Задание 21. Задачи на смекалку

{"questions":[{"content":"Улитка за день залезает вверх по дереву на $3 \\spaceм,$ а за ночь спускается на $2\\spaceм.$ Высота дерева $10\\spaceм.$ За сколько дней улитка поднимется на вершину дерева?[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$7$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/baobab.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ За сутки улитка продвигается на:<br />$$3-2 = 1\\spaceм$$ $2.$ За $7$ дней улитка поднимется на: $$7 \\cdot 1 = 7\\spaceм$$ $3.$ На $8$-й день улитка поднимется еще на $3$ м: $$7 + 3 = 10\\spaceм$$ Ответ: улитка поднимется на вершину дерева за $8$ дней."]},{"content":"На палке отмечены поперечные линии красного, желтого и зеленого цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится $15$ кусков, если по желтым  — $5$ кусков, а если по зеленым  — $7$ кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трех цветов?<br />[[fill_choice_big-20]][[image-76]]","widgets":{"fill_choice_big-20":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$24$","$27$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-76":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/Obrazavr-s-palkoj.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ При распиле количество кусков всегда на $1$ больше, чем количество линий.<br /><br />$2.$ Если получается $15$ кусков, значит линий: $15-1 = 14$ (красных).<br /><br />$3.$ Если получается $5$ кусков, значит линий: $5-1 = 4$ (желтых).<br /><br />$4.$ Если получается $7$ кусков, значит линий: $7-1 = 6$ (зеленых).<br /><br />$5.$ Найдем общее количество линий:<br />$14 + 4 + 6 = 24$ линии.<br /><br />$6.$ Найдем количество кусков:<br />$24 + 1 = 25$ кусков.<br /><br />Ответ: при распиле по всем линиям получится $25$ кусков."]},{"content":"В корзине лежит $40$ грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых $17$ грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых $25$ грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?[[fill_choice_big-41]][[image-125]]","widgets":{"fill_choice_big-41":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$25$","$26$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-125":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/griby-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Груздей не может быть больше $16,$ так как иначе можно было бы выбрать $17$ груздей, что противоречит условию.<br /><br />$2.$ Рыжиков не может быть больше $24,$ так как иначе можно было бы выбрать $25$ рыжиков, что противоречит условию.<br /><br />$3.$ Так как общее количество грибов $40,$ и груздей не больше $16,$ а рыжиков не больше $24,$ то:<br /><br />Количество груздей = $16.$<br /><br />Количество рыжиков = $24.$<br /><br />Ответ: в корзине $24$ рыжика."]},{"content":"На поверхности глобуса фломастером проведены $12$ параллелей и $22$ меридиана. На сколько частей проведенные линии разделили поверхность глобуса?<br /><br />Меридиан  — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель  — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.[[fill_choice_big-146]][[image-178]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$286$","$280$","$282$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-178":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2021/11/globus-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ $12$ параллелей делят глобус на $13$ частей (на $1$ больше, чем самих параллелей).<br /><br />$2.$ Каждый из $22$ меридианов проходит через все $13$ частей, создавая новые секции.<br /><br />$3.$ Общее количество частей: $13 \\cdot 22 = 286.$<br /><br />Ответ: поверхность глобуса разделена на $286$ частей."]},{"content":"На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: $A, B, C$ и $D.$ Расстояние между $A$ и $B$  — $35\\spaceкм,$ между $A$ и $C$  — $20\\spaceкм,$ между $C$ и $D$  — $20\\spaceкм,$ между $D$ и $A$  — $30\\spaceкм$ (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между $B$ и $C.$ Ответ дайте в километрах.[[fill_choice_big-191]][[image-235]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$10$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-235":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/06/zapravka.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Кратчайшие дуги $AC$ и $CD$ длиной по $20\\spaceкм$ образуют дугу $A-C-D$ длиной $20 + 20 = 40\\spaceкм.