ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
В прошлом уроке мы познакомились с арифметической прогрессией и научились находить её $n$-й член. Но иногда важно найти не отдельный член прогрессии, а сумму нескольких первых членов.
Например, если человек каждый день откладывает все больше денег на одну и ту же сумму, то через некоторое время удобно узнать, сколько денег он накопил всего. В таких задачах помогает формула суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии.
В этом уроке мы узнаем, как найти сумму первых членов арифметической прогрессии, выведем формулы суммы и научимся применять их в задачах.
Сумма n первых членов прогрессии
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии — это результат сложения нескольких первых чисел последовательности, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число.
Пусть дана арифметическая прогрессия: $a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots,\ a_n,\ldots$
Сумма $n$ первых членов этой прогрессии обозначается как $S_n.$ Тогда сумма равна:
$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n.$
Таким образом, чтобы найти сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии, нужно сложить столько членов прогрессии, сколько обозначено в условии.
Пример 1
Дана арифметическая прогрессия:
$2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots$
Найдём сумму первых четырёх членов.
Показать решение:
Скрыть
Первые четыре члена прогрессии:
$2,\ 5,\ 8,\ 11.$
Значит:
$S_4=2+5+8+11.$
$S_4=26.$
Ответ: $26$.
Формула суммы через первый и n-й члены
Однако если членов арифметической прогрессии много, то складывать по одному неудобно. Поэтому используют красивое свойство арифметической прогрессии: если сложить первый и последний член, второй и предпоследний, третий и третий с конца, то суммы будут одинаковыми.
Рассмотрим прогрессию: $2, 5, 8, 11, 14$, где каждый следующий член больше предыдущего на $3$. Обратите внимание на свойство:
$$2+14=16$$ $$5+11=16$$
То есть числа как бы «уравновешивают» друг друга: маленькое с начала соединяется с большим с конца, и получается одна и та же сумма.
Заметив это свойство, была выведена сумма первых $n$ членов: берут среднее между первым и последним членом и умножают на количество членов.
Если известны первый член арифметической прогрессии $a_1$, $n$-й член $a_n$ и количество членов $n$, то сумму можно найти по формуле:
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$
Здесь: $S_n$ — сумма $n$ первых членов прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — $n$-й член прогрессии, $n$ — количество складываемых членов.
Эта формула показывает, что сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии равна произведению среднего арифметического первого и $n$-го членов на количество членов.
Выведение первой формулы суммы $n$ первых членов
Скрыть
Пусть дана арифметическая прогрессия: $a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots,\ a_{n-2},\ a_{n-1},\ a_n.$
Запишем сумму $n$ первых членов в обычном порядке:
$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n.$
Теперь запишем ту же сумму в обратном порядке:
$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots+a_3+a_2+a_1.$
Сложим эти два равенства:
$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+\ldots+(a_n+a_1).$
В арифметической прогрессии суммы таких пар равны между собой:
$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=\ldots$
Каждая пара даёт сумму $a_1+a_n$, таких пар получается $n$.
Значит: $2S_n=n(a_1+a_n).$ Теперь разделим обе части равенства на 2:
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$
Это первая формула суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии.
Пример 2
Найдём сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если:
$a_1=3,\quad a_{10}=21.$
Показать решение
Скрыть
Используем формулу:
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$
Здесь $n=10$.
$S_{10}=\frac{3+21}{2}\cdot10.$
$S_{10}=\frac{24}{2}\cdot10.$
$S_{10}=12\cdot10=120.$
Ответ: $120$.
Формула суммы через первый член и разность
Допустим, в задаче даны первый член $a_1$, разность $d$ и число членов $n$. В этому случае последний член прогрессии неизвестен. Тогда сумму первых $n$ членов удобно выражать через первый член и разность.
Вспомним формулу $n$-го члена $a_n=a_1+d(n-1)$ и подставим ее в формулу суммы:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ $$S_n=\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$ $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$
Тогда получим вторую формулу суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии:
$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$
Здесь: $S_n$ — сумма $n$ первых членов прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность арифметической прогрессии, $n$ — количество складываемых членов.
Смысл этой формулы такой: мы берём сумму не через первый и последний член, а сразу через то, с чего прогрессия начинается и как быстро она меняется.
Пример 3
Найдём сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если:
$a_1=4,\quad d=3.$
Показать решение
Скрыть
Используем формулу:
$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$
Здесь $n=8$.
$S_8=\frac{2\cdot4+3(8-1)}{2}\cdot8.$
$S_8=\frac{8+3\cdot7}{2}\cdot8.$
$S_8=29\cdot4=116.$
Ответ: $116$.
Как выбрать формулу суммы
Выбирать формулу лучше по тому, что уже дано в задаче. Если известны первый и последний член $a_1, a_n, n$ среди тех, которые складываются, удобнее брать первую формулу: $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Если же известны первый член и разность $a_1, d, n$, удобнее брать вторую формулу: $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
Если в задаче известны $a_1$ и $d$, но не известен $a_n$, можно сначала найти $a_n$ по формуле: $a_n=a_1+d(n-1),$ а затем использовать первую формулу суммы.
Обе формулы находят сумму, но разными способами. Первая использует края отрезка прогрессии (первый и последний член), вторая — использует начало и шаг (первый член и разность).
Пример 4
Дана арифметическая прогрессия:
$5,\ 9,\ 13,\ 17,\ldots$
Найдём сумму первых шести членов.
