$","$B)$","$C)$","$D)$"],"items":["$2)$ $\\sqrt{6}:\\sqrt{5}$","$3)$ $2\\sqrt{6}-\\sqrt{5}$","$1)$ $\\sqrt{6}+\\sqrt{5}$","$4)$ $(\\sqrt{6})^3-9$"]}},"hints":["Вычислим приближенные значения корней: $$\\sqrt{5} \\approx 2.2$$ $$\\sqrt{6} \\approx 2.4$$<br /><br />Найдем значение первого выражения: $$2.2+2.4=4.6$$ Данному значению соответствует точка $C$ на координатной прямой. Значит, $C-1.$<br /><br />Найдем значение второго выражения: $$2.4:2.2\\approx 1.1$$ Данному значению соответствует точка $A$ на координатной прямой. Значит, $A-2.$<br /><br />Найдем значение третьего выражения: $$2\\cdot 2.4-2.2= 2.6$$ Данному значению соответствует точка $B$ на координатной прямой. Значит, $B-3.$<br /><br />Найдем значение четвертого выражения: $$(\\sqrt{6})^3-9=6\\sqrt{6}-9\\approx 5.7$$ Данному значению соответствует точка $D$ на координатной прямой. Значит, $D-4.$","Ответ: $A-2),\\ B-3),\\ C-1),\\ D-4).$"]}]}

{"questions":[{"content":"На координатной прямой отмечено число $m.$[[image-1]] Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.[[matcher-10]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/35954e.svg","width":"500"},"matcher-10":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $m-1$","$B)$ $m^2$","$C)$ $4m$","$D)$ $-\\dfrac{1}{m}$"],"items":["$2)$ $[-1;0]$","$3)$ $[0;1]$","$4)$ $[1;2]$","$1)$ $[-3;-2]$"]}},"step":1,"explanation":"$B$","hints":["Так как $m$ находится в промежутке от $0$ до $0.5,$ но ближе к $0.5,$ примем $m \\approx 0.4.$<br /><br />Найдем значение выражения $A{:}$ $$0.4-1=-0.6$$ Данное значение находится на промежутке $[-1;0],$ значит, $A-2).$<br /><br />Найдем значение выражения $B{:}$ $$0.4^2=0.16$$ Данное значение находится на промежутке $[0;1],$ значит, $B-3).$<br /><br />Найдем значение выражения $C{:}$ $$4\\cdot 0.4=1.6$$ Данное значение находится на промежутке $[1;2],$ значит, $C-4).$<br /><br />Найдем значение выражения $D{:}$ $$-\\dfrac{1}{0.4}=-2.5$$ Данное значение находится на промежутке $[-3;-2],$ значит, $D-1).$","Ответ: $A-2),\\ B-3),\\ C-4),\\ D-1).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечено число $m.$[[image-91]]Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.[[matcher-116]]","widgets":{"image-91":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/7878fa.svg","width":"501"},"matcher-116":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $\\sqrt{m}-1$","$B)$ $m^2$","$C)$ $m-2$","$D)$ $\\dfrac{3}{m}$"],"items":["$2)$ $[0;1]$","$3)$ $[1;2]$","$1)$ $[-1;0]$","$4)$ $[2;3]$"]}},"hints":["Так как $m$ находится в промежутке от $1$ до $1.5,$ но ближе к $1,$ примем $m \\approx 1.2.$<br /><br />Найдем значение выражения $A{:}$ $$\\sqrt{1.2}-1\\approx0.1$$ Данное значение находится на промежутке $[0;1],$ значит, $A-2).$<br /><br />Найдем значение выражения $B{:}$ $$1.2^2=1.44$$ Данное значение находится на промежутке $[1;2],$ значит, $B-3).$<br /><br />Найдем значение выражения $C{:}$ $$1.2-2=-0.8$$ Данное значение находится на промежутке $[-1;0],$ значит, $C-1).$<br /><br />Найдем значение выражения $D{:}$ $$\\dfrac{3}{1.2}=2.5$$ Данное значение находится на промежутке $[2;3],$ значит, $D-4).$","Ответ: $A-2),\\ B-3),\\ C-1),\\ D-4).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечено число $m.$[[image-236]]Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.[[matcher-282]]","widgets":{"image-236":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/53e97d.svg","width":"500"},"matcher-282":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $3-m$","$B)$ $m^2+\\dfrac{1}{2}$","$C)$ $\\sqrt{m+2}$","$D)$ $-\\dfrac{2}{m}$"],"items":["$4)$ $[4;5]$","$3)$ $[2;3]$","$1)$ $[0;1]$","$2)$ $[1;2]$"]}},"hints":["Так как $m$ находится в промежутке от $-1.5$ до $-1,$ но ближе к $-1.5,$ примем $m \\approx -1.4.$<br /><br />Найдем значение выражения $A{:}$ $$3-(-1.4)=4.4$$ Данное значение находится на промежутке $[4;5],$ значит, $A-4).$<br /><br />Найдем значение выражения $B{:}$ $$(-1.4)^2+\\dfrac{1}{2}=2.46$$ Данное значение находится на промежутке $[2;3],$ значит, $B-3).$<br /><br />Найдем значение выражения $C{:}$ $$\\sqrt{-1.4+2}=0.8$$ Данное значение находится на промежутке $[0;1],$ значит, $C-1).$<br /><br />Найдем значение выражения $D{:}$ $$-\\dfrac{2}{-1.4}\\approx1.4$$ Данное значение находится на промежутке $[1;2],$ значит, $D-2).$","Ответ: $A-4),\\ B-3),\\ C-1),\\ D-2).$"]},{"content":"На координатной прямой отмечено число $m.$[[image-466]]Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.[[matcher-502]]","widgets":{"image-466":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/6fb940.svg","width":"500"},"matcher-502":{"type":"matcher","labels":["$A)$ $\\sqrt{6-m}$","$B)$ $m^2$","$C)$ $m-1$","$D)$ $-\\dfrac{3}{m}$"],"items":["$3)$ $[2;3]$","$2)$ $[0;1]$","$1)$ $[-2;-1]$","$4)$ $[4;6]$"]}},"hints":["Так как $m$ находится в промежутке от $-1$ до $-0.5,$ но ближе к $-0.5,$ примем $m \\approx -0.7.$<br /><br />Найдем значение выражения $A{:}$ $$\\sqrt{6-(-0.7)}\\approx 2.5$$ Данное значение находится на промежутке $[2;3],$ значит, $A-3).$<br /><br />Найдем значение выражения $B{:}$ $$(-0.7)^2=0.49$$ Данное значение находится на промежутке $[0;1],$ значит, $B-2).$<br /><br />Найдем значение выражения $C{:}$ $$-0.7-1=-1.7$$ Данное значение находится на промежутке $[-2;-1],$ значит, $C-1).$<br /><br />Найдем значение выражения $D{:}$ $$-\\dfrac{3}{-0.7}\\approx4.2$$ Данное значение находится на промежутке $[4;6],$ значит, $D-4).$","Ответ: $A-3),\\ B-2),\\ C-1),\\ D-4).$"]}],"mix":1,"first_question_instruction":"Подберите к каждому элементу подходящую пару."}