$ Если бы направления движения от $A$ к $C$ и от $C$ к $D$ были противоположными, точки $A$ и $D$ совпали бы.<br /><br />$2.$ Кратчайшее расстояние между $A$ и $D$ равно $30\\spaceкм,$ поэтому другая дуга между ними имеет длину $30\\spaceкм.$ Длина кольцевой дороги: $40 + 30 = 70\\spaceкм.$<br /><br />$3.$ Расстояние $AB = 35\\spaceкм$ равно половине длины кольца. Точки расположены в порядке $A-C-B-D.$<br /><br />$4.$ Найдем расстояние между $B$ и $C$:<br />$BC = AB-AC = 35-20 = 15\\spaceкм.$<br /><br />Ответ: расстояние между $B$ и $C$ равно $15\\spaceкм.$"]},{"content":"В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:<br /><br />$1)$  за $3$ золотых монеты получить $4$ серебряных и одну медную;<br /><br />$2)$  за $6$ серебряных монет получить $4$ золотых и одну медную.<br /><br />У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось $35$ медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?[[fill_choice_big-338]][[image-296]]","widgets":{"fill_choice_big-338":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$15$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-296":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/svobodnoe13.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть Никола сделал $x$ операций второго типа и $y$ операций первого типа.<br /><br />$2.$ Составим систему уравнений: $$\\begin{cases}4x-3y = 0 & \\text{(золотые монеты не появились)} \\\\ x + y = 35 & \\text{(появилось 35 медных монет)}\\end{cases}$$ $3.$ Решаем систему:<br />Из первого уравнения: $4x = 3y$<br />Из второго уравнения: $y = 35-x$<br /><br />$4.$ Подставляем:<br />$$4x = 3(35-x)$$ $$4x = 105-3x$$ $$7x = 105$$ $$x = 15$$ $5.$ Находим $y$: $$y = 35 — 15 = 20$$ $6.$ Находим изменение количества серебряных монет: $$4y-6x = 4 \\cdot 20-6 \\cdot 15 = 80-90 = -10$$ Ответ: количество серебряных монет уменьшилось на $10.$"]},{"content":"Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живет в седьмом подъезде в квартире $№ 462,$ а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живет Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)[[fill_choice_big-503]][[image-361]]","widgets":{"fill_choice_big-503":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$6$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-361":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/germaniya-flag-doma-zdaniya-dom.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Квартира $462$ находится в седьмом подъезде, поэтому в первых $7$ подъездах не менее $462$ квартир. В каждом подъезде не менее $462 : 7 = 66$ квартир.<br /><br />$2.$ Найдем минимальное количество квартир на этаже:<br />$66 : 7 > 9,$ значит, на каждом этаже не менее $10$ квартир.<br /><br />$3.$ Проверим вариант с $9$ квартирами на этаже:<br />$9 \\cdot 7 \\cdot 7 = 441$ квартира (в первых $7$ подъездах).<br />Квартира $462$ окажется в $8$ подъезде — противоречие.<br /><br />$4.$ Проверим вариант с $10$ квартирами на этаже:<br />$10 \\cdot 7 \\cdot 7 = 490$ квартир (в первых $7$ подъездах).<br />$10 \\cdot 7 \\cdot 6 = 420$ квартир (в первых $6$ подъездах).<br />Квартира $462$ находится в $7$ подъезде $(462-420 = 42)$<br />На этаже по $10$ квартир, значит:<br />$42 : 10 = 4$ полных этажа + $2$ квартиры.<br />Этаж: $4 + 1 = 5.$<br /><br />$5.$ Проверим вариант с $11$ квартирами на этаже:<br />$11 \\cdot 7 \\cdot 6 = 462$ квартиры (в первых $6$ подъездах).<br />Квартира $462$ в $6$ подъезде — противоречие.<br /><br />Ответ: Саша живет на $5$ этаже седьмого подъезда."]},{"content":"Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нем $110$ квартир?[[fill_choice_big-584]][[image-430]]","widgets":{"fill_choice_big-584":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$10$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-430":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/mechty-mechtaet-dom-doma-zdaniya-2.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Разложим число $110$ на простые множители:<br />$110 = 2 \\cdot 5 \\cdot 11$<br /><br />$2.$ Учитывая условия задачи, получаем:<br />Число подъездов должно быть больше $1.$<br />Число квартир на этаже должно быть больше числа подъездов.<br />Число этажей должно быть больше числа квартир на этаже.<br /><br />$3.$ Подбираем подходящие значения:<br />Подъезды: $2$ (больше $1$).<br />Квартиры на этаже: $5$ (больше числа подъездов).<br />Этажи: $11$ (больше числа квартир на этаже).