Показать решение
Скрыть
Сначала определим первый член и разность $a_1=5$, $d=9-5=4.$
Нужно найти $S_6$, значит, $n=6$. Используем формулу:
$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$
Подставим значения:
$S_6=\frac{2\cdot5+4(6-1)}{2}\cdot6$
$S_6=\frac{10+4\cdot5}{2}\cdot6$
$S_6=15\cdot6=90.$
Ответ: $90$.
Проверка суммы прямым сложением
Иногда полезно проверить результат прямым сложением, особенно если членов немного. Это удобно, если нужно сложить $5$-$10$ членов. Однако когда надо найти сумму, например, первых $50$ или $100$ членов, прямое сложение становится неудобным. Поэтому формулы суммы значительно упрощают вычисления.
Пример 5
Найдём сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если:
$a_1=7,\quad d=2.$
Показать решение
Скрыть
Используем формулу: $S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$
$S_{20}=\frac{2\cdot7+2(20-1)}{2}\cdot20$
$S_{20}=\frac{14+2\cdot19}{2}\cdot20$
$S_{20}=\frac{52}{2}\cdot20$
$S_{20}=26\cdot20=520.$
Ответ: $520$.
Сумма арифметической прогрессии с отрицательной разностью
Формулы суммы работают и тогда, когда разность прогрессии отрицательная. Прогрессия убывает, но сумму её первых членов можно находить по тем же формулам.
Пример 6
Найдём сумму первых семи членов арифметической прогрессии, если:
$a_1=20,\quad d=-3.$
Показать решение
Скрыть
Используем формулу: $S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$
$S_7=\frac{2\cdot20+(-3)(7-1)}{2}\cdot7$
$S_7=\frac{40-3\cdot6}{2}\cdot7$
$S_7=\frac{22}{2}\cdot7$
$S_7=11\cdot7=77.$
Ответ: $77$.
Геометрический смысл формулы суммы
Формулу суммы можно представить геометрически. Если записать члены арифметической прогрессии в виде столбиков, то их высоты будут изменяться равномерно. Например:
$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10.$
Высоты столбиков увеличиваются на одно и то же число. Если такую фигуру дополнить такой же фигурой, перевернутой в обратном порядке, получится прямоугольник.
Сумма двух одинаковых наборов столбиков равна: $n(a_1+a_n).$
Поэтому сумма одного набора равна половине этого выражения: $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Геометрический смысл формул суммы арифметической прогрессии — это площадь. Можно запомнить так: сумма арифметической прогрессии — это площадь фигуры, составленной из столбиков, высоты которых растут или убывают равномерно.
Практический смысл формулы суммы
Формула суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии часто используется в задачах, где величина каждый раз изменяется на одно и то же число.
жизненные ситуации
- человек каждый день откладывает на 10 рублей больше, чем в предыдущий день;
- спортсмен каждый день увеличивает дистанцию на 200 метров;
- на складе каждый час отгружают одинаково увеличивающееся количество товара;
- в зрительном зале количество мест в рядах увеличивается на одно и то же число.
- Во всех таких ситуациях можно использовать арифметическую прогрессию и формулу суммы её первых членов.
Пример 8
В первый день ученик решил $4$ задачи, а каждый следующий день решал на $2$ задачи больше, чем в предыдущий. Сколько задач он решил за $10$ дней?
Показать решение
Скрыть
Количество задач по дням образует арифметическую прогрессию: $4,\ 6,\ 8,\ 10,\ldots$, где $a_1=4,$ $d=2,$ $n=10.$
Найдём сумму первых $10$ членов:
$S_{10}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$
$S_{10}=\frac{2\cdot4+2(10-1)}{2}\cdot10$
$S_{10}=\frac{8+18}{2}\cdot10$
$S_{10}=13\cdot10=130.$
Ответ: за 10 дней ученик решил 130 задач.
Сводная таблица формул
| Что нужно найти | Формула | Когда удобно использовать |
|---|---|---|
| $n$-й член арифметической прогрессии | $a_n=a_1+d(n-1)$ | если известны $a_1$, $d$ и $n$ |
| Сумма $n$ первых членов через $a_1$ и $a_n$ | $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ | если известны $a_1$, $a_n$ и $n$ |
| Сумма $n$ первых членов через $a_1$ и $d$ | $S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$ | если известны $a_1$, $d$ и $n$ |
| Разность прогрессии | $d=a_{n+1}-a_n$ | если нужно найти, на сколько отличаются соседние члены |
| Сумма $n$ первых членов | $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$ | смысл обозначения $S_n$ |
Часто задаваемые вопросы
Обозначение $S_n$ означает сумму n первых членов арифметической прогрессии. Например, $S_5$ — это сумма первых пяти членов прогрессии.
Сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии можно записать так:
$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n.$
Эта запись означает, что складываются все члены прогрессии от первого до $n$-го включительно.
Если известны первый член $a_1$, $n$-й член $a_n$ и количество членов $n$, используют формулу:
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$
Эта формула удобна, когда известен последний из складываемых членов.
Если известны первый член $a_1$, разность $d$ и количество членов $n$, используют формулу:
$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$
Эта формула удобна, когда $n$-й член прогрессии заранее не известен.
Деление на 2 появляется потому, что при выводе формулы сумму записывают дважды: сначала в прямом порядке, затем в обратном. После сложения получается выражение для $2S_n$, поэтому, чтобы найти $S_n$, нужно разделить результат на 2.
Да, формулу суммы можно использовать и при отрицательной разности. Если $d<0$, арифметическая прогрессия убывает, но правила нахождения суммы остаются такими же.
Формула суммы используется в задачах, где нужно найти общий результат за несколько шагов, если величина каждый раз изменяется на одно и то же число. Например, можно найти общее количество решённых задач за несколько дней, общее число мест в рядах зала или общую сумму накоплений.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти