Последовательности. Арифметические прогрессии. Формула n-го члена

В жизни часто встречаются величины, которые изменяются по одному и тому же правилу. Например, каждый месяц человек откладывает одинаковую сумму денег, температура каждый час повышается на одно и то же число градусов, а спортсмен на каждой тренировке увеличивает дистанцию на одинаковое расстояние. В таких случаях удобно рассматривать не отдельные числа, а целую последовательность чисел.

На этом уроке мы познакомимся с числовыми последовательностями и одним из самых важных их видов – арифметической прогрессией. Мы узнаем, как определить арифметическую прогрессию, что называют её разностью, и научимся находить любой член прогрессии с помощью формулы $n$-го члена.

Числовая последовательность

Числовая последовательность — это набор чисел, расположенных в определённом порядке. Каждое число последовательности называется её членом.

Члены последовательности обычно обозначают так: $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ldots,\ a_n,\ldots$. Здесь:

• $a_1$ – первый член последовательности,
• $a_2$ – второй член последовательности,
• $a_3$ – третий член последовательности,
• $a_n$ – $n$-й член последовательности.

Например, дана последовательность:
$5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25,\ldots$
Тогда:

{"questions":[{"content":"Дана числовая последовательность:<br /><br />$4,\\ 9,\\ 14,\\ 19,\\ 24,\\ldots$<br /><br />Сопоставьте номер члена последовательности с его значением.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$a_1$","$a_2$","$a_3$","$a_4$","$a_5$"],"items":["$4$","$9$","$14$","$19$","$24$"]}},"step":1,"explanation":"В последовательности $4,\\ 9,\\ 14,\\ 19,\\ 24,\\ldots$:<br /><br />$a_1 = 4$<br />$a_2 = 9$<br />$a_3 = 14$<br />$a_4 = 19$<br />$a_5 = 24$","hints":["Номер возле буквы $a$ показывает место числа в последовательности.","Сначала выпишите последовательность по порядку и подпишите номера: $a_1,\\ a_2,\\ a_3,\\ a_4,\\ a_5$."]}]}

Арифметическая прогрессия

Последовательность называется арифметической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии.

Если последовательность $a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots$ является арифметической прогрессией, то для любого натурального $n$ выполняется равенство:

$$a_{n+1}=a_n+d.$$

Здесь: $a_n$ – некоторый член прогрессии, $a_{n+1}$ – следующий член прогрессии, $d$ – разность арифметической прогрессии.

Например: $4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24,\ldots$ — это арифметическая прогрессия, потому что разность между двумя соседними числами одинаковая:

• первые два числа — $4$ и $9$. Из второго вычитаем первое $a_2-a_1$ и получаем $9-4=5,$
• теперь найдем разницу между вторым и третий числом: $14-9=5,$ где снова получаем $5$.
• Продолжаем дальше: $19-14=5,$ $24-19=5.$

Значит, разность этой прогрессии равна: $d=5.$

Арифметическая прогрессия – это последовательность, в которой соседние члены отличаются на одно и то же число.

{"questions":[{"content":"Какая последовательность является арифметической прогрессией?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$2,\\ 4,\\ 8,\\ 16,\\ldots$","$5,\\ 9,\\ 13,\\ 17,\\ldots$","$1,\\ 3,\\ 6,\\ 10,\\ldots$","$10,\\ 20,\\ 40,\\ 80,\\ldots$"],"explanations":["","В последовательности $5,\\ 9,\\ 13,\\ 17,\\ldots$ каждый следующий член получается прибавлением числа $4$:<br /><br />$9-5=4,$<br />$13-9=4,$<br />$17-13=4.$<br /><br />Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.","",""],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдите разности соседних членов.","В арифметической прогрессии эти разности должны быть одинаковыми."]},{"content":"Какая последовательность не является арифметической прогрессией?[[choice-15]]","widgets":{"choice-15":{"type":"choice","options":["$3,\\ 6,\\ 9,\\ 12,\\ldots$","$20,\\ 15,\\ 10,\\ 5,\\ldots$","$7,\\ 7,\\ 7,\\ 7,\\ldots$","$1,\\ 2,\\ 4,\\ 8,\\ldots$"],"explanations":["","","","В последовательности $1,\\ 2,\\ 4,\\ 8,\\ldots$ разности соседних членов разные:<br /><br />$2-1=1,$<br />$4-2=2,$<br />$8-4=4.$<br /><br />Так как разность не постоянна, последовательность не является арифметической прогрессией."],"answer":[3]}},"step":1,"hints":["Проверьте, на сколько изменяются соседние члены.","Если разности разные, это не арифметическая прогрессия."]}],"mix":1}

Как найти разность арифметической прогрессии

Чтобы найти разность арифметической прогрессии, нужно из любого члена прогрессии, начиная со второго, вычесть предыдущий член.