<br /><br />$4.$ Проверяем:<br />$2 \\cdot 5 \\cdot 11 = 110$ квартир.<br />Все условия соблюдены:<br />$11 > 5 > 2 > 1$<br /><br />Ответ: в доме $11$ этажей."]},{"content":"Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно $6$ прыжков, начиная прыгать из начала координат?[[fill_choice_big-701]][[image-503]]","widgets":{"fill_choice_big-701":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$6$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-503":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/kuznechik-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Заметим, что:<br />Кузнечик может двигаться как вправо, так и влево.<br />Каждый прыжок равен $1$ единице.<br />Всего прыжков: $6.$<br /><br />$2.$ Важное наблюдение:<br />Поскольку количество прыжков четное $(6),$ кузнечик может оказаться только в точках с четными координатами.<br /><br />$3.$ Максимальное расстояние:<br />При $6$ прыжках в одну сторону: $6$ единиц.<br /><br />$4.$ Возможные точки:<br />От $-6$ до $6$ с шагом $2.$<br />Точки: $-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6.$<br /><br />$5.$ Подсчет точек:<br />Всего $7$ различных точек.<br /><br />Ответ: кузнечик может оказаться в $7$ различных точках."]},{"content":"Улитка за день заползает вверх по дереву на$ 4\\spaceм,$ а за ночь сползает на $3\\spaceм.$ Высота дерева $10\\spaceм.$За сколько дней улитка впервые доползет до вершины дерева?[[fill_choice_big-932]][[image-580]]","widgets":{"fill_choice_big-932":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$8$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-580":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/baobab.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Найдем чистый прогресс за одни сутки:<br />$4-3 = 1$ $м$ в сутки.<br /><br />$2.$ Однако, на последний день улитка не будет сползать вниз, так как она уже достигнет вершины.<br /><br />$3.$ Рассмотрим процесс:<br />За первые $6$ дней улитка поднимется на $6\\spaceм$ $(6 \\cdot 1 = 6\\spaceм).$<br />На седьмой день улитка поднимется на $4\\spaceм$ $(6 + 4 = 10\\spaceм).$<br />Вершина достигнута до ночного сползания.<br /><br />$4.$ Таким образом, улитка достигнет вершины на $7$-й день.<br /><br />Ответ: улитка доползет до вершины за $7$ дней."]}]}

{"questions":[{"content":"Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им $4\\space200$ рублей, а за каждый следующий метр  — на $1\\space300$ рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной $11$ метров?<br /><br />[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$117\\space000$","$117\\space300$","$117\\space700$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/08/kolodecz_fontan-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Имеем арифметическую прогрессию:<br />Первое значение: $a_1 = 4\\space200$<br />Разность: $d = 1\\space300$<br />Количество элементов: $n = 11$ <br /><br />$2.$ Используем формулу суммы первых n элементов арифметической прогрессии: $$S_n = \\frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$$ $3.$ Подставляем значения:$$S_{11} = \\frac{11\\cdot (2 \\cdot 4\\space200 + 10 \\cdot 1\\space300)}{2}$$ $4.$ Вычисляем: $$S_{11} = \\frac{11\\cdot (8\\space400 + 13\\space000)}{2}$$ $$S_{11} = \\frac{11 \\cdot 21\\space400}{2}$$ $$S_{11} = 11 \\cdot 10\\space700$$ $$S_{11} = 117\\space700$$ Ответ: хозяин должен заплатить $117\\space700$ рублей."]},{"content":"Список заданий викторины состоял из $25$ вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал $7$ очков, за неправильный ответ с него списывали $10$ очков, а при отсутствии ответа давали $0$ очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший $42$ очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?[[fill_choice_big-34]][[image-87]]","widgets":{"fill_choice_big-34":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$17$","$14$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-87":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/dumaet-primer-doska2-v2.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть:<br />$x$ — количество правильных ответов.<br />$y$ — количество неправильных ответов.<br />$z$ — количество пропущенных вопросов.<br /><br />$2.$ Составим систему уравнений:<br />$$x + y + z = 25\\space(всего\\spaceвопросов)$$ $$7x-10y = 42\\space(общее\\spaceколичество\\spaceочков)$$ $3.$ Из первого уравнения: $$z = 25-x-y$$ $4.