$d=a_2-a_1.$

Также можно использовать:
$d=a_3-a_2,$
$d=a_4-a_3,$
$d=a_{n+1}-a_n.$

Например, дана последовательность: $10,\ 7,\ 4,\ 1,\ -2,\ldots$

Найдём разность по формуле $d=a_2-a_1$, где: $a_2=7; a_1=10$.

Поставим: $d=7-10=-3.$

Проверим:

$d=a_3-a_2,$ где $a_3=4; a_2=7$

$4-7=-3,$

$d=a_4-a_3,$ где $a_4=1; a_3=4$

$1-4=-3,$

$d=a_5-a_4,$ где $a_5=-2; a_4=1$

$-2-1=-3.$

Разность действительно одна и та же. Значит, эта последовательность является арифметической прогрессией.

{"questions":[{"content":"Найдите разность арифметической прогрессии: $18,\\ 15,\\ 12,\\ 9,\\ldots$[[choice-112]]","widgets":{"choice-112":{"type":"choice","options":["$3$","$-3$","$6$","$-6$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Разность может быть отрицательной.","Найдём разность: $d=15-18=-3.$<br />$12-15=-3,$<br />$9-12=-3.$"]}]}

Когда арифметическая прогрессия возрастает или убывает

Поведение арифметической прогрессии зависит от её разности $d$. Разность показывает, на сколько изменяется каждый следующий член по сравнению с предыдущим.

1. Если $d>0$, то к каждому члену прибавляется положительное число. Поэтому каждый следующий член становится больше предыдущего, и такая арифметическая прогрессия называется возрастающей.

Например, последовательность $2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots$ является возрастающей, потому что её разность равна $d=3$. Каждый следующий член получается прибавлением числа $3$.

2. Если $d<0$, то к каждому члену прибавляется отрицательное число. В этом случае каждый следующий член становится меньше предыдущего, и такая арифметическая прогрессия называется убывающей.

Например, последовательность $20,\ 16,\ 12,\ 8,\ 4,\ldots$ является убывающей, потому что её разность равна $d=-4$. Каждый следующий член получается прибавлением числа $-4$, то есть фактически уменьшается на $4$.

3. Если $d=0$, то каждый следующий член равен предыдущему. Все члены такой прогрессии одинаковы, она называется постоянной (неизменяемой).

Например: $7,\ 7,\ 7,\ 7,\ 7,\ldots$ здесь $d=0$, поэтому значения членов прогрессии не изменяются.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии

Иногда нужно найти не следующий член арифметической прогрессии, а член с определённым номером: например, десятый, двадцатый или сотый. В таких случаях неудобно каждый раз последовательно прибавлять разность. Для этого используют формулу $n$-го члена арифметической прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия:

$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ldots,\ a_n,\ldots$

Здесь $a_1$ – первый член прогрессии, а $d$ – её разность. Тогда следующие члены можно выразить через первый член и разность:

По таблице видно, что у второго члена к $a_1$ прибавляется одна разность, у третьего – две разности, у четвёртого – три разности, у пятого – четыре разности

Значит, у $n$-го члена будет прибавлено $n-1$ разностей.
Получаем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1).$

В формуле $a_n=a_1+d(n-1)$ каждая буква имеет своё значение:

Например, если нужно найти восьмой член прогрессии, то в формулу подставляют $n=8$. Если нужно найти двадцатый член, то берут $n=20$.

{"questions":[{"content":"Какая формула является формулой $n$-го члена арифметической прогрессии?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a_n=a_1+d(n-1)$","$a_n=a_1\\cdot d^{n-1}$","$a_n=a_1+n+d$","$a_n=d-a_1(n-1)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Чтобы получить $n$-й член арифметической прогрессии, нужно к первому члену прибавить разность $d$ столько раз, сколько переходов от первого члена до $n$-го.","В формуле должен быть первый член $a_1$, разность $d$ и номер $n$. К первому члену прибавляют $n-1$ разностей."]}]}

Примеры

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Дана арифметическая прогрессия, в которой: $a_1=10, d=-2.$<br />Найдите $a_8$.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$-4$","$4$","$8$","$24$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Разность отрицательная, поэтому члены прогрессии уменьшаются.","Подставьте значения в формулу: $a_8=10+(-2)(8-1)$.<br />$a_8=10-14=-4.$"]}]}

Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией

Чтобы проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно найти разности соседних членов.

Например: $2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots$

Проверим:
$5-2=3,$
$8-5=3,$
$11-8=3.$

Разности одинаковы. Значит, это арифметическая прогрессия.