$ Решаем второе уравнение: $$7x — 10y = 42$$ $$7x = 42 + 10y$$ $$x = 6 + \\frac{10y}{7}$$ $5.$ Так как $x$ — целое число, $\\dfrac{10y}{7}$ должно быть целым<br />Наименьшее подходящее значение $y = 7$ (так как по условию была хотя бы одна ошибка).<br /><br />$6.$ Подставляем $y = 7$: $$x = 6 + \\dfrac{10 \\cdot 7}{7} = 6 + 10 = 16$$ $7.$ Проверяем: $$7 \\cdot 16-10 \\cdot 7 = 112-70 = 42$$ Ответ: ученик дал $16$ правильных ответов."]},{"content":"В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причем стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в нее. Цена бутылки не зависит от ее объема. Бутылка кваса объемом $1$ литр стоит $36$ рублей, объемом $2$ литра  — $66$ рублей. Сколько рублей будет стоить бутылка кваса объемом $1.5$ литра?[[fill_choice_big-81]][[image-136]]","widgets":{"fill_choice_big-81":{"type":"fill_choice_big","options":["$51$","$54$","$52$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-136":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/magazin-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть:<br />$x$ — стоимость пустой бутылки.<br />$y$ — стоимость $1$ литра кваса.<br /><br />$2.$ Составим систему уравнений:<br />$$x + y = 36\\space(для\\space1\\spaceлитра)$$ $$x + 2y = 66\\space(для\\space2\\spaceлитров)$$ $3.$ Вычтем первое уравнение из второго:<br />$$(x + 2y)-(x + y) = 66-36$$ $y = 30$ (стоимость $1$ литра кваса).<br /><br />$4.$ Подставим значение $y$ в первое уравнение:<br />$$x + 30 = 36$$ $x = 6$ (стоимость пустой бутылки).<br /><br />$5.$ Найдем стоимость $1.5$ литровой бутылки:<br />$$x + 1,5y = 6 + 1,5 \\cdot 30 = 6 + 45 = 51$$ Ответ: бутылка кваса объемом $1.5$ литра будет стоить $51$ рубль."]},{"content":"Клетки таблицы $6\\times6$ раскрашены в черный и белый цвета так, что получилось $30$ пар соседних клеток разного цвета и $16$ пар соседних клеток черного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона). Сколько пар соседних клеток белого цвета?[[fill_choice_big-151]][[image-189]]","widgets":{"fill_choice_big-151":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$16$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-189":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Найдем общее количество пар соседних клеток:<br />В каждой строке $5$ пар соседних клеток.<br />В каждой колонке $5$ пар соседних клеток.<br />Всего строк: $6.$<br />Всего колонок: $6.$<br /><br />$2.$ Рассчитаем общее количество пар:<br />В строках: $6 \\cdot 5 = 30$ пар.<br />В колонках: $6 \\cdot 5 = 30$ пар.<br />Всего пар: $30 + 30 = 60$ пар.<br /><br />$3.$ Пусть $x$ — количество пар белого цвета.<br /><br />$4.$ Составим уравнение:<br />$30$ (разные) + $16$ (черные) + $x$ (белые) = $60$ (всего).<br /><br />$5.$ Решаем уравнение:<br />$$30 + 16 + x = 60$$ $$46 + x = 60$$ $$x = 60-46$$ $$x = 14$$ Ответ: $14$ пар соседних клеток белого цвета."]},{"content":"Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно $4$ провода. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?[[fill_choice_big-229]][[image-246]]","widgets":{"fill_choice_big-229":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$40$","$60$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-246":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/obrazavr_giperbola-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Сначала посчитаем общее количество соединений:<br />От каждого столба отходит $4$ провода.<br />Всего столбов $10.$<br />Общее количество соединений: $10 \\cdot 4 = 40.$<br /><br />$2.$ Заметим, что каждый провод соединяет два столба, поэтому каждое соединение посчитано дважды.<br /><br />$3.$ Чтобы найти реальное количество проводов, нужно разделить полученное число на $2{:}$<br />$$\\frac{40}{2} = 20$$ Ответ: между десятью столбами протянуто $20$ проводов."]},{"content":"Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами  — $328,$ номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?[[fill_choice_big-345]][[image-307]]","widgets":{"fill_choice_big-345":{"type":"fill_choice_big","options":["$247$","$495$","$248$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-307":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/kniga_nauka-chitaet-obrazavr-01-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Из цифр $3, 2, 8$ можно составить числа:$382,238,283,832,823.$<br /><br />$2.$ Числа $238$ и $283$ меньше $328,$ поэтому не подходят.<br /><br />$3.$ Номер первой страницы после выпавших листов должен быть нечетным (так как $328$ — четное).<br /><br />$4.$ Подходит только число $823.$<br /><br />$5.$ Вычитаем $1,$ так как страница $823$ не выпала: <br />$823-1 = 822$<br /><br />$6.$ Находим количество выпавших листов:<br />$$\\dfrac{822-328}{2} = \\dfrac{494}{2} = 247$$ Ответ: выпало $247$ листов."]},{"content":"Миша, Коля и Леша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл $10$ партий, а Коля  — $21.$ Сколько партий сыграл Леша?[[fill_choice_big-486]][[image-372]]","widgets":{"fill_choice_big-486":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$10$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-372":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/table-tennis-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Определим общее количество партий:<br />Коля сыграл $21$ партию, значит всего партий не меньше $21.$<br />Миша сыграл $10$ партий, участвуя хотя бы в каждой второй игре.<br /><br />$2.$ Рассчитаем максимальное количество партий.<br />Если Миша участвовал в каждой второй игре: $$10 \\cdot 2 + 1 = 21$$ $3.$ Следовательно, всего было сыграно $21$ партия.<br /><br />$4.$ Найдем количество партий Леши:<br />Всего партий: $21.$<br />Миша: $10$ партий.<br />Леша: $21-10 = 11$ партий.<br /><br />Ответ: Леша сыграл $11$ партий."]},{"content":"На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на $30\\spaceсм$ длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на $50\\spaceсм$ длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.[[fill_choice_big-630]][[image-441]]","widgets":{"fill_choice_big-630":{"type":"fill_choice_big","options":["$40$","$80$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-441":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/dlinnyj-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Обозначим:<br />$x$ — расстояние от начала ленты до синей полоски.<br />$y$ — расстояние между синей и красной полосками.<br />$z$ — расстояние от красной полоски до конца ленты.<br /><br />$2.$ Составим уравнения:<br />При разрезании по красной полоске: $x + y-z = 30.$<br />При разрезании по синей полоске: $y + z-x = 50.$<br /><br />$3.$ Решим систему уравнений:$$x + y-z = 30 $$ $$y + z-x = 50$$ $4.$ Сложим оба уравнения:<br />$$(x + y-z) + (y + z-x) = 30 + 50$$ $$x-x + y + y-z + z = 80$$ $$2y = 80$$ $$y = 40$$ Ответ: расстояние между красной и синей полосками равно $40\\spaceсм.$"]},{"content":"Взяли несколько досок и распилили их (за один распил можно распилить только одну доску). Всего сделали $11$ поперечных распилов, в итоге получилось $16$ кусков. Сколько досок взяли?[[fill_choice_big-755]][[image-514]]","widgets":{"fill_choice_big-755":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$6$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-514":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/obrazavr_deyatelnost_dop-01-2.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ При каждом поперечном распиле количество кусков увеличивается на $1.$<br /><br />$2.$ Если бы изначально была одна доска, то после $11$ распилов получилось бы: $1 + 11 = 12$ кусков.<br /><br />$3.$ Но у нас $16$ кусков, значит изначально было больше досок.<br /><br />$4.$ Разница между количеством получившихся кусков и количеством распилов:$16-11 = 5$<br /><br />$5.$ Эта разница показывает количество досок, которые были изначально.<br /><br />Ответ: изначально было $5$ досок."]},{"content":"В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов — их оказалось $5,$ и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным $690.$ Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки $«2», «3», «4»$ или $«5»$ и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округленная по правилам округления? <br />$($Например, $3.2$ округляется до $3; 4.5$  — до $ 5;$ а $2.8$  — до $3.)$[[fill_choice_big-1022]][[image-591]]","widgets":{"fill_choice_big-1022":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$3$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-591":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/uchenik-uchenitsa-otlichnitsa-otlichnik-pyaterka-dnevnik-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Разложим число $690$ на простые множители:<br />$690 = 2 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 23$<br /><br />$2.$ В произведении $2 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 23$ множитель $23$ составлен из двух соседних отметок $2$ и $3,$ между которыми нет знака умножения.<br /><br />$3.$ Получаем набор отметок:<br />$2,$ $5,$ $2,$ $3,$ $3.$ <br />$4.$ Проверим произведение:<br />$$2 \\cdot 5 \\cdot 23 \\cdot 3 = 690$$ $5.$ Найдем среднее арифметическое:<br />$$\\frac{2 + 5 + 2 + 3 + 3}{5} = \\frac{15}{5} = 3$$ Ответ: у Пети выходит отметка $3.$"]}]}