Другой пример: $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ldots$

Проверим:
$3-1=2,$
$6-3=3,$
$10-6=4.$

Разности не одинаковые, значит, это не арифметическая прогрессия.

{"questions":[{"content":"Является ли последовательность арифметической прогрессией?<br />$12,\\ 9,\\ 6,\\ 3,\\ 0,\\ldots$[[fill_choice_big-1097]]","widgets":{"fill_choice_big-1097":{"type":"fill_choice_big","options":["Да","Нет"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдём разности соседних членов:<br />$9-12=-3,$<br />$6-9=-3,$<br />$3-6=-3,$<br />$0-3=-3.$","Если разность одна и та же, значит, последовательность является арифметической прогрессией."]}]}

Нахождение первого члена арифметической прогрессии

Иногда известны $a_n$, $d$ и $n$, а нужно найти первый член $a_1$. Используем формулу: $a_n=a_1+d(n-1).$ Из неё можно выразить $a_1$:

$a_1=a_n-d(n-1).$

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Найдите первый член арифметической прогрессии, если:<br /><br />$a_{10}=41,\\quad d=4.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4$","$5$","$6$","$9$"],"explanations":["","$41=a_1+4(10-1).$<br /><br />$41=a_1+4\\cdot9.$<br /><br />$41=a_1+36.$<br /><br />$a_1=41-36=5.$<br /><br />Значит, первый член прогрессии равен $5$.","",""],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу $a_n=a_1+d(n-1)$.","Подставьте данные: $41=a_1+4(10-1)$."]},{"content":"Найдите первый член арифметической прогрессии, если:<br /><br />$a_7=2,\\quad d=-3.$[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$-16$","$16$","$20$","$23$"],"explanations":["","","$2=a_1+(-3)(7-1).$<br /><br />$2=a_1-3\\cdot6.$<br /><br />$2=a_1-18.$<br /><br />$a_1=2+18=20.$<br /><br />Значит, первый член прогрессии равен $20$.",""],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Сначала подставьте известные значения в формулу $n$-го члена.","Получится уравнение $2=a_1+(-3)(7-1)$."]}]}

Нахождение номера члена арифметической прогрессии

Иногда нужно узнать, под каким номером стоит заданное число. Для этого снова используем формулу: $a_n=a_1+d(n-1).$ Затем решаем уравнение относительно $n$.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Дана арифметическая прогрессия:$4,\\ 9,\\ 14,\\ 19,\\ldots$<br />Под каким номером находится число $54$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$9$","$10$","$11$","$12$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Найдем разность прогрессии: $d=9-4=5.$","Используем формулу $n$-го члена: $54=4+5(n-1).$","$50=5(n-1).$<br />$n-1=10$<br />$n=11.$"]}]}

Графическое представление арифметической прогрессии

Рассмотрим арифметическую прогрессию, у которой первый член равен $a_1=3$, а разность равна $d=4$. Это значит, что каждый следующий член получается прибавлением числа $4$.

Формула $n$-го члена этой прогрессии имеет вид:

$a_n=3+4(n-1).$

С помощью этой формулы можно найти первые несколько членов прогрессии и записать их в таблицу.

Арифметическую прогрессию можно представить на координатной плоскости. По горизонтальной оси откладывают номер члена $n$, а по вертикальной – значение члена $a_n$.

Отметим на координатной плоскости первые члены арифметической прогрессии при $a_1=3,\ d=4$.

По таблице получаем члены прогрессии: $3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ 23,\ldots$

Точки лежат на одной прямой.

Эти точки расположены на одной прямой: формула $a_n=a_1+d(n-1)$ задаёт линейную зависимость значения $a_n$ от номера $n$.

Связь формулы n-го члена с линейной функцией

Формула арифметической прогрессии: $a_n=a_1+d(n-1)$ может быть преобразована:

$a_n=a_1+dn-d.$
$a_n=dn+(a_1-d).$

Это похоже на формулу линейной функции: $y=kx+b.$

Поэтому значения арифметической прогрессии при натуральных $n$ располагаются на прямой.

Например:
$a_n=2+3(n-1).$

Раскроем скобки:
$a_n=2+3n-3.$
$a_n=3n-1.$

Значит, каждый член прогрессии можно находить по формуле:

$a_n=3n-1.$

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Если разность арифметической прогрессии отрицательна, то прогрессия:[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["возрастает","убывает","состоит только из нулей","не является последовательностью"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Если $d<0$, то каждый следующий член меньше предыдущего. Поэтому прогрессия убывает.","Здесь $d=-4$, и прогрессия убывает."]}]}

Сводная таблица свойств арифметической прогрессии

Часто задаваемые вопросы