{"questions":[{"content":"В доме всего пятнадцать квартир с номерами от $1$ до $15.$ В каждой квартире живет не менее одного и не более трех человек. В квартирах с $1$-й по $12$-ю включительно живет суммарно $14$ человек, а в квартирах с $11$-й по $15$-ю включительно живет суммарно $13$ человек. Сколько всего человек живет в этом доме?[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$23$","$28$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/angliya-dom-doma-zdaniya-zdanie_4-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ В квартирах $1$-$10$ живет не менее $10$ человек. Поэтому в квартирах $11$ и $12$ вместе живет не более $14-10 = 4$ человек.<br /><br />$2.$ В квартирах $13$-$15$ живет не более $3 \\cdot 3 = 9$ человек. Поэтому в квартирах $11$ и $12$ вместе живет не менее $13-9 = 4$ человек.<br /><br />$3.$ Значит, в квартирах $11$ и $12$ суммарно живет ровно $4$ человека. В квартирах $1$-$10$ живет $14-4 = 10$ человек, а в квартирах $13$-$15$ — $13-4 = 9$ человек.<br /><br />$4.$ Общее количество людей: $$10 + 4 + 9 = 23$$ Ответ: в доме живет $23$ человека."]},{"content":"Из десяти стран, четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести  — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?[[fill_choice_big-16]][[image-76]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$19$","$38$","$40$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-76":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/london-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Рассчитаем количество подписей для первых $4$ стран:<br />$4 \\cdot 5 = 20$ подписей.<br /><br />$2.$ Рассчитаем количество подписей для оставшихся $6$ стран:<br />$6 \\cdot 3 = 18$ подписей.<br /><br />$3.$ Общее количество подписей:<br />$20 + 18 = 38$ подписей.<br /><br />$4.$ Каждый договор включает две страны, поэтому количество договоров в два раза меньше:<br />$38:2 = 19$ договоров.<br /><br />Ответ: всего было подписано $19$ договоров."]},{"content":"Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает $3$ большие фишки, отдав $10$ маленьких. До обмена у Пети было $100$ фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало $65.$ Сколько обменов он совершил?[[fill_choice_big-44]][[image-125]]","widgets":{"fill_choice_big-44":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$7$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-125":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/soso.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ При каждом обмене количество фишек уменьшается на:<br />$10-3 = 7$ фишек.<br /><br />$2.$ Общее уменьшение количества фишек:<br />$100-65 = 35$ фишек.<br /><br />$3.$ Количество обменов:<br />$35:7 = 5$ обменов.<br /><br />Ответ: Петя совершил $5$ обменов."]},{"content":"Маша и Медведь съели $120$  печенья и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь  — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печенья съел Медведь, если варенье они съели поровну?[[fill_choice_big-89]][[image-178]]","widgets":{"fill_choice_big-89":{"type":"fill_choice_big","options":["$108$","$60$","$90$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-178":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_pechene.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Так как варенья съедено поровну, а Медведь ест в $3$ раза быстрее, Маша потратила на варенье в $3$ раза больше времени.<br /><br />$2.$ Все время, пока Маша ела варенье, Медведь ел печенье в $3$ раза быстрее. <br />Значит, за это время он съел:<br />$3 \\cdot 3 = 9$ частей печенья (в $9$ раз больше, чем Маша съела после того, как они поменялись).<br /><br />$3.$ Пусть $x$ — количество печенья, съеденных Машей.<br />Тогда:<br />$$x + 9x = 120$$ $4.$ Решаем уравнение: $$10x = 120$$ $$x = 12$$ $5.$ Медведь съел печенья: $$9x = 9 \\cdot 12 = 108$$ Ответ: Медведь съел $108$ печенья."]},{"content":"На прилавке цветочного магазина стоят $3$ вазы с розами: оранжевая, белая и синяя. Слева от синей вазы $15$ роз, справа от белой вазы $11$ роз. Всего в вазах $23$ розы. Сколько роз в оранжевой вазе?[[fill_choice_big-182]][[image-235]]","widgets":{"fill_choice_big-182":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$6$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-235":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/tsvety-2.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Рассмотрим возможные расположения ваз:<br />$Б$ — белая.<br />$С$ — синяя.<br />$О$ — оранжевая. <br />$С-Б-О, С-О-Б, Б-С-О,$ <br />$Б-О-С, О-Б-С, О-С-Б.$<br /><br />$2.$ Так как слева от синей вазы и справа от белой вазы есть цветы, исключаем варианты:<br />начинающиеся с $С$ и заканчивающиеся $Б.$<br /><br />$3.$ Остаются варианты:<br />$Б-С-О, Б-О-С, О-Б-С.$<br /><br />$4.$ Вариант $Б-С-О$ не подходит: в белой вазе было бы $15$ роз, а справа от нее — $23-15 = 8$ роз вместо $11.$<br /><br />$5.$ Значит, единственный возможный порядок:<br />$Б-О-С$ (белая-оранжевая-синяя).<br /><br />$6.$ Из условия про синюю вазу:<br />в белой и оранжевой вазах $15$ роз.<br /><br />$7.$ Значит, в синей вазе:<br />$23-15 = 8$ роз.<br /><br />$8.$ Из условия про белую вазу:<br />в оранжевой и синей вазах $11$ роз.<br /><br />$9.$ Значит, в оранжевой вазе:<br />$11-8 = 3$ розы.<br /><br />Ответ: в оранжевой вазе $3$ розы."]},{"content":"Маша и Медведь съели $160$ печенья и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь  — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в $3$ раза быстрее Маши. Сколько печенья съел Медведь, если варенье они съели поровну.[[fill_choice_big-269]][[image-296]]","widgets":{"fill_choice_big-269":{"type":"fill_choice_big","options":["$144$","$120$","$125$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-296":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/packet-of-biscuit.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $x$ — количество печенья, которое съела Маша.<br /><br />$2.$ Так как Медведь ест в $3$ раза быстрее Маши:<br />Пока Маша ела варенье, Медведь ел печенье в $3$ раза быстрее.<br />При этом Маша тратила на варенье в $3$ раза больше времени, чем Медведь.<br /><br />$3.$ За время, пока Маша ела варенье, Медведь съел:<br />$3 \\cdot 3 = 9$ раз больше печенья.<br /><br />$4.$ Составим уравнение: $$x + 9x = 160$$ $5.$ Решаем уравнение:<br />$$10x = 160$$ $$x = 16$$ $6.$ Значит:<br />Маша съела $16$ печеньев.<br />Медведь съел $16 \\cdot 9 = 144$ печенья.<br />Ответ: Медведь съел $144$ печенья."]},{"content":"В доме всего $14$ квартир с номерами от $1$ до $14.$ В каждой квартире живет не менее $1$ и не более $4$ человек. В квартирах с $1$-й по $12$-ю включительно живет суммарно $14$ человек, а в квартирах с $11$-й по $14$-ю включительно живет суммарно $12$ человек. Сколько всего человек живут в этом доме?[[fill_choice_big-410]][[image-361]]","widgets":{"fill_choice_big-410":{"type":"fill_choice_big","options":["$22$","$24$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-361":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/neighbours-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ В квартирах с $1$-й по $12$-ю живет $14$ человек.<br /><br />$2.$ Так как в каждой квартире живет от $1$ до $4$ человек, то:<br />В $10$ квартирах живет по $1$ человеку $($ $10 \\cdot 1 = 10$ человек$).$<br />В оставшихся $2$ квартирах живет $4$ человека $($ $14-10 = 4$ человека$).$<br /><br />$3.$ В квартирах с $11$-й по $14$-ю живет $12$ человек.<br /><br />$4.$ В этих $4$ квартирах:<br />В квартирах $11$ и $12$ живет суммарно $4$ человека.<br />В оставшихся $2$ квартирах живет $8$ человек $($ $12-4 = 8$ человек$).$<br /><br />$5.$ Квартиры $11$ и $12$ входят в оба интервала, значит в них живет $4$ человека.<br /><br />$6.$ Общее количество людей:<br />В квартирах $1$ — $10\\Rightarrow$ $10$ человек.<br />В квартирах $11$ — $12\\Rightarrow$ $4$ человека.<br />В квартирах $13$ — $14\\Rightarrow$ $8$ человек.<br /><br />$7.$ Итого: $10 + 4 + 8 = 22$ человека.<br /><br />Ответ: $22$ человека."]},{"content":"В корзине лежит $45$ грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых $23$ грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых $24$ грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?[[fill_choice_big-568]][[image-430]]","widgets":{"fill_choice_big-568":{"type":"fill_choice_big","options":["$23$","$24$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-430":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/les-derevya-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $x$ — количество рыжиков, $y$ — количество груздей.<br /><br />$2.$ По условию:<br />$x + y = 45$ (всего грибов).<br />Среди любых $23$ грибов есть хотя бы один рыжик.<br />Среди любых $24$ грибов есть хотя бы один груздь.<br /><br />$3.$ Из условия про $23$ гриба:<br />Если бы груздей было $23$ или больше, можно было бы взять $23$ груздя.<br />Значит, $y \\leq 22.$<br /><br />$4.$ Из условия про $24$ гриба:<br />Если бы рыжиков было $24$ или больше, можно было бы взять $24$ рыжика.<br />Значит, $x \\leq 23.$<br /><br />$5.$ Подставляем в уравнение:$$x + y = 45$$ $$x \\leq 23$$ $$y \\leq 22$$ $6.$ Единственное решение:<br />$x = 23$ (рыжики).<br />$y = 22$ (грузди).<br /><br />Ответ:в корзине $23$ рыжика."]},{"content":"На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: $А, Б, В$ и $Г.$ Расстояние между $А$ и $Б$ — $50\\spaceкм,$ между $А$ и $В$ — $30\\spaceкм,$ между $В$ и $Г$ — $25\\spaceкм,$ между $Г$ и $А$  — $45\\spaceкм$ (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между $Б$ и $В.$[[fill_choice_big-805]][[image-503]]","widgets":{"fill_choice_big-805":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$25$","$23$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-503":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/probka.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Дано:<br />Расстояние между $А$ и $Б\\Rightarrow$ $50\\spaceкм$<br />Расстояние между $А$ и $В\\Rightarrow$ $30\\spaceкм$<br />Расстояние между $В$ и $Г\\Rightarrow$ $25\\spaceкм$<br />Расстояние между $Г$ и $А\\Rightarrow$ $45\\spaceкм$<br /><br />$2.$ Решение:<br />Расположим бензоколонки по кругу.<br />Зная, что расстояние между $А$ и $В$ равно $30$ $км$, а между $А$ и $Б$ — $50$ $км$, можно предположить, что $В$ находится между $А$ и $Б.$<br />Зная, что расстояние между $Г$ и $А$ равно $45\\spaceкм,$ а между $В$ и $Г$ — $25\\spaceкм,$ можно определить положение $Г.$<br /><br />$3.$ Проверка расположения:<br />Если $В$ находится между $А$ и $Б,$ то:<br />От $А$ до $В\\Rightarrow$ $30\\spaceкм.$<br />От $В$ до $Б\\Rightarrow$ $20\\spaceкм.$ (так как $50-30 = 20$)<br />От $В$ до $Г\\Rightarrow$ $25\\spaceкм.$<br />От $Г$ до $А\\Rightarrow$ $45\\spaceкм.$<br /><br />$4.$ Проверка целостности круга:<br />Бензоколонки расположены в порядке $А-В-Б-Г.$<br />От $А$ до $В\\Rightarrow$ $30\\spaceкм.$<br />От $В$ до $Б\\Rightarrow$ $20\\spaceкм.$<br />От $Б$ до $Г\\Rightarrow$ $5\\spaceкм$ (так как $25-20 = 5$).<br />От $Г$ до $А\\Rightarrow$ $45\\spaceкм.$<br />Общая длина круга: $30 + 20 + 5 + 45 = 100\\spaceкм.$<br /><br />Ответ: расстояние между $Б$ и $В$ равно $20\\spaceкм.$"]},{"content":"В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:<br /><br />$1)$  за $5$ золотых монет получить $6$ серебряных и одну медную;<br /><br />$2)$  за $8$ серебряных монет получить $6$ золотых и одну медную.<br /><br />У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось $55$ медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?[[fill_choice_big-1027]][[image-580]]","widgets":{"fill_choice_big-1027":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$22$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-580":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/dengi.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть первая операция была совершена $x$ раз, вторая операция $y$ раз.<br /><br />$2.$ Уравнение для золотых монет:<br />За первую операцию потрачено $5x$ золотых.<br />За вторую операцию получено $6y$ золотых.<br />В итоге золотых не появилось: $5x = 6y.$<br />Отсюда: $x = 1.2y.$<br /><br />$3.$ Общее количество операций:<br />Получено $55$ медных монет.<br />За первую операцию получено $x$ медных.<br />За вторую операцию получено $y$ медных.<br />Уравнение: $x + y = 55.$<br /><br />$4.$ Подставляем $x = 1.2y$ в уравнение:<br />$$1.2y + y = 55$$ $$2.2y = 55$$ $$y = 25$$ $5.$ Находим $x$: $$x = 1.2 \\cdot 25 = 30$$ $6.$ Расчет изменения количества серебряных монет:<br />За первую операцию получено $6x = 6 \\cdot 30 = 180$ серебряных.<br />За вторую операцию потрачено $8y = 8 \\cdot 25 = 200$ серебряных.<br />Разница: $200-180 = 20.$<br /><br />Ответ: количество серебряных монет у Николая уменьшилось на $20$ монет."]}]}